第五章 弯曲应力(材料力学)
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1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
•梁横截面弯曲应力 弯曲正应力 M
弯曲切应力 FS
•问题性质 连续体的静不定问题 •分析方 法 几何：试验（外部变形观测）
F
S
M
d A d A
假设（内部变形假设） 应变分布规律与公式
物理：应力分布规律与公式
静力学：确定应力大小
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲
纯弯曲和横力弯曲的概念 在 AC 和 DB 段，梁的横截 A 面既有弯矩，又有剪力，这 种情况称为横力弯曲（剪切 弯曲）。 F 在 CD 段 内 ， 梁 的 横 截 面 上剪力为零，而弯矩为常量， 这种情况称为纯弯曲。 梁在纯弯曲变形时，横截面 上只有与弯矩有关的正应力。 F
y2 20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
RA A
F1=9k N
RB F2=4k 解 N D B 1m
RA 2 .5kN RB 10 .5kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m + 1m 2.5kN
M C 2.5kN m
最大负弯矩在截面B上
M B 4kN m
B截面 4kN 20 12 0
最大正应力
横力弯曲时，弯矩是变化的。
max
则有：
M max ymax Iz
max
M max Wz
比较 拉压:
max
N max A
扭转:
max
Tmax Wt
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第五章 弯曲应力
2、公式的应用范围 1）在弹性范围内 2）具有切应力的梁 3）平面弯曲 4）直梁 3、强度条件：
A
A
A
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
FN dA 0
A
dA
A
E
ydA 0 A
A
ydA S z 0
z 轴通过形心 M z
E
即：中性轴通过形心。
M y zdA 0
A
A
zdA
A
yzdA 0
C
A
yzdA I yz 0
x
n
dx
τ
n1
y
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
在梁上截一微段dx ，再在
F1
F2 m
n
q(x)
微段上用水平截面mn 截一微元。
m x n dx
m
M
m1
M+dM
1
M
2
M+dM
'
r
x
p
dx
Fs m n Fs
n
n1
1 dx
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
解：计算 简图如图。
(1) 求支反力,画弯矩图。 支反力
RA 23.6 kN, RB 27 kN
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第五章 弯曲应力
(2) 确定危险截面 I截面 II截面 III截面
RA 23.6 kN, RB 27 kN
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
3ql 2 3 (50 103 N/m) (2 m) 2 b 3 3 67.9 mm 6 16 16 (120 10 Pa)
h 2b 136 mm
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
例
( 书例5.2)
已知： []=100 MPa，P = 25.3 kN 。求：校核心轴的强度 。
第五章 弯曲应力
弯曲变形
6
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
① 纵向直线代表一层
纤Baidu Nhomakorabea，变形后为平行曲
线。每层变成曲面，同 层纤维变形相同。 下层纤维受拉伸长， 上层纤维受压缩短； 层间变形连续，中 间必有一层即不伸长也 不缩短， 称为中性层。
a
b
c
d
M
a b
M c
d
② 横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，
l 5 h
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
max
M max [ ] W
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第五章 弯曲应力
弯曲强度计算步骤
1. 进行受力分析，正确确定约束力；根据梁上的载荷 和约束力画出弯矩图。
2. 根据弯矩图和截面沿轴线的变化情况，确定可能的 危险面。
3. 根据应力分布和材料的力学性能确定可能的危险点。
III截面
M III 4.64 kN m d 33 WIII 32 3 3 (88 10 ) 6 3 66.9 10 m 32 M III III 69.4 MPa [ ] WIII
结论
满足强度要求。
注意 最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。
(3) 强度校核
II截面
M II 3.42 kN m
3 d2 (85 103 )3 6 3 60 . 3 10 m WII 32 32
M II II 56.7 MPa [ ] WII
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第五章 弯曲应力
(3) 强度校核
作
P166-168： 5.4 5.5 5.12
业
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第五章 弯曲应力
§5–4 弯曲切应力
横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应 也必有切应力。 一、矩形截面切应力 F1 F2
q(x)
b m m 1
h
基本假设：
Fs
q
y
O
p
z
⑴ 截面上各点切应力与剪力同向； ⑵ 切应力沿截面宽度均匀分布。
4. 应用强度条件解决强度问题。 •对于拉压许用应力相等的材料，采用σmax≤[σ];
•对于拉压许用应力不等的材料，采用σ+max≤[σ] +， σ-。 ≤[ σ ] max
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第五章 弯曲应力
例7-9 钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面
为h=2b的矩形,求梁的截面尺寸。
第五章 弯曲应力
在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。
max
Mymax Iz
令: Wz I z
ymax
max
M Wz
式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。 h/2 h/2
C
z
C d
z
C
d D
z
b
32 对于轧制的型钢，其Iz和Wz均可直接从型钢表中查得。
bh2 Wz 6
且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
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第五章 弯曲应力
☆ 中性层
对称轴
中性层
中性轴
中性层
中性轴
中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。 中性轴：横截面与中性层的交线。 • 中性轴⊥截面纵向对称轴 • 横截面间绕中性轴相对转动
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已知材料的许用应力 120 MPa l 2 m q 50 kN/m q
A B
l
M
ql 2 8
x
