数值计算中的误差
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2 若 x x 1 10n ,
2 n 0, x准确到小数点后第n位; n 0, x准确到个位; n 0, x准确到个位前的第n位;
例：x* 2376490, 且 ( x* ) 1 104 则 x*有 3位 有 效 数 字.
2
例 ： 近 似 数x* 0.231关 于 真 值x 0.229有 2 位 有 效 数 字.
10
例： 2 1.414 (1.4142135 6237310......)
是经过四舍五入得到的近似值，则
绝 对 误 差 限 ε 1 103 2
相对误差限εr
0.5 103 1.414
0.035%
11
四舍五入的原则： 1.舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位
2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数
(3.65 1.21 1) 1 102 2
0.0293 1 101 2
准 确 到 小 数 点 后 第 一 位 ,计算结果有2位有效数字.
x* 5.3935
r
(x*)
(x* x*
)
0.0293 5.3935
0.0054
0.0083 1 1021 2(5 1)
故计算结果有2位有效数字.
er
(
y*
)
e( y* y*
)
n f(x 1 *,x 2 *,...,x n *)
i 1
x i
e(x i*) f(x 1 *,...,x n *)
n f(x 1 * ,x 2 * ,...,x n * )
i 1
x i
f(x 1 * x ,.i * ..,x n * )e r(x i * )
特别地，和、差、积、商的误差公式为：
30
例 : 计 算 球 的 体 积, 为 使 其 相 对 误 差 限 为 1 , 100
问 测 量 半 径R时, 相 对 误 差 最 大 为 多 少?
解 : 由V 4R 3
3
e(V ) 4R 2e( R )
e(V ) 3e( R) er (V ) V R 3er ( R)
由
r
(V
)
1 100
设 x * 0.a1 an 10 m
r | x* | =0.3% | x* | 取 最 大 值
0.3% 1 10m 0.5 10m 2 有两位有效数字
23
问题：假定1.21及运算过程精确到两位小数，
y* 1.21或 y* ln 1.21, y*精 确 到 哪 一 位 ？
若 y f ( x )， 则 e ( y * ) f ( x ) f ( x * ) d f(x*) f ( x* )e( x* )
er(x*)
e( x* ) xx*
e( x* ) x*
相 对 误 差 限 εr : | er ( x * ) | εr
两种误差限的关系：
εr
ε |x*|
ε |x*|εr
上例， εr ( x)
ε( x) x*
0.02 10
0.002
εr (
y)
ε( y) y*
0.05 30
0.0016
0.002
7
例：
用 毫 米 刻 度 的 米 尺 测 量 一 长 度 为 x， 如 读 出 的
长度是x* 765mm, 其 绝 对 误 差 限 为 0.5m m 准确值x：7 6 4 .5 m m x 7 6 5 .5 m m
x [ 7 6 4 .5 m m ,7 6 5 .5 m m ] . x 7 6 5 0 .5 (m m )
5
第一章 误差
§1 误差的来源与分类
➢从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差
➢通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差
➢求近似解 —— 截断误差
x2 x4 x6
(1)n x 2n
cos x 1 ...
...
2! 4! 6!
(2n)!
cosx1x2(|x|很 小 时 )， |截断误差| x4 .
2!
24
➢机器字长有限 —— 舍入误差
6
§2 绝对误差、相对误差和有效数字 2.1 绝对误差与相对误差
设 x*为 准 确 值x的 一 个 近 似 值
绝对误差e(x*) : e( x* ) x x* 绝 对 误 差 限 ε : e(x*) x x* ε 可 以 表 示 为: x * ε x x * ε或 x x * ε 注 :绝对误差限不唯一
r(x*)
1
10n1
2(a1 1)
x*至 少 有n位 有 效 数 字
为 使0.3%
1
10n1 取 最 小 值
2(a1 1)
a1 9 得 n 2， 有 两 位 有 效 数 字
22
例 ： 已 知x*的 相 对 误 差 限 是0.3%， 问 x *至 少 有 几 位 有 效 数 字 ？
解2:（用绝对误差限和有效数字的关系）
f
(
x
* 1
,
x
* 2
,
.
.
.
