第3章 角动量与电子自旋
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1 ( ) 2 2 1 (
2
根据ms和SZ的取值特点，可得如下的四个波函数：
) 2 1( ) 2 2
z
1 ( ) 2 2
ˆ (S ) |2 代表在 SZ取 m 的这个状态中， 物理意义： | S z m z s ˆ 取SZ的几率。并有： 力学量 S z
(3 10)
C2 l (l 1)
(l 0,1,2,)
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2014-5-3
3.1 角动量
l |m| Yl m (, ) () () 1 sin |m| a j cos j exp(im) 2 j 1/ 2 2l 1 (l | m |)! |m| Pl (cos) exp(im) 4 (l | m |)!
(3-5)
对易关系:
ˆ M ˆ M ˆ M ˆ iM ˆ , M ˆ M ˆ M ˆ M ˆ iM ˆ M x y y x z y z z y x ˆ M ˆ M ˆ M ˆ iM ˆ , M ˆ2M ˆ M ˆ M ˆ 2 0 M z x x z y z z
1 2
exp(im)
(3 10)
将上述结果代入(3-7)式的第二个方程,经数学处理并结合 ˆ 2的本征函数及本征值: 波函数平方可积的限制 得 , M l m
() sin
m
j
a j cos j (6 13)
( j 0,2,4,; or l m
j 1,3,5)
x y z
(3 4)
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2014-5-3
3.1 角动量 球坐标系中的表达形式:
ˆ M x i sin cot cos ˆ M y i cos cot sin ˆ i M z 2 1 1 2 2 ˆ M sin (sin ) sin 2 2
1 ( ) 2 2
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Biblioteka Baidu) 2
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3.2 电子自旋 可见实际的本征态只有两个，通常也用 α 表示自旋向上 态，用β表示自旋向下态。
2 ˆ ˆ2 与 S ˆ 是对易的，它们应具有共 S 的本征函数：由于 S Z m (Sz )，或α及β。 同的本征函数，即， 自旋角动量算符的本征小结：
x y z y z x z x y
自旋平方算符为：
且有关系：
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ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z ˆ2,S ˆ ]0 [S ( x, y, z )
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3.2 电子自旋 自旋算符的本征值：用 s 表示自旋量子数，它是与自 旋角动量有关的量子数；用 ms表示自旋磁量子数，它是 与自旋角动量z分量有关的量子数。 2 2 ˆ s ( s 1 ) S 的 本征值： ˆ 的 本征值： m s S Z s的取值：从-s到+s的整数或半整数，共有2s+1个值。 对于电子，实验证明， s =1/2，故ms =+1/2或 -1/2 。 相应的本征值：S2 1 ( 1 1) 2 3 2
2 2 1 SZ 2 4
图：电子的自旋角动量
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3.2 电子自旋
ˆ 的属于属于本征值 ˆ 的本征函数：现用 m (Sz )来表示S S Z Z m s 的本征函数，即：
z
ˆ (S ) m (S ) S z mz z s mz z
当不施加外场时, 矢量静止在圆锥面上某个不确定的
位置上; 若在z轴方向施加外场, 则轨道角动量z分量不同
的态具有不同的能量, 若将能量等价地以频率来表示, 就
是所谓的Larmor进动频率.
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3.1 角动量
五 个 d 轨 道 的 角 动 量 空 间 量 子 化
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3.2 电子自旋 2 电子自旋的假设 Uhlenbeck等首先电子除了饶核作轨道运动外，还有自 旋运动，故有自旋角动量。后来，在 Dirac 的相对论量子 力学中，可自然得出电子自旋的结论。 自旋算符：应采用一个厄米线性算符来表示，用符号 S 表示自旋角动量算符，与轨道角动量算符一样，也有三个 分量和对应的对易关系： ˆ ,S ˆ ] iS ˆ , [S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ , [S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S
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3.2 电子自旋
ˆ | 0 ( S x )11 | S x 1 ˆ ( S x ) 21 | S x | 2 0 1 1 ˆ 所以： S x 2 1 0 1 ˆ ( S x )12 | S x | 2 ˆ | 0 ( S x ) 22 | S x
代入(3-7)式的第一个方程,得:
or ()i () ()C1()
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3.1 角动量 上式两边消去 () ,得:
i () C1() d or i () C1() d (3 8)
i 求得它的解为: () N exp( C1) 式中N为积分常数.由于波函数是单值的,故应有:
第3章 角动量与电子自旋
3.1 角动量
3.2 电子自旋 3.3 角动量耦合 3.4 原子光谱项
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3.1 角动量 1 经典力学中的角动量 设电子的空间坐标为(x,y,z) ,其速度v在三个坐标方向的 分量为vx , v y , vz .在经典力学中,质量为m的质点的角动量 之定义为:
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3.1 角动量 4 角动量的空间量子化
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3.1 角动量
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3.1 角动量 有人把这种圆锥面表示形式说成是轨道角动量矢量
主动地绕z轴进动, 这种说法是不准确的.