解：作弯矩图
危险截面在梁的中点，其值为M max
ql 2 8
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第五章 弯曲应力
根据强度计算公式对梁进行正应力强度计算：
max
ql 2 M x 3ql 2 8 2 3 Wz bh 16b 6
第五章 弯曲应力
2) 基本假设
作如下假设： (1) 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形 后的轴线，即弯曲变形的平面假设。
(2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向 受拉或受压状态。
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第五章 弯曲应力
m a n a O2 b m dx n
bb 变形前的长度等于中性层
y
x dA
I yz 0
因为y轴是对称轴，上式自然满足。
z y
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第五章 弯曲应力
M z M y d A
A
M E
A
y
y dA
E
A
y dA
2
E
M
Iz
C
z x dA
1 M EI z
EIz梁的抗弯刚度
y
将上式代入 E y
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第五章 弯曲应力
材料力学
第五章 弯曲应力
2016年11月9日
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
第五章 §5-1 纯弯曲
弯曲应力
§5-2 纯弯曲时的正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5* 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施
中性层长度不变, 所以:
O1 y b
d bb O1O2 O1O2
纵向线bb变形后的长度为:
bb ( y) d
d
m a
O
1
纵向线bb的应变为
n
a
dx
y ( y) d d d
O
2
y
b m
b
n
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面 高度呈线性分布。
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第五章 弯曲应力
2、物理关系
y
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时， 由胡克定律有:
E
Ey
y —偏离中性轴的坐标值，
—中性层的曲率半径。
即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性 轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
Wz
d3
d4 Wz (1 4 ) 32 D
D3
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第五章 弯曲应力
§5-1 横力弯曲时的正应力
1、纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还 使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲 时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不 再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形
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第五章 弯曲应力
3、静力学关系
对横截面上的内力系，有:
M z
C
FN dA
A
M y z dA
A
y
x dA
M z y dA
A
z y
根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对z轴的力偶矩M 即：
FN dA 0, M y z dA 0, M z ydA M
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第五章 弯曲应力
例 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁
的抗拉许用应力为 [t] = 30MPa ，抗压许用应力为[c] =160MPa。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。 80 F1=9kN A 1m F2=4kN z C 1m B 1m D y1 20 12 0
r n
dx
n1
p
平衡条件： X 0;
FN 1 FN 2 F 0 F ' ' bdx FN 2 FN 1
M * A* y1dA I z S z
FN 1
M M * dA * y1dA A A I Iz z
C
D
F
B
a
a
+
F. a
+
F
+
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第五章 弯曲应力
§5-2 纯弯曲时的正应力
1、变形几何关系 1)实验观测（纯弯曲） •纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长 •横向线：保持直线，与横线正交
•顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应
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截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 l
h
大于5时，梁的
跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超 过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用 于横力弯曲情况，即：
16
M ( x) y , Iz
M ( x) max Wz
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第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
(3) 强度校核
I截面
M I M max
4.72 kN m
d13 (95 103 )3 6 3 84 . 1 10 m WI 32 32
MI I 56.1 MPa [ ] WI
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第五章 弯曲应力
80 z
y
1
M B y1 27.2MPa [ t ] t max Iz M B y2 46.2MPa [ c ] c max Iz
C截面
M C y2 28.8MPa [ t ] Iz
y
2
20
t max
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第五章 弯曲应力
My Iz
z y
将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正 应力σ若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。 在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性 层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的 应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。
