导数及其应用 PPT

2．本例条件不变,若 f(x)在区间[1,4]上单调递减,试求 a 的范围. 解：由本例(2)知 f′(x)＝20x2＋12ax＋a2，
2x 若 f(x)在[1,4]上单调递减，则 f′(x)≤0， 即 20x2＋12ax＋a2≤0， ∴2302＋0＋124a8＋ a＋a2a≤2≤00 ，解得－10≤a≤－8.
1．(2014·河北保定高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原
点，则此切线的斜率为( C )
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝1x，设切点为
(x0，ln x0)，则 y′|x＝x0＝x10，切线方程为 y－ln x0＝x10 (x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e， 故此切线的斜率为1e.
二、辨明易错易混 1．求曲线的切线，分清是“在某点处的切线”，还是 “过某点的切线”． 2．对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极 值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不 是 极值点．
[即时练]
3．设直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实
＝－3x2＋6x，f(x)＝－x3＋3x2－4.易知 f′(n)＝－3n2＋6n，f(m)
＝－m3＋3m2－4.又 m，n∈[－1,1]，所以当 n＝－1 时，f′(n)
最小，为－9.又 f′(m)＝－3m2＋6m，令 f′(m)＝0 得 m＝0
或 m＝2，所以当 m＝0 时，f(m)最小，为－4.故 f(m)＋f′(n)
一、活用公式结论 1．导数公式及运算法则 (1)基本导数公式：c′＝0(c 为常数)； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x；
(ax)′＝axln a(a>0 且 a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝xln1 a(a>0
且 a≠1)；(ln x)′＝1x.
4．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，若 m，
n∈[－1,1]，则 f(m)＋f′(n)的最小值为( A )
A．－13
B．－15
C．10
D．15
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，因为函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x
＝2 处取得极值，所以－12＋4a＝0，解得 a＝3，所以 f′(x)
考点二 利用导数研究函数的性质 (2014·高考江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)
x，其中 a＜0. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的单调递增区间；
(2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8，求 a 的值．
[思路点拨] (1)先求导数，结合解不等式求解函数的单调 区间． (2)通过利用单调性与导数的关系求解函数的最值，从而求 解参数 a.
∴a 的范围为[－10，－8]．
3．(2014·云南省第一次统考)已知 f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．
(1)假设 m＝－2，求 f(x)的极大值与极小值；
(2)是否存在实数 m，使 f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果
存在，求 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解：(1)当 m＝－2 时，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)的定义域为 (－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2) ＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex， ∴当 x∈(－∞，－3)或 x∈(0,2)时，f′(x)<0； 当 x∈(－3,0)或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__2_l_o_g_2e__． [思路点拨] (1)先求函数的导数,再利用导数的几何意义 确定切点的坐标． (2)先求函数的导数,写出切线方程,最后求三角形的面积.
[方法归纳] 利用导数几何意义解题的转化关系及 求参 思 路 (1)转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间的关系来转化． (2)求参思路：以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数 的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导 数 联 系起来求解．
导数及其应用
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考向导航
历届高考 考点扫描 导数的几 何意义
利用导数 研究函数 的Fra Baidu bibliotek质
利用导数 解决与不 等式有关 的问题
利用导数 解决与方 程的解有 关的问题
2014 Ⅰ文T21Ⅱ文
T21
Ⅰ理T21、Ⅱ 理T21
三年考情统计 2013
2012
Ⅰ文T20 Ⅰ文T20、Ⅱ
5．(2014·山西省第二次四校联考)已知 f(x)＝ln x－x＋a＋1.
(1)若存在 x∈(0，＋∞)使得 f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围；
(2)求证:当 x>1 时,在(1)的条件下,12x2＋ax－a>xln x＋12成立． 解：f(x)＝ln x－x＋a＋1(x>0)． (1)原题即为存在 x 使得 ln x－x＋a＋1≥0， ∴a≥－ln x＋x－1，令 g(x)＝－ln x＋x－1， 则 g′(x)＝－1x＋1＝x－x 1.令 g′(x)＝0，解得 x＝1.
4．在本例条件下，若 f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分
别记为 G(a)，g(a)，求 G(a)－g(a)．
解：因为 f(x)＝xx33－＋33xx＋－33aa，，xx≥ <aa，， 所以 f′(x)＝33xx22－＋33，，xx≥ <aa. ， 由于－1≤x≤1. ①当 0<a<1 时， 若 x∈(a,1)，f(x)＝x3＋3x－3a，在(a,1)上是增函数；
的最小值为－9＋(－4)＝－13，故选 A.
考点一 导数的几何意义
(1)(2014·高考江西卷)若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切 线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标是__(_e，__e_)__．
(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线 y＝log2x 在点(1,0)处 1
理T10 Ⅱ理T21、Ⅱ
文T12
全国卷文T13 全国卷理T21 全国卷文T21
Ⅰ理T21 Ⅰ文T21
Ⅰ理T21、Ⅱ 全国卷理T21
理T21
全国卷文T21
Ⅱ文T21 Ⅱ理T21
2015考向预测
高考对该部分内容的考查 主要有三个方面：(1)导数 的概念、求导公式与法 则、导数的几何意义；(2) 导数的简单应用，包括求 函数极值、求函数的单调 区间、证明函数的单调性 等;(3)导数的综合考查, 包 括导数的应用题以及导数 与函数、不等式等的综合 题．从形式上看，考查试 题有选择题、填空题、解 答题，有时三种题型会同 时出现.
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数 b 的值为( A )
A．ln 2－1
B．ln 2－2
C．2ln 2－1
D．2ln 2－2
解析：由已知条件可得切线的斜率 k＝12，y′＝(ln x)′＝1x＝
12，得切点的横坐标为 2，则切点坐标为(2，ln 2)．由点(2，
ln 2)在直线 y＝12x＋b 上可得 b＝ln 2－12×2＝ln 2－1.
[即时练]
1．(2014·嘉兴二模)已知函数 f(x)＝1xcos x，则 f(π)＋f′(π2)
＝( C )
A．－π32
B．－π12
C．－π3
D．－π1
解析：∵f′(x)＝－x12cos x＋1x(－sin x)，∴f(π)＋f′(π2)＝
－π1＋π2·(－1)＝－π3.
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( D ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 解析：∵f(x)＝2x＋ln x，∴f′(x)＝－x22＋1x(x>0)，由 f′(x) ＝0 得 x＝2.当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈ (2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2 为 f(x)的极 小值点．
考点三 利用导数解决与不等式有关的问题 (2014·高 考 浙 江 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ x3 ＋ 3|x －
a|(a>0)，若 f(x)在[－1,1]上的最小值记为 g(a)． (1)求 g(a)； (2)证明：当 x∈[－1,1]时，恒有 f(x)≤g(a)＋4. [思路点拨] (1)先讨论函数的单调性,再利用它求解函数关系式. (2)利用导数与单调性的关系确定单调性，并讨论求解最大值.