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3.2 电子自旋 1 电子自旋的实验依据
钠原子的光谱特征：主线系的主要谱线（ D 线）为双 -20 重线，相距6×10 m；所有碱金属元素的主线系谱线都具 有共同特点。 Stern-Gerlach实验：钠原子束在非均匀磁场中被分为两
束.
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3.2 电子自旋 自旋角动量的矩阵表示. 定义如下的自旋升、降算符：
ˆ S ˆ iS ˆ S x y ˆ S ˆ iS ˆ S x y
将它们作用到本征态α、β上，得：
ˆ S ˆ 0 S
ˆ S ˆ 0 S
升、降的含义
根据上述结果可确定自旋算符的矩阵元及自旋角动量的 表示矩阵：
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(3-6)
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3.1 角动量
ˆ ˆ 2与 M M z 可以对易,表明它们具有共同的本征函数.此外还 ˆ 2与Hamilton算符 H ˆ 对易. 可证明 M
3 角动量的本征函数 ˆ 只与θ,φ有关,而与r无关,因此可设它们的共同本 ˆ 2与 M M z 征函数的形式为Y(θ,φ),于是得方程组:
i M r mv r p x px j y py k z pz (6 2)
( ypz zp y )i ( zp x xpz ) j ( xp y ypx )k M xi M y j M zk
角动量M的三个分量为:
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M=r×mv
(3-1)
其中 r 代表质点在空间的 矢径, v代表运动速度. M 为角动量,并符合约定 (r,v,M)三个矢量组成的右 手系(见图)
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3.1 角动量 在笛卡尔坐标系中, r=xi+yj+zk, v=vxi+vyj+vzk, 式中i,j,k,为 x,y,z方向的单位矢量,根据矢量的运算规则: i×j=k, k×i=j, j×k=i, i×i=j×j=k×k=0 i· j= k · i= j · k=0, i· i=j · j=k · k=1 得M的具体形式:
ˆ Y (, ) C Y (, ), ˆ 2Y (, ) C Y (, ) M M z 1 2 ˆ 只与θ有关,而与φ无关,故可令: 由于 M
z
(3 7)
Y (, ) ()()
i [()()] C1()()
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1 ˆ 1 ˆ ˆ S x ( S S ) 2 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ S x ( S S ) 2 2
1 ˆ 1 ˆ ˆ S y ( S S ) i 2i 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ S y ( S S ) i 2i 2
(3 11)
ˆ 2和 M ˆ 的 式中Pl|m| (cos) 为连带Legendre多项式. Yl m (, )为 M z
共同本征函数,称为球谐函数(见氢原子的波函数求解),它 受l 和m两个量子数的限制.对角动量由 Yl m (, ) 所描述的 体系,测量其角动量平方的值,一定等到 l (l 1) 2 ,测量角动 量z方向的分量,一定得到m.但测量角动量本身及其在x方 向和y方向的分量, 则得不到确定的值.
(3 9)
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3.1 角动量
ˆ 的本征值必然为量子 可以看出，由于对波函数的限制, M z 化的取值.即测量体系的角动量z分量时,只能得到量子化的 精确值.再由波函数的归一化条件可以得到系数 N 1 / 2 ˆ 的本征函数为: 故M z
()
z
ˆ 2 s ( s 1) 2 S ˆ m 1 S z s 2 ˆ m 1 S z s 2
ˆ 2 s ( s 1) 2 S
s 1/ 2 1 ms 2 1 ms 2
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3.1 角动量
M x ypz zp y , M y zp x xpz , M z xpy ypx
2 2 2 M 2 Mx My Mz
(3 2) (3 3)
2 角动量算符: 按算符转化规则,可得:
ˆ ˆp ˆz z ˆ y i y ˆp Mx y z z y ˆ z ˆ ˆ ˆ ˆ M p x p i z z y x z z x ˆ ˆp ˆy y ˆp ˆ x i x Mz x y z x ˆ2 M ˆ 2 M ˆ 2 M ˆ2 M
i i ( 2) () or N exp[ C1 ( 2)] N exp( C1) i i i or exp( 2C1 ) exp( C1) exp( C1) i exp( C1 2) 1
应用Euler公式,则得:
i 1 1 exp( C1 2) cos( C1 2) i sin( C1 2) 1 C1 / m , or C1 m (m 0,1,2,, )
2
根据ms和SZ的取值特点，可得如下的四个波函数：
) 2 1( ) 2 2
z
1 ( ) 2 2
ˆ (S ) |2 代表在 SZ取 m 的这个状态中， 物理意义： | S z m z s ˆ 取SZ的几率。并有： 力学量 S z
(3 10)
C2 l (l 1)
(l 0,1,2,)
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3.1 角动量
l |m| Yl m (, ) () () 1 sin |m| a j cos j exp(im) 2 j 1/ 2 2l 1 (l | m |)! |m| Pl (cos) exp(im) 4 (l | m |)!
