哈尔滨工业大学计算传热学第四章扩散方程的数值解法及其应用资料重点

1
y
xw
TP
aETE
aNTN
aSTS
1
y
xw
Tf
Scxy
kB
kB
所以对第三类边界条件不仅有附加常数源项，而且还有 附加源项的斜率项
aPTP aETE aNTN aSTS (Sc•ad Sc )xy
aP aE 0 aN aS (Sp•ad Sp )xy
Sp•ad
y xy
a)算术平均线性分布
ke
kp
xe+ xe
kE
xe xe
e
••
•
W
Pxe xe E
xe
b)调和平均
qe
TE TP
xe
ke
TE Te
xe
kE
Te Tp
xe
kp
TE
xe
kE
TP
xe
kP
ke
kP kExe xek p xekE
当 xe xe
kP kE
算术平均
ke
kP
kE 2
kP 2
第四章 扩散方程的数值解法及其应用
§4.1 一维稳态导热
1 • d [kF(x) dT ] S 0
F (x) dx
dx
F(x)：与坐标系和截面形状有关的计算因子
S：内热源。
w
e
△x
e d
dT
[kF (x) ]dx
w dx
dx
e
F (x) • Sdx 0
w
•
W
xw
•
P
xe
•
E
keFe
W PE
ap
Fe k e
xe
TE
Fw kw
xw
TW
ScFp x
aE
aw
b
得：apTp aETE awTw b
一维稳态导热方程的离散形式
讨论：
（1）由
q
kF
T x
T ( x
)
kF
热阻 看出 aE ,aW
是热阻的倒数，即热导，导热能力。
（2）S • F • x →控制容积中的发热量
（3）ke kw 是界面值，实际上只有节点值：kE kP kW
aw
y
xw
kw
kB y
xw
壁面导热系数
目的是消除边界节点温度 TW
•N
•P •E
xw xe
•S
△x
将上式两边— aWTP 得
(aP aW )TP aETE aNTN aSTS aW (TW TP ) b
而
aW (TW
TP )
kB y
xW
(TW
TP ) qBy
一、第二类边界条件
qB已知
a [TE 2
2TP Tw x 2
TE
2TP TW x 2
]
二、求解
1. 显式：可以逐个节点计算，但受 t 步长限制。
2. 稳及半稳：需所有节点联立求解。 写成矩阵形式 AiTi1 BiTi CiTi1 Di 系数矩阵为三对角矩阵，可以采用“追赶法”即TDMA 算法求解。
§4.3 多维非稳态导热问题的全隐格式
一、TDMA法
AiTi BiTi 1 CiTi 1 Di
A1 B1
C2
A2 B2
T1 D1
T2
D2
CM 1 CM
AM
1
BM
1
AM
TM
1
DM
1
TM DM
1.
消元：
T1
B1 A1
T2
D1 A1
P1T2
Q1
T2
B2 A2
T3
C2 A2
(P1T2
Q1 )
D2 A2
A2
C2P1 A2
T2
B2 A2
T3
1 A2
(C2Q1
D2 )
T2
A2
B2 C2P1
T3
D2 A2
C2Q1 C2P1
P2T3
Q2
Ti PiTi 1 Qi
Pi
Ai
Bi Ci Pi 1
•
1
1
xw
kB
Sc•ad
y xy
•
1
Tf
xw
kB
三、编通用程序
采用附加源项法，很容易以通用的节点离散方程计算 内部和邻近边界节点的温度。而边界节点的温度为：
qB
Tf
Tw 1
或
qB
Tw Tp
xw
kB
四、源项线性化处理
1. 广义源项：所有不能包括到非稳态项、对流项和扩散 项中的其它项。
dT dx
|e
kw Fw
dT dx
|w
e
F
w
• Sdx
0
dT dx
|e
TE TP
xe
dT dx|wTp来自TwxwW PE （线性分布）
设 S Sc Sp •T 为温度的线性函数，沿x轴阶梯分布
e
F
w
• Sdx
Fp
• Scx
FpSpTp x
整理：[Feke xe
Fw kw
xw
SpFpx]Tp
调和平均 ke 2kE 合理
不合理 此时热阻 应取决于 导热系数 小的
一、格式
§4.2 一维非稳态导热
c T 1 [k T ] S
t F x
x
用控制容积法积分可得：
显式：TP TP t
aTE
2TP TW x 2
隐式：TP TP t
aTE
2TP TW x 2
at x 2
1 2
C–N：TP TP t
[ke
TE TP
xe
kw
TP Tw
xw
]yt
[kn
TN TP y n
ks
TP TS ys
]xt
(Sc
SPTP
)xyt
整理 aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
aE
y
xe
， aw
y
xw
，aN
x
y n
，
as
y
y s
ke
kw
kn
ks
aP aE aW aN aS aP SP xy
2. 局部线化处理：
S Sc SP •TP
常数项
S在P点随T变化曲线的斜率
a. 只要S不是常数，采用S=f（T）加快迭代。
b. SP 0 计算收敛。
c. SP 大，计算稳定，收敛慢。 SP 小，变化快，容易发散。
满足线性方程组对角占优条件!!!
§4.5 TDMA和ADI方法（交替方向隐式）
随着维数增加，若采用隐式计算则系数矩阵为五对角 或七对角阵，不能直接用TDMA方法，但可以在每个方法 逐步使用。
x
二维、直角 c T (k T ) (k T ) S
t x x y y
•N
y n
y •W •P •E ys
•S
we
xw xe
n
e
tt c T
t t
n
e T T [ ( k ) ( k ) S ]dxdydt
s wt
t t s w x x y y
(c)P (TP
TP )xy
aP
( )P xy
t
热惯性
b Sc xy
§4.4 源项及边界条件的处理
处理边界条件的方法
1. 对边界节点补充代数方程，适用于外节点离散法. 2. 附加源项法，适用于内节点离散法
注意 在内节点法中，边界节点W的控制容积厚度为零。
由 aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
qB y
b
qB y
Scxy
( qB y xy
Sc )xy
(Sc•ad Sc )xy
附加源项 Sc•ad
qB x
aP aP aW aE 0 aN aS SPxy
aW 0
二、第三类边界条件 qB未知
qB Tf
TW 1
TW TP
xw
Tf TP
1 xw
kB
kB
则
aP TP