运筹学 对偶理论
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对偶问题 minW=7y1 +9y2
3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1自由 , y2 0
20
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
例2：写出下面问题的对偶问题 max z= c1 x1 +c2x2 +c3x3
a11x1 + a12x2+ a13x3 b1 a21x1 + a22x2+ a23x3 = b2 ① a31x1 + a32x2+ a33x3 b3 ② x1 0, x20, x3无约束 ③
第二章 线性规划的对偶理论
1
第一节 LP 的对偶问题
一、对偶问题的提出 二、对偶 问题与原问题的关系
1. 对称形式 2. 非对称形式 三、非对称形式的原-对偶问题关系
2
对偶问题的提出
Ⅰ
设备A(h)
0
设备B (h) 6
调试工序(h) 1
利润(元)
2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
①两种家电各生产多少, 可获最大利润?
3
对偶问题的提出
解:设两种家电产量分别为变量x1 ， x2
max z= 2x1 +x2
5x2 15
6x1 + 2x2 24
(1)
x1 + x2 5
x1，x2 0
4
对偶问题的提出 Ⅰ Ⅱ 每天可用能力
②另设一备家A(公h) 司至0少应付5 出多少15代价才能使美 佳品公的调设利生司试备润工产愿B(序元(意？h())h出) 让621自己的211 资源而254不组织两种产 解：设 y1 , y2 , y3 分别为A, B设备和调试工序 工时出让的单价。
min w=15y1+24y2 +5y3
6y2 +y3 2
(2)
5y1 +2y2 +y3 1
y1 … y3 0 5
对偶问题的提出
问题(1)：原问题 问题(2)：对偶问题
6
第一节 LP 的对偶问题
一、对偶问题的提出 二、对偶 问题与原问题的关系
1. 对称形式 2. 非对称形式 三、非对称形式的原-对偶问题关系
13
第一节 LP 的对偶问题
一、对偶问题的提出 二、对偶 问题与原问题的关系
1. 对称形式 2. 非对称形式 三、非对称形式的原-对偶问题关系
14
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
非对称形式 对称形式 对偶问题
15
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
1. 等式变不等式
n
max z c j x j
-AX≥- b X0
原问题
对
max z=CX
偶
AX≤ b
问
题
X0
12
对偶问题与原问题的关系—对称形式
例1：写出下面问题的对偶问题
max z= 5x1 +6x2
3x1 -2x2 7 4x1 +x2 9 x1 , x2 0
min w=7y1 +9y2
3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1, y2 0
8
对偶问题与原问题的关系—对称形式
对偶问题：
a. 变量均具
min w=b1y1+ b2y2+…+bnyn
有非负约 束
a11y1+ a21y2+…+ am1ym c1 b. 目标函数
a12y1+ a22y2+…+ am2ym c2
求极小时， 约束条件
………
均取“≥”
a1ny1+ a2ny2+…+ amnym cn
xk
xk'Байду номын сангаас
x
" k
其中，
xk' , xk" 0
（2）若 x 0 ，可令 x' x ,显然
k
k
k
x' 0 k
18
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
例1：写出下面问题的对偶问题 max z= 5x1 +6x2 3x1 -2x2 =7
4x1 +x2 9 x1 , x2 0
19
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
j1
n
aij x j b j 1,2, , m
j1
n
aij
x
j
bi ,
i 1,2, m
n
aij x j b j 1,2, , m
j1
j1
x
j
0,
j
1,2,
,n
n
aij
j 1
x
j
b
i 1,2,
,m
16
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
2. 不等式变不等式
目标函数求极小时
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
目标函数求极大时
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
17
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
2. 变量转换
（1）若存在取值无约束的变量xk，可令,
a21x1 + a22x2+ a23x3 b2
- a31x1 - a32x2 - a33x3 - b3
x1 0
x2'
x2 ,
x2'
0
x3 x3' x3", x3' 0, x3" 0 22
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
对偶问题 min w= b1 y1 +b2y2 +b3y3
号。
yi 0(i=1,…,m)
9
对偶问题与原问题的关系—对称形式
矩阵形式： 原问题：
max z=CX
AX≤ b X0
对偶问题：
min w=YTb
ATY≥CT Y0
10
对偶问题与原问题的关系—对称形式
项目
A
原问题
约束系数矩阵
对偶问题
约束系数矩阵的转置
b
约束条件的右端项向 目标函数中的价格系
量
数向量
7
对偶问题与原问题的关系—对称形式
原问题： max z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn b2
………
a. 变量均具有 非负约束
b. 目标函数求 极大时，约 束条件均取 “≤”号；
am1x1+ am2x2+…+ amnxn bm xj 0(j=1,…,n)
C
目标函数中的价格系 约束条件的右端项向
数向量
量
目标函数 max z=CX
min w=YTb
约束条件 AX≤ b 决策变量 X0
ATY≥CT Y0
对偶问题与原问题的关系—对称形式
对偶问题 min w=YTb
ATY≥CT Y0
原问题
max w’=-YTb
-ATY≤ - CT 对偶
Y0
min z’=-CX
21
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
非对称形式 对称形式
①a21x1 + a22x2+ a23x3=b2
a21x1 + a22x2+ a23x3 b2
a21x1 + a22x2+ a23x3 b2
②a31x1 + a32x2+ a33x3b3 ③ x1 0, x20, x3无约束
-a21x1 -a22x2-a23x3 -b2
3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1自由 , y2 0
20
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
例2：写出下面问题的对偶问题 max z= c1 x1 +c2x2 +c3x3
a11x1 + a12x2+ a13x3 b1 a21x1 + a22x2+ a23x3 = b2 ① a31x1 + a32x2+ a33x3 b3 ② x1 0, x20, x3无约束 ③
第二章 线性规划的对偶理论
1
第一节 LP 的对偶问题
一、对偶问题的提出 二、对偶 问题与原问题的关系
1. 对称形式 2. 非对称形式 三、非对称形式的原-对偶问题关系
2
对偶问题的提出
Ⅰ
设备A(h)
0
设备B (h) 6
调试工序(h) 1
利润(元)
2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
①两种家电各生产多少, 可获最大利润?
