2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析

2020年中考总复习专题新定义
一．选择题（共2小题）
1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）
A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）
A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1
二．填空题（共5小题）
3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是．
4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和
y＝x﹣4之间的距离为．
5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”
[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝．
7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒
数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……
依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是
三．解答题（共8小题）
8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究：
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展：
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
11．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．
∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝+2x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；
（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．
一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；
（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．
13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象
上；
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；
（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．
14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．
（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，
①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及
经过点N的反比例函数的表达式；
②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范
围．
15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
专题新定义参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）
A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【解答】解：设A（a，﹣），
由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2＝kx+1+k上，
则＝﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1＝0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）＝0，
∴a﹣1＝0或ka﹣1＝0，
则a＝1或ka﹣1＝0，
若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a＝1或a＝，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”
有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）
A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得c＜﹣2，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是﹣3．【解答】解：∵a*b＝a×（a﹣b）3，
∴3*4
＝3×（3﹣4）3
＝3×（﹣1）3
＝3×（﹣1）
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为2．
【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，
因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，
因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，
所以这两条平行线之间的距离为2．
故答案为2．
5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”
[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x＝3．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣2，
∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则关于x的方程变为+＝1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入最简公分母2（x﹣1）＝4≠0，
故x＝3是原分式方程的解，
故答案为：x＝3．
6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝1或﹣2．
【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2＝1，
开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，
解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；
当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2＝1，
开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），
综上，x＝1或﹣2，
故答案为：1或﹣2
7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……
依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5
【解答】解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，
∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故答案为﹣7.5．
三．解答题（共8小题）
8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，
任意一个“极数”都是99的倍数，
理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），
∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），
∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，
∴100﹣10y﹣x是整数，
∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，
即：任意一个“极数”都是99的倍数；
（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴m＝99（100﹣10y﹣x），
∵m是四位数，
∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），
∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣4，
∴其顶点坐标为（0，﹣4），
∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，
∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，
∴﹣4＝0+p．
∴p＝﹣4，
∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．
（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，
∴，
∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，n＝﹣3，
∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，
∴﹣4＝﹣m﹣3，
∴m＝1．
10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究：
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展：
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
【解答】解：（1）矩形或正方形；
（2）AC＝BD，理由为：
连接PD，PC，如图1所示：
∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，
∴P A＝PD，PC＝PB，
∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，
∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC＝BD；
（3）分两种情况考虑：
（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，
∴∠ED′B＝∠EBD′，
∴EB＝ED′，
设EB＝ED′＝x，
由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，
解得：x＝4.5，
过点D′作D′F⊥CE于F，
∴D′F∥AC，
∴△ED′F∽△EAC，
∴＝，即＝，
解得：D′F＝，
∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，
则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；
（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，
如图3（ii）所示，
∴四边形ECBD′是矩形，
∴ED′＝BC＝3，
在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，
∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，
则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．
11．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．
∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝+2x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；
（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【解答】解：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），
∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）
∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，
故答案为：增；
（3）设x1＜x2＜0，
∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）
∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．
12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．
一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；
（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．
【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），
d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，
∴d（点D，△ABC）＝1
当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，
d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，
在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝
d（L，△ABC）＝
故答案为：1，；
（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC
有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，
此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，
∴k≥2或k≤﹣2，
答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．
（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，
当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：
在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，
若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间
∴﹣1﹣≤b≤1+
答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．
13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；
（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．
【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：
设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．
根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba＝ab＝k，
∴（b，a）也在反比例函数y＝的图象上．
故答案为：都能；
（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），
∴N（﹣5，2）．
设直线MN的表达式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；
（3）∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴设A（k，﹣），
∵A，B是一对“互换点”，
∴B（﹣，k），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∵直线AB经过点P（，），
∴，解得，
∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．
将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．
14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．
（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为6．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，
①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及
经过点N的反比例函数的表达式；
②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范
围0＜r＜3﹣或r＞．
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（0，6）、B（4，0）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．
当x＝2时，y＝﹣x+6＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
∴点B，C的“X矩形”的面积＝（4﹣2）×（3﹣0）＝6．
故答案为：6．
（2）①∵点M，N的“X矩形”是正方形，
∴∠ABO＝45°，
∴点B的坐标为（6，0），直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．
∵点M到y轴的距离为3，
∴点M的坐标为（3，3）．
∵点M，N的“X矩形”的面积为4，
∴点N的横坐标为3﹣2＝1或3+2＝5，
∴点N的坐标为（1，5）或（5，1）．
∴经过点N的反比例函数的表达式为y＝．
②如图1，取AB的中点E，当点E为MN的中点时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最小值，
此时r＝OE﹣MN＝3﹣，
∴0＜r＜3﹣；
如图2，当点N与点B重合（或点M与点A重合）时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最大值，
∵MN＝3，
∴BF＝MN＝．
在Rt△OBF中，OB＝6，BF＝，
∴OF＝＝，
∴r＞．
故答案为：0＜r＜3﹣或r＞．
15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠F AB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
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