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第五章 弯曲应力
•梁横截面弯曲应力 弯曲正应力 M
弯曲切应力 FS
•问题性质 连续体的静不定问题 •分析方 法 几何：试验（外部变形观测）
F
S
M
d A d A
假设（内部变形假设） 应变分布规律与公式
物理：应力分布规律与公式
静力学：确定应力大小
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第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲
纯弯曲和横力弯曲的概念 在 AC 和 DB 段，梁的横截 A 面既有弯矩，又有剪力，这 种情况称为横力弯曲（剪切 弯曲）。 F 在 CD 段 内 ， 梁 的 横 截 面 上剪力为零，而弯矩为常量， 这种情况称为纯弯曲。 梁在纯弯曲变形时，横截面 上只有与弯矩有关的正应力。 F
y2 20
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第五章 弯曲应力
RA A
F1=9k N
RB F2=4k 解 N D B 1m
RA 2 .5kN RB 10 .5kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m + 1m 2.5kN
M C 2.5kN m
最大负弯矩在截面B上
M B 4kN m
B截面 4kN 20 12 0
最大正应力
横力弯曲时，弯矩是变化的。
max
则有：
M max ymax Iz
max
M max Wz
比较 拉压:
max
N max A
扭转:
max
Tmax Wt
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第五章 弯曲应力
2、公式的应用范围 1）在弹性范围内 2）具有切应力的梁 3）平面弯曲 4）直梁 3、强度条件：
A
A
A
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第五章 弯曲应力
FN dA 0
A
dA
A
E
ydA 0 A
A
ydA S z 0
z 轴通过形心 M z
E
即：中性轴通过形心。
M y zdA 0
A
A
zdA
A
yzdA 0
C
A
yzdA I yz 0
x
n
dx
τ
n1
y
x
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第五章 弯曲应力
在梁上截一微段dx ，再在
F1
F2 m
n
q(x)
微段上用水平截面mn 截一微元。
m x n dx
m
M
m1
M+dM
1
M
2
M+dM
'
r
x
p
dx
Fs m n Fs
n
n1
1 dx
2
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第五章 弯曲应力
解：计算 简图如图。
(1) 求支反力,画弯矩图。 支反力
RA 23.6 kN, RB 27 kN
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第五章 弯曲应力
(2) 确定危险截面 I截面 II截面 III截面
RA 23.6 kN, RB 27 kN
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3ql 2 3 (50 103 N/m) (2 m) 2 b 3 3 67.9 mm 6 16 16 (120 10 Pa)
h 2b 136 mm
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第五章 弯曲应力
例
( 书例5.2)
已知： []=100 MPa，P = 25.3 kN 。求：校核心轴的强度 。
第五章 弯曲应力
弯曲变形
6
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第五章 弯曲应力
① 纵向直线代表一层
纤Baidu Nhomakorabea，变形后为平行曲
线。每层变成曲面，同 层纤维变形相同。 下层纤维受拉伸长， 上层纤维受压缩短； 层间变形连续，中 间必有一层即不伸长也 不缩短， 称为中性层。
a
b
c
d
M
a b
M c
d
② 横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，
l 5 h
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
max
M max [ ] W
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第五章 弯曲应力
弯曲强度计算步骤
1. 进行受力分析，正确确定约束力；根据梁上的载荷 和约束力画出弯矩图。
2. 根据弯矩图和截面沿轴线的变化情况，确定可能的 危险面。
3. 根据应力分布和材料的力学性能确定可能的危险点。
III截面
M III 4.64 kN m d 33 WIII 32 3 3 (88 10 ) 6 3 66.9 10 m 32 M III III 69.4 MPa [ ] WIII
结论
满足强度要求。
注意 最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。
(3) 强度校核
II截面
M II 3.42 kN m
3 d2 (85 103 )3 6 3 60 . 3 10 m WII 32 32
M II II 56.7 MPa [ ] WII
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第五章 弯曲应力
(3) 强度校核
作
P166-168： 5.4 5.5 5.12
业
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第五章 弯曲应力
§5–4 弯曲切应力
横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应 也必有切应力。 一、矩形截面切应力 F1 F2
q(x)
b m m 1
h
基本假设：
Fs
q
y
O
p
z
⑴ 截面上各点切应力与剪力同向； ⑵ 切应力沿截面宽度均匀分布。
4. 应用强度条件解决强度问题。 •对于拉压许用应力相等的材料，采用σmax≤[σ];
•对于拉压许用应力不等的材料，采用σ+max≤[σ] +， σ-。 ≤[ σ ] max
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第五章 弯曲应力
例7-9 钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面
为h=2b的矩形,求梁的截面尺寸。
第五章 弯曲应力
在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。
max
Mymax Iz
令: Wz I z
ymax
max
M Wz
式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。 h/2 h/2
C
z
C d
z
C
d D
z
b
32 对于轧制的型钢，其Iz和Wz均可直接从型钢表中查得。
bh2 Wz 6
且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
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第五章 弯曲应力
☆ 中性层
对称轴
中性层
中性轴
中性层
中性轴
中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。 中性轴：横截面与中性层的交线。 • 中性轴⊥截面纵向对称轴 • 横截面间绕中性轴相对转动
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已知材料的许用应力 120 MPa l 2 m q 50 kN/m q
