12章 数的开方

已知b=a3+2c,其中b的算术平方根为 19，c的平方根为±3，求a。 解： ∵b的算术平方根为19， ∴b=361 ∵c的平方根是±3， ∴c=9， ∴361=a3+2×9, ∴a3=343 ∴a=7
在实数范围内，求代数式√-（x-4） +1-2的值。 解： 2 ∵√-（x-4） 有意义， 2 ∴-（x-4） ≥0 2 ∴（x-4） ≤0 ∴x-4=0 ,∴x=4
⑧下列各式中，正确的是______ Ｃ Ａ、√9=±3 B、±√9=3 C、√（－3）2=3 D、-√（-3）2=±3 ⑨下列说法正确的是______ Ｄ Ａ、实数包括有理数、无理数和零 Ｂ、有理数就是有限小数 Ｃ、无限小数就是无理数 Ｄ、无论是有理数还是无理数都是实数 ⑩当a为实数时，√a2=-a,则实数a在数轴 Ｄ 上对应的点在______ Ａ、原点右侧 Ｂ、原点左侧 Ｃ、原点或原点右侧Ｄ、原点或原点左 侧
同学们请按下面的位置自觉坐
南
左
右
北
四 班
三 班
二 班
一 班
第12章
数的开方
开平方
算术平方根 平方根
有 理 数 实 数 无 理 数
实际问题
立方根 开立方
想 一 想
有没有一个数的平方会小于0的？
我们看下面的例了： 2 （－5） ＝25 2 5 ＝25 02＝0 ∴ а2≥0 有没有绝对值会小 于0的？ IаI≥0
∴代数式的值是1.
2
A
C
B
0 如图Ａ、Ｂ、Ｃ是数轴上的点， √Ａ2 -B 试求 2C 值。
B ①下列说法正确的是_____ Ａ负数没有立方根 Ｂ-7的立方根是3√-7 C3√6=2 D正数有两个立方根 Ａ、Ｄ ②下列说法不正确的是_______ Ａ、±2都是8的立方根 Ｂ、3√a3=a C、√64的立方根是2 Ｄ、3√（±8）2= ±4 Ｃ ③9的平方根是____ Ａ、-3 B、3 C、±3 Ｄ、 Ａ 81 ④3的算术平方根是____ Ａ、√3 Ｂ、-√3 C、±√3B ⑤√2x-2有意义的x的取值范围是______ Ａ、x>1 B、x≥1 C、x≥0 D、x<1
Baidu Nhomakorabea
定义：
如果一个数的立方等于a， 那么这个数叫做a的立方根。
1.任何数的立方根只有一个 ; 2.0的立方根是0； 3.正数有一个正的立方根； 4.负数有一个负的立方根；
定义：
如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根。
①一个正数有两个平方根，±√a 它们互为相反数； ②0的平方根只有一个是0； ③负数没有平方根。
Ｄ ⑾下列说法正确的是_____ Ａ、无限小数不是有理数 Ｂ、无限小数是无理数 Ｃ、数轴上的点与有理数一一对应 Ｄ、数轴上的点与实数一一对应 ⑿在实数√3、0、- 、-3、-3.14、 Ｂ √25中，无理数共有_____ Ａ、1个Ｂ、2个Ｃ、3个Ｄ、4个
Ｄ ⒀下列命题中，正确的是_____ Ａ、无理数包括正无理数、0和负无理数 Ｂ、无理数是带根号的数 Ｃ、无理数不是实数 Ｄ、无理数是无限不循环小数 Ｃ ⒁估算√24+3的值______ Ａ、在6和5之间 Ｂ、在6和7之间 Ｃ、在7和8之间 Ｄ、在8和9之间 ⒂已知x、y为实数，且√x--1+3（y-2）2 =0,则x-y的值为____ Ｄ Ａ、3 Ｂ、-3 Ｃ、1 Ｄ、-1
你知道什么是非负数吗？ 定义：正数和零
统称为非负数。
性质：非负数的和仍为
非负数；非负数的算术平方 根仍为非负数；当若干个非 负数的和为0时，其中每个非 负数都是0；0是最小的非负 数，没有最大的非负数。
①a2 ≥0 ②IаI ≥0 ③√а ≥0
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
——爱迪生
求一个数的立方根的运算叫 开立方．
例5
Ia I 如果，a为实数，试化简 a
解： 当a>0时， 当a<0时， 当a=0时．
