激光散斑实验中的数据处理

激光散斑实验中的数据处理周清博(中国科学技术大学软件学院2002级本科合肥市四号信箱11#132 230027)摘要对激光散斑技术作了简要的介绍，主要介绍激光散斑实验中的数据处理技术和技巧。

详细说明了相关函数的概念和应用，重点讨论信号处理理论如FFT和圆周相关定理在激光散斑测量数据处理中的应用及其意义，并就一些容易被忽略的部分进行了探讨。

关键词激光散斑，相关函数，快速傅立叶变换Data Processing in Experiment of Laser SpeckleZhou Qingbo(2002 undergraduate of SSE, USTC Room 11#132, P. O. Box 4, Hefei 230027)Abstract This article presents a brief introduction of the technology of laser speckle, and focuses on the technique of data processing in the experiment of laser speckle. The concept and application of correlation are explained in detail. The application and significance of Theory of signal processing such as FFT and circular correlation theorem are discussed emphatically and some related forgettable parts are mentioned.Key words laser speckle, correlation, fast Fourier transform (FFT)1.激光散斑简介散斑是一种普遍存在的统计光学现象，它是光波经过介质的无规散射后呈现出的无规分布。

在实物图像处理的过程中，散斑的存在经常会造成图像真实程度的损失，所以在最初的研究中，人们多考虑如何减弱或消除散斑的影响。

然而，散斑通常携带了物体表面的大量有用信息，因此便于通过散斑的性质对物体表面的性质进行研究，这逐渐得到科技工作者的重视和研究，并在生产生活中得到了广泛应用。

激光束照射在粗糙表面或者透过透明散射体时，在散射表面或附近的光场可以观察到激光散斑。

激光与普通光束比较，相干性非常高，因而形成的散斑就更加明显，应用很广。

例如，在防伪技术上，通过与散斑图像相减来加密图像，解密时再与解码散斑叠加。

医学上，可以摆脱长期依靠医生经验或者取样检验的困扰，利用散斑所携带的信息检验人体组织的生理状态，这就是所谓的光活检技术，在临床医学应用中具有重大意义。

用激光散斑检验部件的表面粗糙度，具有快速和无破坏性的优点，在工业控制中有较高实用价值。

在本文中主要讨论的实验，是利用激光散斑结合计算机处理来测量散斑的统计平均半径和散射体的微小位移。

其实验光路如下图所示，毛玻璃可以沿η轴进行微小位移。

2. 相关函数在统计和数字信号处理理论中，相关函数与信号的功率谱有密切关系，是一个非常重要的概念。

顾名思义，相关函数即两个信号之间的相互关系。

同一信号与自身的关系称自相关，而两个不同信号的关系称互相关。

自相关函数的傅立叶变换是功率谱密度，而互相关函数的功傅立叶变换是互功率谱密度即互谱密度。

通过对平稳随机过程的特性进行统计，其结果往往是确定的，所以可以用相关函数来描述散斑场的性质。

定义散斑光场的自相关函数为：><=)y ,I(x )y ,I(x )y , x ;y ,G (x 22112121经归一化处理得到：><><=)y ,I(x )y ,I(x 1 )y , x ;y ,g(x 221122121I 以I(x 1, y 1)表示观察面任意一点的光强，而I ’(x 2, y 2)表示散射体经过一个微小位移后的任意一点的光强，散斑的互相关函数经过归一化处理后为：><><=)y ,(x I' )y ,I(x 1 )y , x ;y ,g(x 221122121I 在计算机中，数据只能是离散的点上的值，因此改写为离散形式：光强统计平均： ∑∑==>=<x yn i n j yx j i I n n I 11),(1 自相关函数： ∑∑==++><--=x yn i n j y x m j l i I j i I I m n l n m l g 112),(),())((1),( 互相关函数：∑∑==++><--=x yn i n j y x m j l i I j i I I m n l n m l g 112),('),())((1),( 下面讨论利用相关函数提取图像信息的方法。

通过光学理论的推导可以得出自相关函数与散斑平均半径的关系：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-+=∆∆2222exp 1),(y x S y S x y x g 其中S x 、S y 分别表示x 和y 方向的统计半径（CCD 像屏上的），利用光学原理就可以求得毛玻璃上的半径。

后面将详细介绍通过数值拟合求S x 、S y 的方法。

又可得到互相关函数与毛玻璃位移的关系。

设毛玻璃在ξ、η方向上的位移分别为Δx, Δy ，ρ(P 1)表示激光高斯光束等振幅线在P 1处的曲率半径（关于激光束的性质，参见参考文献1），则互相关函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+∆-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+∆-+=∆∆S P P y S P P x y x g ))(/1(exp ))(/1(exp 1),(1212ρηρξ该函数的峰值容易写出，将数据中的峰值点代入，即可求出Δx, Δy,较容易操作。