,
x
* n
)
df(x1 *,...,xn *)
n i1
f
(
x1*
,
x
* 2
,
xi
...,x
* n
)
(
xi
x
* i
)
i n1f(x1 *,xx2 *i,...,xn *)e(xi*)
25
e(y*)i n 1f(x1 *, x x 2 * i,...,xn *)e(xi*)
)
er
e (
( x1 x1 )
)
x1
x
2 2
e
er ( x2
( )
x
2
)
27
ε( x1 x2 ) ε( x1 ) ε( x2 )
εr ( x1 x2 ) εr ( x1 ) εr ( x2 )
εr (
x1 x2
)
εr ( x1 )
εr ( x2 )
即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误
ε εr | x | 20 103 0.4 102
需要准确到小数点后第 二 位，
取三位有效数字.
注：也可以用相对误差限和有效数字的关系
21
例 ： 已 知x*的 相 对 误 差 限 是0.3%， 问 x *至 少 有 几 位 有 效 数 字 ？
解1：相对误差限和有效数字的关系
设 x * 0.a1 an 10 m
|x x*| 1 10n 2
即 x准 确 到 小 数 点 后 第 n位 ,从 x左 边 第 一 个 非 零数字到该位的所有数字均称为有效数字.
13
例如 1. x 0.005800 1 106 表 示 近 似 值
2 x* 0.005800 准确到小数点后第 6位，
x*有 4 位 有 效 数 字
2. 若 x* 1452.046具 有 7位 有 效 数 字 ，
则其准确到小数点后第 3位，
绝 对 误 差 限 ： 1 103
2来自百度文库
绝对误差限 准确到哪一位 有效数字
14
例 ： 2 =1.41421356237310...... x * =1.414213做 为 2的 近 似 值 ， 有 几 位 有 效 数 字 ？
• 建议或问题：zhxy30@126.com
3
问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题 数学模型
数值
计算
计算
机
求各种数学问题近似解的方法和理论
近似解
4
主要内容 • 数值代数
线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章)
15
有效数字另一等价定义
将 x 表 示 成 规 范 形 式 ： x 0.a1a2 ...an ... 10m
其
中
m
为
整
数
，a
为
i
0
9, a1 0,
则 x 做 为 x的 近 似 值 有 n位 有 效 数 字 当 且 仅 当
x x 1 10m nn 2
16
绝对误差限 有效数字
ε= 1 10n 准 确 到10n位 确 定 几 位 有 效 数 字 2
例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数
0.714, 0.776, 0.733
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位. 上 述 各 近 似 值 的 绝 对 误 差 限 ： 1 1 0 3
2
12
2.2 有效数字
x 作 为 x的 近 似 值 ， 其 绝 对 误 差 限 为 x 某 一 位 上数字的半个单位
an 10m 2a1
r
|
x
|
2(
1 a1
1)
10
n
1
0
.(
a
1
1) 10m
1 10nm 2
说 明 ： 有 效 数 字 位 数 越 多 相 对 误 差 限 越 小 20
例： 为使 20的近似值的相对误差限小于0.1% 要取几位有效数字？ 解: （用绝对误差限和有效数字的关系）
要使绝对误差限满足
差限之和，积、商的相对误差限不超过各
数的相对误差限之和.
28
例 假定运算中数据都精确到两位小数，试求
x* 1.21 3.65 9.81
的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效 数字?
解：x * 5.3935
e( x* ) 3.65 e(1.21) 1.21 e(3.65) e(9.81) ( x* ) 3.65 (1.21) 1.21 (3.65) (9.81)
ε( y* ) | f ( x* ) | ε( x* )
误差的传播
§3 数值计算中误差的传播
3.1 基本运算中的误差传播
设y
f ( x1 , x2 ..., xn ),
f在
点(
x1
,
x
2
,...
x
n
)处
可
微
，
xi*为xi的 近 似 值 ， 则
e( y*)
f ( x1 , x2 ...,xn )
x 0.a1a2 ...an ...