例6
如果实数a、b互为相反数，c、d互 为倒数，m绝对值为2， 求a2-b2+cd÷（1-2m+m2）的值．
若a、b为实数，且b=√a2－1+√1-a2+a a+1 求‾√a+ b3的值．
1
—
例7
已知a、b为数轴上的点， b 求，Ia+bI的值． a+b
例3
已知y=√x1 9
+√ 9-x
1
3 x +3,求 √ y
的值．
例4
√a+b Ib -8I=0,求－ 4 a 和 b 的立方根．
2+ 3 2 a b
的平方根
①化简I3.14－ I＝_______ ②比较大小，－√6____－√7 3 ③ √－64的绝对值的相反数是____ 2 ④√x-1＋3（y-2） =0,则x-y的值___ 3 3 ⑤-（ √-64） 的立方根是_____ ⑥若√4x+1有意义，则x的最小整数 值是_____ ⑦若Ｘ2＝64，则3√Ｘ＝_____ ⑧比较√2+√3____√10大小 ⑨当a<0时，√a2=____ ⑩-27x3=64,则x=____
3√a）3=a （
3√a3=a
3√a3=（3√a）3
开平方：求一个非负数的平方根
的运算叫做开平方．
（√a） =a √a2 =IaI 2 √a =a 2 √a = -a
（√a2）2 =a2
2
当a≥0时 当a<0时
定义：
正数a的正的平方根，叫 做a的算术平方根。
正数的算术平方根只有一个； 负数没有算术平方根； 0的算术平方根是0.
想 一 想
有没有一个数的算术平方会小于0的？
a 0
例1：I3+аI+（b-2） + c 1 =0 求a+2b+3c的值． 2 解：∵I3+aI≥0, （b-2） ≥0, c 1 0 ∴3+b=0, b-2=0,c-1=0 ∴a=-3,b=2,c=1 ∴a+2b+3c=4
2
判断下列说法是否正确，并说明理由． ±7是49的算术平方根； －9的算术平方根是－3； 2 4是（－4） 的算术平方根； ④－4是16的算术平方根； ⑤ 144 12 ； ⑥I－25I的算术平方根是±5； ⑦I－49I的算术平方根是7； 2 ⑧－2是（－2） 的平方根； 2 ⑨（－2） 的平方根是－2； 3 ⑩（－2） 的立方根是－2．
例2：若Ｍ＝ a 2 b 3 a 3 b 为a+3b的算 2 1 a 术平方根，Ｎ＝ 为1－a 的 立方根，求Ｍ＋Ｎ的平方根．
2 a b 1 2
解：根据题意，a+2b+3=2 2a-b-1=3 ∴a=3,b=2 ∴M=3 N=-2 ∴M+N=1 ∴M+N的平方根是±1
①2－√9的结果是____ ②2的算术平方根是____ ③√2x- 4有意义的x的取值范围是______ 3 ④- √－8的平方根是____ ⑤若a的一个平方根是b，则另一个平方根 是____ ⑥立方根等于它本身的数是_____ ⑦若4a+1的算术平立根是3，则a的值是 ____ ⑧－√64的立方根是____ 2 ⑨若√m-3+（n+1） =0,则m+n的值是___ ⑩数轴上任意上点必定表示一个_____
0 a
已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的 平方根是±4，求a、b的值．
例8
若5＋√11的小数部分为a,5－√11的 小数部分为b,求a+b的值． 提示：3<√11<4
例9
若y=√x-5+√5-x+3,求x+y的平方根和 立方根．
例10
一个正数的平方根是a+3和2a-15,那 么这个数是多少? 正数的平方根有两个，互为相反数。
Ｃ ⑥下列说法不正确的是_____ Ａ、10的平方根是±√10 Ｂ、-2是4的一个平方根 Ｃ、4的平方根是2 Ｄ、0.01的算术平方根是0.1 ⑦有下列四个结论，a、-0.064的立方根 是0.4，b、8的立方根是±2，c、27的立 方根是3，d、16的平方根是4，其中正确 Ｃ 的是____ Ａ、abcd Ｂ、bcd C、c D、d