事实证明，即使散斑场的位移在散斑图像大小的1/3左右，利用相关函数也可以精确求出位移，可见这是一种很好的方法。

再看直接计算相关函数的算法复杂度。

通过其离散形式易见其乘法运算次数为（假设图片尺寸为n x ×n y ）4)1()1(11111--=∑∑∑∑==-=-=y y x x n l n m l n i m n j n n n n x y x y再假设n x = n y = n ，那么这个复杂度是Θ(n 4)。

实验中一般用长宽为250象素的图像，以这个规模，仅乘法计算就需要10亿次以上，在普通的计算机上需要很长的运行时间。

所以直接计算是不足取的，后面将介绍改进办法。

3. 快速傅立叶变换快速傅立叶变换（FFT ，Fast Fourier Transform ）是离散傅立叶变换（DFT ，Discrete Fourier Transform ）的一种快速算法。

DFT 是信号处理中十分常见的一种变换，以W N 记exp(-j2π/N)，则10)()]([)(10-≤≤==∑-=N k W n x n x DFT k X N n nk N ，逆变换10,)(1)]([)(10-≤≤==∑-=-N n Wk X N k X IDFT n x N k nk N有下面的圆周相关定理：若)(*)()(k Y k X k R xy =则)]([)(k R IDFT m r xy xy =其中r xy (m)为圆周相关。

但是我们计算的是线性相关，不能直接运用圆周相关定理来简化运算。

不过，只要将序列补零至长度为要计算相关的两序列长度之和减1，圆周相关就与线性相关等价了。

具体说来，就是先补足长度，然后做傅立叶变换，频域相乘，做傅立叶逆变换，最后将得到的序列截取原序列长度即可。

利用FFT 算法中比较受好评的FFTW （Fast Fourier Transform in the West ），可以使一维傅立叶变换的复杂度为O(nlogn)。

根据二维傅立叶变换的实现方式，可以知道其复杂度为O(n 2logn)。

除此之外的乘法次数为Θ(n 2)。

因此，运用FFT 算法简化运算后，整个算法的复杂度降为O(n 2logn)。

在Windows XP Pro ，256 Ram ，AMD 1800+的系统上，散斑图像规格200×200，用C++实现的代码，从计算相关函数开始到拟合或者寻找峰值结束，无论是自相关函数还是互相关函数，直接计算的都耗时20秒，而运用了FFT 的代码仅用2秒即给出结果（非精确测量）。

由此可见FFT 算法的应用大大提高了计算的效率。

4. 自相关函数的数据拟合方法前面已提到理论上推导出的自相关函数与散斑半径的关系：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-+=∆∆2222exp 1),(y x S y S x y x g 而从样本数据需要得到下面形式的函数：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22ex p ),(y x S m S l m l g βα 移项并取对数：222211ln ]),(ln[m S l S m l g x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-βα α的取值较难选择，一个解决办法是取为数据的第一极小值点。

很显然，g(l, m)是一个峰值在原点的函数且在两个坐标轴方向上都递减，而根据对相关函数的了解我们知道，相关函数的峰值在原点，不过在坐标轴的远处是应该有起伏的（即相关函数的值是这样分布的）。

因此，要想较好地拟合，应该只取第一极小值点内的数据。

但是从整幅图中寻找第一极小点也比较烦琐，所以可以由程序执行者观察，看一个散斑平均占多少个象素，然后就以这个值指定范围来搜索一个最小值点作为图像的第一极小值点。

一旦这个α确定了，剩下的工作就是线性拟合了，依据是均方差最小的原则。

该方法较简单，只需解一个三元一次方程组，这里不再赘述。

5.通过互相关函数如何正确地找出位移据前述，利用互相关函数不仅可以测量微小位移，较大的位移也可以精确测量。

问题是，如果散斑移动前后的两个图片反过来了，会怎么样呢？可以想见，假设可以求出位移，这个位移应该是负值。

不过相关函数寻找峰值时只在第一象限搜索，所以实际求得的位移是零。

因此设计程序时，应该有这样的能力，即如果计算出水平方向的位移为零，自动调换两个图像，重新计算互相关函数，然后寻找峰值点。

另一个问题，本实验中由于毛玻璃只能水平移动，竖直方向如果有位移只可能是误差引起，因此非常小。

不过假如散斑场由于外界原因向上有了一些位移，比如一两个象素，由于计算机计算中一般取左上角为原点，求得的竖直位移也只能为零了。

但竖直为零一般是正确的。

这时程序应该给实验者两个选择，如果他对竖直位移也感兴趣，就调换图像重新计算，否则保留这个结果。