ε= 1 10mn
绝对误差限
2
10m
有 n位 有 效 数 字
问题：有效数字的位数和精确度的关系？
考虑相对误差限与有效数字的关系
17
有效数字和绝对误差限的关系（准确到哪一位）
x表示成规范形式：x 0.a1a2 ...an ... 10m 其中m为整数，ai为09, a1 0 如果 x x 1 10mn , 则x有n位有效数字
相同
定 理 1.1 : x * 0.a1a 2 ......a n ... 10 m (a1 0)
x*有n位 有效 数字
r ( x* )
1 2a1
10n1
反之
r ( x* )
1
10n1
2(a1 1)
x*至 少 有n位 有 效 数 字
r
x*
1 10mn
2
0.a1
1
1 10n1
e( x1
x2 )
e( x1)
e( x2
)
er
(
x1
x2 )
x1 x1 x2
er ( x1 )
x2 x1 x2
er ( x2 )
ee(rx(1xx12
) x
2)
x2e( x1 ) er ( x1 )
x1e er (
(x x2
2
)
)
e( x1 ) 1
x2
x2
er
(
x1 x2
解 ：| e( x* ) | | x x * | 0.0000005623 1 105 2
准 确 到 小 数 点 后 第 5 位 ，有 6位 有 效 数 字
例：若x* 2376490,且ε= 1 104，x*有几位有效数字？ 2
解 ： x *准 确 到 104位 ， x *有 3位 有 效 数 字 , 它 们 分 别 是 2, 3,7
8
例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过 5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？
y(长 ) 30 0.05(m ) x(宽 ) 10 0.02(m )
哪一个精度高？
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关, 还和该量的大小有关. 为了更好地反映测量值的精度，引入
9
相对误差er (x*) :
得
r
(R)最 大 为
1 300
.
注 ： 一 般 的 ， 若 y xn ,则 er ( y) ner (x)
e (y ) e (x n ) n x n 1 e (x ) ， er(y)e(yy)ner(x)
31
3.2 算法的数值稳定性
算法：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序
稳定性：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差 在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定 的；否则称算法是数值不稳定的.
例 ： 若 下 列 各 对 近 似 值均 为 有 效 数 ， 它 们 是 否 一 样 ， 若 不 一样 有 什 么 区 别 ？
(1)45800和458 102
分 别 有5和3位 有 效 数 字
(2)0.00438和0.04380 101 分 别 有3和4位 有 效 数 字
(3)0.4015 102 和0.04015 103
数值计算方法
主讲教师: 张晓颖
• 教材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》，高等教育出版社
• 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等
2
• 最后成绩=平时出勤（10%）+作业成绩 (10%)+期末考试成绩(80%)
• 答疑：课间 周一、三中午12:00—13:00 第三教学楼406
2 n 0, x准确到小数点后第n位; n 0, x准确到个位; n 0, x准确到个位前的第n位;
例：x* 2376490, 且 ( x* ) 1 104 则 x*有 3位 有 效 数 字.
2
例 ： 近 似 数x* 0.231关 于 真 值x 0.229有 2 位 有 效 数 字.
10
例： 2 1.414 (1.4142135 6237310......)
是经过四舍五入得到的近似值，则
绝 对 误 差 限 ε 1 103 2
相对误差限εr
0.5 103 1.414
0.035%
11
四舍五入的原则： 1.舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位
2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数
(3.65 1.21 1) 1 102 2
0.0293 1 101 2
准 确 到 小 数 点 后 第 一 位 ,计算结果有2位有效数字.
x* 5.3935
r
(x*)
(x* x*
)
0.0293 5.3935
0.0054
0.0083 1 1021 2(5 1)
故计算结果有2位有效数字.
er
(
y*
)
e( y* y*
)
n f(x 1 *,x 2 *,...,x n *)
i 1
x i
e(x i*) f(x 1 *,...,x n *)
n f(x 1 * ,x 2 * ,...,x n * )
i 1
x i
f(x 1 * x ,.i * ..,x n * )e r(x i * )
特别地，和、差、积、商的误差公式为：
30
例 : 计 算 球 的 体 积, 为 使 其 相 对 误 差 限 为 1 , 100
问 测 量 半 径R时, 相 对 误 差 最 大 为 多 少?