A B
l
M
ql 2 8
x
解：作弯矩图
危险截面在梁的中点，其值为M max
ql 2 8
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第五章 弯曲应力
根据强度计算公式对梁进行正应力强度计算：
max
ql 2 M x 3ql 2 8 2 3 Wz bh 16b 6
第五章 弯曲应力
2) 基本假设
作如下假设： (1) 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形 后的轴线，即弯曲变形的平面假设。
(2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向 受拉或受压状态。
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第五章 弯曲应力
m a n a O2 b m dx n
bb 变形前的长度等于中性层
y
x dA
I yz 0
因为y轴是对称轴，上式自然满足。
z y
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第五章 弯曲应力
M z M y d A
A
M E
A
y
y dA
E
A
y dA
2
E
M
Iz
C
z x dA
1 M EI z
EIz梁的抗弯刚度
y
将上式代入 E y
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第五章 弯曲应力
材料力学
第五章 弯曲应力
2016年11月9日
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第五章 弯曲应力
第五章 §5-1 纯弯曲
弯曲应力
§5-2 纯弯曲时的正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5* 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施
中性层长度不变, 所以:
O1 y b
d bb O1O2 O1O2
纵向线bb变形后的长度为:
bb ( y) d
d
m a
O
1
纵向线bb的应变为
n
a
dx
y ( y) d d d
O
2
y
b m
b
n
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面 高度呈线性分布。
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第五章 弯曲应力
2、物理关系
y
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时， 由胡克定律有:
E
Ey
y —偏离中性轴的坐标值，
—中性层的曲率半径。
即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性 轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
Wz
d3
d4 Wz (1 4 ) 32 D
D3
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第五章 弯曲应力
§5-1 横力弯曲时的正应力
1、纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还 使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲 时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不 再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形
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第五章 弯曲应力
3、静力学关系
对横截面上的内力系，有:
M z
C
FN dA
A
M y z dA
A
y
x dA
M z y dA
A
z y
根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对z轴的力偶矩M 即：
FN dA 0, M y z dA 0, M z ydA M
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第五章 弯曲应力
例 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁
的抗拉许用应力为 [t] = 30MPa ，抗压许用应力为[c] =160MPa。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。 80 F1=9kN A 1m F2=4kN z C 1m B 1m D y1 20 12 0
r n
dx
n1
p
平衡条件： X 0;
FN 1 FN 2 F 0 F ' ' bdx FN 2 FN 1
M * A* y1dA I z S z
FN 1
M M * dA * y1dA A A I Iz z
C
D
F
B
a
a
+
F. a
+
F
+
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第五章 弯曲应力
§5-2 纯弯曲时的正应力
1、变形几何关系 1)实验观测（纯弯曲） •纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长 •横向线：保持直线，与横线正交
•顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应
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截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 l
h
大于5时，梁的
跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超 过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用 于横力弯曲情况，即：
16
M ( x) y , Iz
M ( x) max Wz
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
(3) 强度校核
I截面
M I M max
4.72 kN m
d13 (95 103 )3 6 3 84 . 1 10 m WI 32 32
MI I 56.1 MPa [ ] WI
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第五章 弯曲应力
80 z
y
1
M B y1 27.2MPa [ t ] t max Iz M B y2 46.2MPa [ c ] c max Iz
C截面
M C y2 28.8MPa [ t ] Iz
y
2
20
t max
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第五章 弯曲应力
My Iz
z y
将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正 应力σ若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。 在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性 层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的 应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。
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