3
对偶问题的提出
解:设两种家电产量分别为变量x1 ， x2
max z= 2x1 +x2
5x2 15
6x1 + 2x2 24
(1)
x1 + x2 5
x1，x2 0
4
对偶问题的提出 Ⅰ Ⅱ 每天可用能力
②另设一备家A(公h) 司至0少应付5 出多少15代价才能使美 佳品公的调设利生司试备润工产愿B(序元(意？h())h出) 让621自己的211 资源而254不组织两种产 解：设 y1 , y2 , y3 分别为A, B设备和调试工序 工时出让的单价。
min w=15y1+24y2 +5y3
6y2 +y3 2
(2)
5y1 +2y2 +y3 1
y1 … y3 0 5
对偶问题的提出
问题(1)：原问题 问题(2)：对偶问题
6
第一节 LP 的对偶问题
一、对偶问题的提出 二、对偶 问题与原问题的关系
1. 对称形式 2. 非对称形式 三、非对称形式的原-对偶问题关系
13
第一节 LP 的对偶问题
一、对偶问题的提出 二、对偶 问题与原问题的关系
1. 对称形式 2. 非对称形式 三、非对称形式的原-对偶问题关系
14
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
非对称形式 对称形式 对偶问题
15
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
1. 等式变不等式
n
max z c j x j
-AX≥- b X0
原问题
对
max z=CX
偶
AX≤ b
问
题
X0
12
对偶问题与原问题的关系—对称形式
例1：写出下面问题的对偶问题
max z= 5x1 +6x2
3x1 -2x2 7 4x1 +x2 9 x1 , x2 0
min w=7y1 +9y2
3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1, y2 0
8
对偶问题与原问题的关系—对称形式
对偶问题：
a. 变量均具
min w=b1y1+ b2y2+…+bnyn
有非负约 束
a11y1+ a21y2+…+ am1ym c1 b. 目标函数
a12y1+ a22y2+…+ am2ym c2
求极小时， 约束条件
………
均取“≥”
a1ny1+ a2ny2+…+ amnym cn
xk
xk'Байду номын сангаас
x
" k
其中，
xk' , xk" 0
（2）若 x 0 ，可令 x' x ,显然
k
k
k
x' 0 k
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对偶问题与原问题的关系—非对称形式
例1：写出下面问题的对偶问题 max z= 5x1 +6x2 3x1 -2x2 =7
4x1 +x2 9 x1 , x2 0
19
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
j1
n
aij x j b j 1,2, , m
j1
n
aij
x
j
bi ,
i 1,2, m
n
aij x j b j 1,2, , m
j1
j1
x
j
0,
j
1,2,
,n
n
aij
j 1
x
j
b
i 1,2,
,m
16
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
2. 不等式变不等式
目标函数求极小时
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
目标函数求极大时
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
17
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
2. 变量转换
（1）若存在取值无约束的变量xk，可令,
a21x1 + a22x2+ a23x3 b2
- a31x1 - a32x2 - a33x3 - b3
x1 0
x2'
x2 ,
x2'
0
x3 x3' x3", x3' 0, x3" 0 22
对偶问题与原问题的关系—非对称形式
对偶问题 min w= b1 y1 +b2y2 +b3y3
号。
yi 0(i=1,…,m)
9
对偶问题与原问题的关系—对称形式
矩阵形式： 原问题：
max z=CX
AX≤ b X0
对偶问题：
min w=YTb
ATY≥CT Y0
10
对偶问题与原问题的关系—对称形式
项目
A
原问题
约束系数矩阵
对偶问题
约束系数矩阵的转置
b
约束条件的右端项向 目标函数中的价格系
量
数向量
7
对偶问题与原问题的关系—对称形式
原问题： max z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn b2
………
a. 变量均具有 非负约束
b. 目标函数求 极大时，约 束条件均取 “≤”号；
am1x1+ am2x2+…+ amnxn bm xj 0(j=1,…,n)
C
目标函数中的价格系 约束条件的右端项向
数向量
量
目标函数 max z=CX
min w=YTb
约束条件 AX≤ b 决策变量 X0
ATY≥CT Y0
对偶问题与原问题的关系—对称形式
对偶问题 min w=YTb
ATY≥CT Y0
原问题
max w’=-YTb
-ATY≤ - CT 对偶
Y0
min z’=-CX
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对偶问题与原问题的关系—非对称形式
非对称形式 对称形式
①a21x1 + a22x2+ a23x3=b2
a21x1 + a22x2+ a23x3 b2
a21x1 + a22x2+ a23x3 b2
②a31x1 + a32x2+ a33x3b3 ③ x1 0, x20, x3无约束
-a21x1 -a22x2-a23x3 -b2