激光散斑实验中的数据处理

激光散斑实验中的数据处理

周清博

(中国科学技术大学软件学院2002级本科合肥市四号信箱11#132 230027)

摘要对激光散斑技术作了简要的介绍，主要介绍激光散斑实验中的数据处理技术和技巧。详细说明了相关函数的概念和应用，重点讨论信号处理理论如FFT和圆周相关定理在激光散斑测量数据处理中的应用及其意义，并就一些容易被忽略的部分进行了探讨。

关键词激光散斑，相关函数，快速傅立叶变换

Data Processing in Experiment of Laser Speckle

Zhou Qingbo

(2002 undergraduate of SSE, USTC Room 11#132, P. O. Box 4, Hefei 230027)

Abstract This article presents a brief introduction of the technology of laser speckle, and focuses on the technique of data processing in the experiment of laser speckle. The concept and application of correlation are explained in detail. The application and significance of Theory of signal processing such as FFT and circular correlation theorem are discussed emphatically and some related forgettable parts are mentioned.

Key words laser speckle, correlation, fast Fourier transform (FFT)

1.激光散斑简介

散斑是一种普遍存在的统计光学现象，它是光波经过介质的无规散射后呈现出的无规分布。在实物图像处理的过程中，散斑的存在经常会造成图像真实程度的损失，所以在最初的研究中，人们多考虑如何减弱或消除散斑的影响。然而，散斑通常携带了物体表面的大量有用信息，因此便于通过散斑的性质对物体表面的性质进行研究，这逐渐得到科技工作者的重视和研究，并在生产生活中得到了广泛应用。

激光束照射在粗糙表面或者透过透明散射体时，在散射表面或附近的光场可以观察到激光散斑。激光与普通光束比较，相干性非常高，因而形成的散斑就更加明显，应用很广。例如，在防伪技术上，通过与散斑图像相减来加密图像，解密时再与解码散斑叠加。医学上，可以摆脱长期依靠医生经验或者取样检验的困扰，利用散斑所携带的信息检验人体组织的生理状态，这就是所谓的光活检技术，在临床医学应用中具有重大意义。用激光散斑检验部件的表面粗糙度，具有快速和无破坏性的优点，在工业控制中有较高实用价值。

在本文中主要讨论的实验，是利用激光散斑结合计算机处理来测量散斑的统计平均半径和散射体的微小位移。其实验光路如下图所示，毛玻璃可以沿η轴进

行微小位移。

2. 相关函数

在统计和数字信号处理理论中，相关函数与信号的功率谱有密切关系，是一个非常重要的概念。顾名思义，相关函数即两个信号之间的相互关系。同一信号与自身的关系称自相关，而两个不同信号的关系称互相关。自相关函数的傅立叶变换是功率谱密度，而互相关函数的功傅立叶变换是互功率谱密度即互谱密度。通过对平稳随机过程的特性进行统计，其结果往往是确定的，所以可以用相关函数来描述散斑场的性质。

定义散斑光场的自相关函数为：

><=)y ,I(x )y ,I(x )y , x ;y ,G (x 22112121

经归一化处理得到：

><>

<=

)y ,I(x )y ,I(x 1 )y , x ;y ,g(x 221122121I 以I(x 1, y 1)表示观察面任意一点的光强，而I ’(x 2, y 2)表示散射体经过一个微小位移后的任意一点的光强，散斑的互相关函数经过归一化处理后为：

><><=)y ,(x I' )y ,I(x 1 )y , x ;y ,g(x 22112

2121I 在计算机中，数据只能是离散的点上的值，因此改写为离散形式：

光强统计平均： ∑∑==>=

n i n j y

x j i I n n I 11),(1 自相关函数： ∑∑==++><--=x y

n i n j y x m j l i I j i I I m n l n m l g 112),(),())((1),( 互相关函数：

∑∑==++><--=x y

n i n j y x m j l i I j i I I m n l n m l g 112),('),())((1),( 下面讨论利用相关函数提取图像信息的方法。

通过光学理论的推导可以得出自相关函数与散斑平均半径的关系：

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-+=∆∆2222exp 1),(y x S y S x y x g 其中S x 、S y 分别表示x 和y 方向的统计半径（CCD 像屏上的），利用光学原理就可以求得毛玻璃上的半径。后面将详细介绍通过数值拟合求S x 、S y 的方法。

又可得到互相关函数与毛玻璃位移的关系。设毛玻璃在ξ、η方向上的位移分别为Δx, Δy ，ρ(P 1)表示激光高斯光束等振幅线在P 1处的曲率半径（关于激

光束的性质，参见参考文献1），则互相关函数

⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+∆+∆-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+∆-+=∆∆S P P y S P P x y x g ))(/1(exp ))(/1(exp 1),(1212ρηρξ

该函数的峰值容易写出，将数据中的峰值点代入，即可求出Δx, Δy,较容易操作。事实证明，即使散斑场的位移在散斑图像大小的1/3左右，利用相关函数也可以精确求出位移，可见这是一种很好的方法。

再看直接计算相关函数的算法复杂度。通过其离散形式易见其乘法运算次数为（假设图片尺寸为n x ×n y ）

4)1()1(11111--=

∑∑∑∑==-=-=y y x x n l n m l n i m n j n n n n x y x y

再假设n x = n y = n ，那么这个复杂度是Θ(n 4)。实验中一般用长宽为250象素的图像，以这个规模，仅乘法计算就需要10亿次以上，在普通的计算机上需要很长的运行时间。所以直接计算是不足取的，后面将介绍改进办法。

3. 快速傅立叶变换

快速傅立叶变换（FFT ，Fast Fourier Transform ）是离散傅立叶变换（DFT ，Discrete Fourier Transform ）的一种快速算法。DFT 是信号处理中十分常见的一种变换，以W N 记exp(-j2π/N)，则

10)()]([)(1

0-≤≤==∑-=N k W n x n x DFT k X N n nk N ，

逆变换

10,)(1)]([)(10-≤≤==∑-=-N n W

k X N k X IDFT n x N k nk N

有下面的圆周相关定理：

若