解 : 由V 4R 3
3
e(V ) 4R 2e( R )
e(V ) 3e( R) er (V ) V R 3er ( R)
由
r
(V
)
1 100
设 x * 0.a1 an 10 m
r | x* | =0.3% | x* | 取 最 大 值
0.3% 1 10m 0.5 10m 2 有两位有效数字
23
问题：假定1.21及运算过程精确到两位小数，
y* 1.21或 y* ln 1.21, y*精 确 到 哪 一 位 ？
若 y f ( x )， 则 e ( y * ) f ( x ) f ( x * ) d f(x*) f ( x* )e( x* )
er(x*)
e( x* ) xx*
e( x* ) x*
相 对 误 差 限 εr : | er ( x * ) | εr
两种误差限的关系：
εr
ε |x*|
ε |x*|εr
上例， εr ( x)
ε( x) x*
0.02 10
0.002
εr (
y)
ε( y) y*
0.05 30
0.0016
0.002
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例：
用 毫 米 刻 度 的 米 尺 测 量 一 长 度 为 x， 如 读 出 的
长度是x* 765mm, 其 绝 对 误 差 限 为 0.5m m 准确值x：7 6 4 .5 m m x 7 6 5 .5 m m
x [ 7 6 4 .5 m m ,7 6 5 .5 m m ] . x 7 6 5 0 .5 (m m )
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第一章 误差
§1 误差的来源与分类
➢从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差
➢通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差
➢求近似解 —— 截断误差
x2 x4 x6
(1)n x 2n
cos x 1 ...
...
2! 4! 6!
(2n)!
cosx1x2(|x|很 小 时 )， |截断误差| x4 .
2!
24
➢机器字长有限 —— 舍入误差
6
§2 绝对误差、相对误差和有效数字 2.1 绝对误差与相对误差
设 x*为 准 确 值x的 一 个 近 似 值
绝对误差e(x*) : e( x* ) x x* 绝 对 误 差 限 ε : e(x*) x x* ε 可 以 表 示 为: x * ε x x * ε或 x x * ε 注 :绝对误差限不唯一
r(x*)
1
10n1
2(a1 1)
x*至 少 有n位 有 效 数 字
为 使0.3%
1
10n1 取 最 小 值
2(a1 1)
a1 9 得 n 2， 有 两 位 有 效 数 字
22
例 ： 已 知x*的 相 对 误 差 限 是0.3%， 问 x *至 少 有 几 位 有 效 数 字 ？
解2:（用绝对误差限和有效数字的关系）
f
(
x
* 1
,
x
* 2
,
.
.
.
,
x
* n
)
df(x1 *,...,xn *)
n i1
f
(
x1*
,
x
* 2
,
xi
...,x
* n
)
(
xi
x
* i
)
i n1f(x1 *,xx2 *i,...,xn *)e(xi*)
25
e(y*)i n 1f(x1 *, x x 2 * i,...,xn *)e(xi*)
)
er
e (
( x1 x1 )
)
x1
x
2 2
e
er ( x2
( )
x
2
)
27
ε( x1 x2 ) ε( x1 ) ε( x2 )
εr ( x1 x2 ) εr ( x1 ) εr ( x2 )
εr (
x1 x2
)
εr ( x1 )
εr ( x2 )
即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误
ε εr | x | 20 103 0.4 102
需要准确到小数点后第 二 位，
取三位有效数字.
注：也可以用相对误差限和有效数字的关系
21
例 ： 已 知x*的 相 对 误 差 限 是0.3%， 问 x *至 少 有 几 位 有 效 数 字 ？
解1：相对误差限和有效数字的关系
设 x * 0.a1 an 10 m
|x x*| 1 10n 2
即 x准 确 到 小 数 点 后 第 n位 ,从 x左 边 第 一 个 非 零数字到该位的所有数字均称为有效数字.
13
例如 1. x 0.005800 1 106 表 示 近 似 值
2 x* 0.005800 准确到小数点后第 6位，
x*有 4 位 有 效 数 字
2. 若 x* 1452.046具 有 7位 有 效 数 字 ，
则其准确到小数点后第 3位，
绝 对 误 差 限 ： 1 103
2来自百度文库
绝对误差限 准确到哪一位 有效数字
14
例 ： 2 =1.41421356237310...... x * =1.414213做 为 2的 近 似 值 ， 有 几 位 有 效 数 字 ？
• 建议或问题：zhxy30@126.com
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问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题 数学模型
数值
计算
计算
机
求各种数学问题近似解的方法和理论
近似解
4
主要内容 • 数值代数
线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章)
15
有效数字另一等价定义
将 x 表 示 成 规 范 形 式 ： x 0.a1a2 ...an ... 10m
其
中
m
为
整
数
，a
为
i
0
9, a1 0,
则 x 做 为 x的 近 似 值 有 n位 有 效 数 字 当 且 仅 当
x x 1 10m nn 2
16
绝对误差限 有效数字
ε= 1 10n 准 确 到10n位 确 定 几 位 有 效 数 字 2
例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数
0.714, 0.776, 0.733
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位. 上 述 各 近 似 值 的 绝 对 误 差 限 ： 1 1 0 3
2
12
2.2 有效数字
x 作 为 x的 近 似 值 ， 其 绝 对 误 差 限 为 x 某 一 位 上数字的半个单位
an 10m 2a1
r
|
x
|
2(
1 a1
1)
10
n
1
0
.(
a
1
1) 10m
1 10nm 2
说 明 ： 有 效 数 字 位 数 越 多 相 对 误 差 限 越 小 20
例： 为使 20的近似值的相对误差限小于0.1% 要取几位有效数字？ 解: （用绝对误差限和有效数字的关系）
要使绝对误差限满足
差限之和，积、商的相对误差限不超过各
数的相对误差限之和.
