多元隐函数求导
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(2 z ) x x 2 2 ( 2 z ) x 2 z (2 z ) 3 (2 z ) 2
注:上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二.方程组情形 F ( x, y, u, v) 0 有可能确定两个二元函数. 例如 G( x, y, u, v) 0
第四节 隐函数微分法
第四节 隐函数及其微分法
一.一个方程的情形
(1).F ( x, y ) 0 所确定的隐函数:
上册已经介绍过求导方法
定理1(一元隐函数存在定理) 设F(x,y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能
存在定理略去,只讨论其微分法. x2 y 2 z 2 1 dy dz 例4. 求 dx , dx . x yz 0 dy dz x y z 0 各方程两边对x求偏导: dx dx dy dz 1 0 dx dx
解方程组得:
dy z x , dx y z dz x y . dx y z
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ( x, t ) 0所确定的函数,
dy 且 ( x, t ) 0可微.求 dx
x t
y
x
dy f f dt dx x t dx
隐函数求导
方程 ( x, t ) 0 两边对 x 求偏导:
dt dt 0, x , x t dx dx t f f dy x t t x dx t
( y z 0)
u u v v u 2 v x 0 例5. 求 x , y , x , y . 2 u v y 0 u v 1 0 各方程两边对x求偏导: 2u x x u v 2v 0 x x
设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) 0, Fy ( x0 , y0 , z0 ) 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 f ( x0 , y0 ),并有: z Fx , z Fy
3
z z 求 , x y
解法一:
F ( x, y, z ) z 3 3xyz 1
Fx 3 yz, Fy 3xz, Fz 3z 2 3xy
F z yz x 2 x Fz z xy
Fy z xz 2 y Fz z xy
解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略)
2
2
( Fxx Fxy
dy dy ) Fy ( Fyx Fyy ) Fx dx dx 2 Fy
2
Fxx Fy 2 Fxy Fx Fy Fyy Fx Fy
3
2.可推广到二元隐函数.
此公式不实用
(2).F ( x, y, z) 0 所确定的隐函数:
定理2 (二元隐函数存在定理)
2. 设f ( x, y, z ) xy 2 z 3 , 其中z z ( x, y)由方程 x 2 y 2 z 2 5 xyz 0 确定, 求 f x ' (1,1,1)
对方程 x 2 y 2 z 2 5 xyz 0 两边关于 x 求导得 : z z 2 x 2 z 5 yz 5 xy 0. x x z 把x 1, y 1, z 1代入上式得: |(1,1,1) 1. x 2 3 2 2 z 而 f x ' y z 3xy z , x 故 f x ' (1,1,1) 1 3 (1) 2.
解方程组得:
u 2v v 1 , x 4uv 1 x 4uv 1
(4uv 1 0)
同理,各方程两边对y求偏导,可得:
u 1 , y 4uv 1
v 2u . (4uv 1 0) y 4uv 1
思考练习
1. 设u f ( x, y, z ),而y ( x), z ln(x 3 y 2 ) . du 其中f , 均为可微函数，求 dx
唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),满足
y0 f ( x0 ), 并有:
F dy x dx Fy
证:
因为
F [ x, f ( x)] 0
两边对x求导:
Fx Fy
F dy x dx Fy
dy 0 dx
注:1.若存在二阶连续偏导数,则
d y d Fx ( ) 2 dx dx Fy
对方程 z ln(x 3 y 2 ) 两边关于 x 求导并整理得: dz 3 x 2 2 y ' ( x) . 3 2 dx x y 故 du f f f 3 x 2 2 y ' ( x) ' ( x) . 3 2 dx x y z x y
x Fz y Fz
证:
因为 F[ x, y, f ( x, y)] 0
Fx Fz z 0 x
两边分别对 x,y 求偏导:
Fy Fz z 0 y
Fy Fx z z , x Fz y Fz
注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导. 例1. z 3xyz 1
2 2 2 例3. x y z 4z
2 z 求 x 2
F ( x, y, z ) x2 y 2 z 2 4z
Fx 2 x, Fz 2 z 4
