导数压轴题分类___极值点偏移问题

导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题

极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者

()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。

2

ln ln ab b

a b a b a +<

--<

。⑶变换主元等方法。

任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2

2

()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性;

（2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2

2

()ln f x a x x ax =-+-可知

2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x

--+-'=-+-==

因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以

① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；

② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；

③ 若0a <时，当(0,)2

a

x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，

当(,)2

a

x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；

（2）要证122x x a +>，只需证12

2x x a +>，

(x)g =22

2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x

'''=-+-=+>∴=则为增函数。

只需证：12

x x (

)()02

f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a

-+->⇔-+->++（*） 又2222

111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得：

1212212ln ln 1(x x a)0x x x x a --

++-=-，把1212212

ln ln 1

(x x a)x x a x x -+-=-代入（*）式，即证：

121212ln ln 2

0x x x x x x --+>+-化为：1

2111

222

2(

1)2(1)ln 0,=,ln 011x x x x t t t x x x t x ---+>-+>++令即证： ()()2

22

2(1)41(t 1)(t)ln (01),(t)0111t t t t t t t t

ϕϕ---'=-+<<=-+=<+++令则

所以(t)ϕ为减函数，(t)(1)0ϕϕ<= 综上得：原不等式得证。

2.设11(,)A x y ,22(,)B x y 是函数2()(12)ln f x ax a x x =+--图象C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ,试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线

AB ？

解:由题意可得2

1111(12)ln y ax a x x =+--,2

2222(12)ln y ax a x x =+--, 且12x x ≠,故直线AB 的斜率2121

212121

ln ln ()12y y x x k a x x a x x x x --=

=++----.

由题意可知曲线C 在点N 处的切线的斜率为12

'(

)2

x x f +,因此我们只需判断直线AB 的斜率k 与12

'(

)2

x x f +是否相等即可. 又由于1

'()212f x ax a x

=+--

,因此1212122'()()122x x f a x x a x x +=++--+. 令函数()'()g x k f x =-,则2112212ln ln ()x x g x x x x x -=

-+-21212121

12()[(ln ln )]x x x x x x x x -=⋅---+ 2

21

2211

1

2(

1)

1[ln ]1x x x x x x x x -=⋅--+.

不妨令120x x <<,则2

11x t x =

>,2(1)()ln 1

t h t t t -=-+, 则由222

14(1)'()0(1)(1)

t h t t t t t -=-=>++可知()t ϕ在(1,)+∞上递增. 故()(1)0h t h >=.

从而可得()0h x ≠,即直线AB 的斜率k 与12

'()2

x x f +不相等,也即曲线C 在点N 处的切线与直线AB 不平行.

任务二、完成下面练习，体验极值点偏移问题的解决方法在解题中的运用。 3.设函数2

()(2)ln f x x a x a x =---． (1)求函数()f x 的单调区间；

(2)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12

()02

x x f +'>． 解:(1)由(1)(2)

'()2(2)a x x a f x x a x x

+-=---

=

,且0x >可知: 当0a ≤时,'()0f x >,此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时,若02

a

x <<

,则'()0f x <；若2a x >,则'()0f x >；此时,函数()f x 在(0,)2a 上

单调递减；在(,)2

a

+∞上单调递增.

(2)由12,x x 12(0)x x <<是方程()f x c =的两个不等实根可知: 2

111(2)ln x a x a x c ---=,

2

222(2)ln x a x a x c ---=. 两式作差可得

12121212()()(2)()(ln ln )0x x x x a x x a x x -+-----=.

故21

2121

ln ln 2x x x x a a x x -+=-+⋅

-.