28
例 假定运算中数据都精确到两位小数，试求
x* 1.21 3.65 9.81
的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效 数字?
解：x * 5.3935
e( x* ) 3.65 e(1.21) 1.21 e(3.65) e(9.81) ( x* ) 3.65 (1.21) 1.21 (3.65) (9.81)
ε( y* ) | f ( x* ) | ε( x* )
误差的传播
§3 数值计算中误差的传播
3.1 基本运算中的误差传播
设y
f ( x1 , x2 ..., xn ),
f在
点(
x1
,
x
2
,...
x
n
)处
可
微
，
xi*为xi的 近 似 值 ， 则
e( y*)
f ( x1 , x2 ...,xn )
x 0.a1a2 ...an ...
ε= 1 10mn
绝对误差限
2
10m
有 n位 有 效 数 字
问题：有效数字的位数和精确度的关系？
考虑相对误差限与有效数字的关系
17
有效数字和绝对误差限的关系（准确到哪一位）
x表示成规范形式：x 0.a1a2 ...an ... 10m 其中m为整数，ai为09, a1 0 如果 x x 1 10mn , 则x有n位有效数字
相同
定 理 1.1 : x * 0.a1a 2 ......a n ... 10 m (a1 0)
x*有n位 有效 数字
r ( x* )
1 2a1
10n1
反之
r ( x* )
1
10n1
2(a1 1)
x*至 少 有n位 有 效 数 字
r
x*
1 10mn
2
0.a1
1
1 10n1
e( x1
x2 )
e( x1)
e( x2
)
er
(
x1
x2 )
x1 x1 x2
er ( x1 )
x2 x1 x2
er ( x2 )
ee(rx(1xx12
) x
2)
x2e( x1 ) er ( x1 )
x1e er (
(x x2
2
)
)
e( x1 ) 1
x2
x2
er
(
x1 x2
解 ：| e( x* ) | | x x * | 0.0000005623 1 105 2
准 确 到 小 数 点 后 第 5 位 ，有 6位 有 效 数 字
例：若x* 2376490,且ε= 1 104，x*有几位有效数字？ 2
解 ： x *准 确 到 104位 ， x *有 3位 有 效 数 字 , 它 们 分 别 是 2, 3,7
8
例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过 5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？
y(长 ) 30 0.05(m ) x(宽 ) 10 0.02(m )
哪一个精度高？
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关, 还和该量的大小有关. 为了更好地反映测量值的精度，引入
9
相对误差er (x*) :
得
r
(R)最 大 为
1 300
.
注 ： 一 般 的 ， 若 y xn ,则 er ( y) ner (x)
e (y ) e (x n ) n x n 1 e (x ) ， er(y)e(yy)ner(x)
31
3.2 算法的数值稳定性
算法：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序
稳定性：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差 在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定 的；否则称算法是数值不稳定的.
例 ： 若 下 列 各 对 近 似 值均 为 有 效 数 ， 它 们 是 否 一 样 ， 若 不 一样 有 什 么 区 别 ？
(1)45800和458 102
分 别 有5和3位 有 效 数 字
(2)0.00438和0.04380 101 分 别 有3和4位 有 效 数 字
(3)0.4015 102 和0.04015 103
数值计算方法
主讲教师: 张晓颖
• 教材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》，高等教育出版社
• 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等
2
• 最后成绩=平时出勤（10%）+作业成绩 (10%)+期末考试成绩(80%)
• 答疑：课间 周一、三中午12:00—13:00 第三教学楼406