(3-5)
对易关系:
ˆ M ˆ M ˆ M ˆ iM ˆ , M ˆ M ˆ M ˆ M ˆ iM ˆ M x y y x z y z z y x ˆ M ˆ M ˆ M ˆ iM ˆ , M ˆ2M ˆ M ˆ M ˆ 2 0 M z x x z y z z
1 2
exp(im)
(3 10)
将上述结果代入(3-7)式的第二个方程,经数学处理并结合 ˆ 2的本征函数及本征值: 波函数平方可积的限制 得 , M l m
() sin
m
j
a j cos j (6 13)
( j 0,2,4,; or l m
j 1,3,5)
x y z
(3 4)
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3.1 角动量 球坐标系中的表达形式:
ˆ M x i sin cot cos ˆ M y i cos cot sin ˆ i M z 2 1 1 2 2 ˆ M sin (sin ) sin 2 2
1 ( ) 2 2
2
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3.2 电子自旋 可见实际的本征态只有两个，通常也用 α 表示自旋向上 态，用β表示自旋向下态。
2 ˆ ˆ2 与 S ˆ 是对易的，它们应具有共 S 的本征函数：由于 S Z m (Sz )，或α及β。 同的本征函数，即， 自旋角动量算符的本征小结：
x y z y z x z x y
自旋平方算符为：
且有关系：
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3.2 电子自旋 自旋算符的本征值：用 s 表示自旋量子数，它是与自 旋角动量有关的量子数；用 ms表示自旋磁量子数，它是 与自旋角动量z分量有关的量子数。 2 2 ˆ s ( s 1 ) S 的 本征值： ˆ 的 本征值： m s S Z s的取值：从-s到+s的整数或半整数，共有2s+1个值。 对于电子，实验证明， s =1/2，故ms =+1/2或 -1/2 。 相应的本征值：S2 1 ( 1 1) 2 3 2
2 2 1 SZ 2 4
图：电子的自旋角动量
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3.2 电子自旋
ˆ 的属于属于本征值 ˆ 的本征函数：现用 m (Sz )来表示S S Z Z m s 的本征函数，即：
z
ˆ (S ) m (S ) S z mz z s mz z
当不施加外场时, 矢量静止在圆锥面上某个不确定的
位置上; 若在z轴方向施加外场, 则轨道角动量z分量不同
的态具有不同的能量, 若将能量等价地以频率来表示, 就
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3.1 角动量
五 个 d 轨 道 的 角 动 量 空 间 量 子 化
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3.2 电子自旋 2 电子自旋的假设 Uhlenbeck等首先电子除了饶核作轨道运动外，还有自 旋运动，故有自旋角动量。后来，在 Dirac 的相对论量子 力学中，可自然得出电子自旋的结论。 自旋算符：应采用一个厄米线性算符来表示，用符号 S 表示自旋角动量算符，与轨道角动量算符一样，也有三个 分量和对应的对易关系： ˆ ,S ˆ ] iS ˆ , [S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ , [S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S
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3.2 电子自旋
ˆ | 0 ( S x )11 | S x 1 ˆ ( S x ) 21 | S x | 2 0 1 1 ˆ 所以： S x 2 1 0 1 ˆ ( S x )12 | S x | 2 ˆ | 0 ( S x ) 22 | S x
代入(3-7)式的第一个方程,得:
or ()i () ()C1()
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3.1 角动量 上式两边消去 () ,得:
i () C1() d or i () C1() d (3 8)
i 求得它的解为: () N exp( C1) 式中N为积分常数.由于波函数是单值的,故应有:
第3章 角动量与电子自旋
3.1 角动量
3.2 电子自旋 3.3 角动量耦合 3.4 原子光谱项
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3.1 角动量 1 经典力学中的角动量 设电子的空间坐标为(x,y,z) ,其速度v在三个坐标方向的 分量为vx , v y , vz .在经典力学中,质量为m的质点的角动量 之定义为:
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3.1 角动量 4 角动量的空间量子化
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3.1 角动量 有人把这种圆锥面表示形式说成是轨道角动量矢量
主动地绕z轴进动, 这种说法是不准确的.