F z x x x Fz 2 z z (2 z ) x 2 z x x ( ) (2 z ) 2 x 2 x 2 z
注:上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二.方程组情形 F ( x, y, u, v) 0 有可能确定两个二元函数. 例如 G( x, y, u, v) 0
第四节 隐函数微分法
第四节 隐函数及其微分法
一.一个方程的情形
(1).F ( x, y ) 0 所确定的隐函数:
上册已经介绍过求导方法
定理1(一元隐函数存在定理) 设F(x,y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能
存在定理略去,只讨论其微分法. x2 y 2 z 2 1 dy dz 例4. 求 dx , dx . x yz 0 dy dz x y z 0 各方程两边对x求偏导: dx dx dy dz 1 0 dx dx
解方程组得:
dy z x , dx y z dz x y . dx y z
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ( x, t ) 0所确定的函数,
dy 且 ( x, t ) 0可微.求 dx
x t
y
x
dy f f dt dx x t dx
隐函数求导
方程 ( x, t ) 0 两边对 x 求偏导:
dt dt 0, x , x t dx dx t f f dy x t t x dx t
( y z 0)
u u v v u 2 v x 0 例5. 求 x , y , x , y . 2 u v y 0 u v 1 0 各方程两边对x求偏导: 2u x x u v 2v 0 x x
设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) 0, Fy ( x0 , y0 , z0 ) 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 f ( x0 , y0 ),并有: z Fx , z Fy
3
z z 求 , x y
解法一:
F ( x, y, z ) z 3 3xyz 1
Fx 3 yz, Fy 3xz, Fz 3z 2 3xy
F z yz x 2 x Fz z xy
Fy z xz 2 y Fz z xy
解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略)
2
2
( Fxx Fxy
dy dy ) Fy ( Fyx Fyy ) Fx dx dx 2 Fy
2
Fxx Fy 2 Fxy Fx Fy Fyy Fx Fy
3
2.可推广到二元隐函数.
此公式不实用
(2).F ( x, y, z) 0 所确定的隐函数:
定理2 (二元隐函数存在定理)
2. 设f ( x, y, z ) xy 2 z 3 , 其中z z ( x, y)由方程 x 2 y 2 z 2 5 xyz 0 确定, 求 f x ' (1,1,1)
对方程 x 2 y 2 z 2 5 xyz 0 两边关于 x 求导得 : z z 2 x 2 z 5 yz 5 xy 0. x x z 把x 1, y 1, z 1代入上式得: |(1,1,1) 1. x 2 3 2 2 z 而 f x ' y z 3xy z , x 故 f x ' (1,1,1) 1 3 (1) 2.
解方程组得:
u 2v v 1 , x 4uv 1 x 4uv 1
(4uv 1 0)
同理,各方程两边对y求偏导,可得:
u 1 , y 4uv 1
v 2u . (4uv 1 0) y 4uv 1
思考练习
1. 设u f ( x, y, z ),而y ( x), z ln(x 3 y 2 ) . du 其中f , 均为可微函数，求 dx
唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),满足
y0 f ( x0 ), 并有:
F dy x dx Fy
证:
因为
F [ x, f ( x)] 0
两边对x求导:
Fx Fy
F dy x dx Fy
dy 0 dx
注:1.若存在二阶连续偏导数,则
d y d Fx ( ) 2 dx dx Fy
对方程 z ln(x 3 y 2 ) 两边关于 x 求导并整理得: dz 3 x 2 2 y ' ( x) . 3 2 dx x y 故 du f f f 3 x 2 2 y ' ( x) ' ( x) . 3 2 dx x y z x y
x Fz y Fz
证:
因为 F[ x, y, f ( x, y)] 0
Fx Fz z 0 x
两边分别对 x,y 求偏导:
Fy Fz z 0 y
Fy Fx z z , x Fz y Fz
注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导. 例1. z 3xyz 1
2 2 2 例3. x y z 4z
2 z 求 x 2
F ( x, y, z ) x2 y 2 z 2 4z
Fx 2 x, Fz 2 z 4
F z x x x Fz 2 z z (2 z ) x 2 z x x ( ) (2 z ) 2 x 2 x 2 z