仿射变换处理椭圆问题(解析版)
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例4
利用伸缩法解决椭圆问题
x2 y2 a2 + b2 =1
x = x x = x
y
=
a b
y
y
=
b源自文库a
y
x'2 + y'2
=
a2
拉伸后点的坐标变化：A（
x0
,
y0
）→
A' ( x0 ,
a b
y0 )
,横坐标不变，纵坐标拉伸
a b
倍。
斜率的变化：如图纵坐标拉 伸了 a 倍，故 k' = a k
b
b
面积的变化： S ' = a S b
已知点
P
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
上的点，
A,
B
是椭圆上关于长轴对称的两点，直线
PA、PB
分别交
x
轴于
M , N 两点，证明： xM x N = a2 。（（长轴为角平分线）
利用伸缩法解决弦长问题
弦长公式的拉伸：如图：根据拉伸原理，纵向拉伸并不改变横向的性质，设 A (x1, y1 ) ，B（ x2 , y2 ）则 AB=
1+ k 2 x1 − x2 A' B' =
1+ k'2 x1 − x2 =
1+ (a)2k2 b
x1
− x2
，即 AB
=
1+ k 2 A' B' 1+ (a)2k2
b
B’ B
A
A’
利用伸缩法解决椭圆问题
x2 y2 a2 + b2 =1
x = x x = x
y
=
a b
y
y
=
b源自文库a
y
x'2 + y'2
=
a2
拉伸后点的坐标变化：A（
x0
,
y0
）→
A' ( x0 ,
a b
y0 )
,横坐标不变，纵坐标拉伸
a b
倍。
斜率的变化：如图纵坐标拉 伸了 a 倍，故 k' = a k
b
b
面积的变化： S ' = a S b
已知点
P
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
上的点，
A,
B
是椭圆上关于长轴对称的两点，直线
PA、PB
分别交
x
轴于
M , N 两点，证明： xM x N = a2 。（（长轴为角平分线）
利用伸缩法解决弦长问题
弦长公式的拉伸：如图：根据拉伸原理，纵向拉伸并不改变横向的性质，设 A (x1, y1 ) ，B（ x2 , y2 ）则 AB=
1+ k 2 x1 − x2 A' B' =
1+ k'2 x1 − x2 =
1+ (a)2k2 b
x1
− x2
，即 AB
=
1+ k 2 A' B' 1+ (a)2k2
b
B’ B
A
A’