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3.2 电子自旋 1 电子自旋的实验依据
钠原子的光谱特征：主线系的主要谱线（ D 线）为双 -20 重线，相距6×10 m；所有碱金属元素的主线系谱线都具 有共同特点。 Stern-Gerlach实验：钠原子束在非均匀磁场中被分为两
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3.2 电子自旋 自旋角动量的矩阵表示. 定义如下的自旋升、降算符：
ˆ S ˆ iS ˆ S x y ˆ S ˆ iS ˆ S x y
将它们作用到本征态α、β上，得：
ˆ S ˆ 0 S
ˆ S ˆ 0 S
升、降的含义
根据上述结果可确定自旋算符的矩阵元及自旋角动量的 表示矩阵：
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3.1 角动量
ˆ ˆ 2与 M M z 可以对易,表明它们具有共同的本征函数.此外还 ˆ 2与Hamilton算符 H ˆ 对易. 可证明 M
3 角动量的本征函数 ˆ 只与θ,φ有关,而与r无关,因此可设它们的共同本 ˆ 2与 M M z 征函数的形式为Y(θ,φ),于是得方程组:
i M r mv r p x px j y py k z pz (6 2)
( ypz zp y )i ( zp x xpz ) j ( xp y ypx )k M xi M y j M zk
角动量M的三个分量为:
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M=r×mv
(3-1)
其中 r 代表质点在空间的 矢径, v代表运动速度. M 为角动量,并符合约定 (r,v,M)三个矢量组成的右 手系(见图)
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3.1 角动量 在笛卡尔坐标系中, r=xi+yj+zk, v=vxi+vyj+vzk, 式中i,j,k,为 x,y,z方向的单位矢量,根据矢量的运算规则: i×j=k, k×i=j, j×k=i, i×i=j×j=k×k=0 i· j= k · i= j · k=0, i· i=j · j=k · k=1 得M的具体形式:
ˆ Y (, ) C Y (, ), ˆ 2Y (, ) C Y (, ) M M z 1 2 ˆ 只与θ有关,而与φ无关,故可令: 由于 M
z
(3 7)
Y (, ) ()()
i [()()] C1()()
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1 ˆ 1 ˆ ˆ S x ( S S ) 2 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ S x ( S S ) 2 2
1 ˆ 1 ˆ ˆ S y ( S S ) i 2i 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ S y ( S S ) i 2i 2
(3 11)
ˆ 2和 M ˆ 的 式中Pl|m| (cos) 为连带Legendre多项式. Yl m (, )为 M z
共同本征函数,称为球谐函数(见氢原子的波函数求解),它 受l 和m两个量子数的限制.对角动量由 Yl m (, ) 所描述的 体系,测量其角动量平方的值,一定等到 l (l 1) 2 ,测量角动 量z方向的分量,一定得到m.但测量角动量本身及其在x方 向和y方向的分量, 则得不到确定的值.
(3 9)
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3.1 角动量
ˆ 的本征值必然为量子 可以看出，由于对波函数的限制, M z 化的取值.即测量体系的角动量z分量时,只能得到量子化的 精确值.再由波函数的归一化条件可以得到系数 N 1 / 2 ˆ 的本征函数为: 故M z
()
z
ˆ 2 s ( s 1) 2 S ˆ m 1 S z s 2 ˆ m 1 S z s 2
ˆ 2 s ( s 1) 2 S
s 1/ 2 1 ms 2 1 ms 2
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3.1 角动量
M x ypz zp y , M y zp x xpz , M z xpy ypx
2 2 2 M 2 Mx My Mz
(3 2) (3 3)
2 角动量算符: 按算符转化规则,可得:
ˆ ˆp ˆz z ˆ y i y ˆp Mx y z z y ˆ z ˆ ˆ ˆ ˆ M p x p i z z y x z z x ˆ ˆp ˆy y ˆp ˆ x i x Mz x y z x ˆ2 M ˆ 2 M ˆ 2 M ˆ2 M
i i ( 2) () or N exp[ C1 ( 2)] N exp( C1) i i i or exp( 2C1 ) exp( C1) exp( C1) i exp( C1 2) 1
应用Euler公式,则得:
i 1 1 exp( C1 2) cos( C1 2) i sin( C1 2) 1 C1 / m , or C1 m (m 0,1,2,, )