积分上限函数的极限问题
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= lim
x →0
x e ⋅ 2x
2 x2
2 x ∫ sin t d t + x 2 sin x
0
x
解题步骤2
= lim
x →0
2⋅ x e
2 x 0
x2
2 ∫ sin t d t + x sin x
4x = lim x →0 3 sin x + x cos x
= lim
x →0
4 sin x 3 + cos x x
令
1 c
= 1 ，得 c = 1 ，即 a = −1 ， b = 1 ， c = 1 ．
(
)
(e
sin x
x
−b
)
x+c
，由于
x + c = 0 ，因为 c ≠ 0 ，
因此 e x − b → 0 (x → 0) ，从而 b = e 0 = 1 ，而 lim ⋅ lim x = x →0 (e − b) x + c x →0 c x + c x →0 e − 1
解答：
由于 ∫
x 0
sin t t+c
x →0
d t → 0 (x → 0) ，故由条件知
lim e − bx + a = 0 ，
x
(
)
得 1 + a = 0 ， a = −1 ．
相关例题4
由洛必达法则知 1 = lim
x →0
lim sin x = 0 ，故 lim e x − b
x →0
x →0
= 1．
常见错误
1．对含积分上限函数的未定式不能识
别，因此不知道可利用洛必达法则求这类极限； 2．当积分上限变量同时出现于被积函数 中时，求导常常发生错误．
方法总结
先确定所给表达式是否为未定式，若是，则
按洛必达法则运用积分上限函数的求导公式分别 求出分子、分母的导数，进而求得极限．
相关例题1
et d t ∫0 ． lim x x →0 2t 2 ∫ t e dt
0
∫
x2
t 3/ 2 d t
6x 2 12 x = lim = lim = 12 ． + + x →0 1 − cos x x →0 sin x
相关例题4
x sin t 1 已知极限 lim x ∫ 0 t + c d t = 1，试确 x →0 e − bx + a
定非零常数 a 、 b 、 c 的值．
∫ lim
x →1
x 1
e dt ln x
t2
．
解答：
∫ lim
x →1
x 1
e dt ln x
t2
e = lim =e． x →1 1 x
x2
相关例题3
求极限 lim+
x →0
∫
x 0
x2 0
t 3/ 2 d t
∫ t (t − sin t )d t
．
解答：
( x 2 )3 / 2 ⋅ 2 x 0 lim x = lim + x →0 x →0 + x ( x − sin x ) ∫ t (t − sin t ) d t
x
2
2
0
解答：
x et d t t2 x2 ∫0 2∫ e d t ⋅ e = lim 0 lim x 2 x2 x →0 x →0 2t 2 xe t e dt ∫
x
2
2
0
= lim
x →0
2∫ e d t
t2 0
x
x
2⋅e = lim x →0 1
x2
= 2．
相关例题2
题
目
求极限 lim
x →0
∫ ∫
x 0
x2 0
t et d t
．
x 2 sin t d t
解题方法1
利用洛必达法则和积分上限函数的求导公
式，分别求出分子、分母的导数，然后可确定
未定式的极限．
解题步骤1
lim
x →0
∫
x
x2 0
t et d t
x 2 sin t d t ∫0 d x2 t ∫ 0 t e d t dx = lim x →0 d x 2 x sin t d t d x ∫0
x →0
x e ⋅ 2x
2 x2
2 x ∫ sin t d t + x 2 sin x
0
x
解题步骤2
= lim
x →0
2⋅ x e
2 x 0
x2
2 ∫ sin t d t + x sin x
4x = lim x →0 3 sin x + x cos x
= lim
x →0
4 sin x 3 + cos x x
令
1 c
= 1 ，得 c = 1 ，即 a = −1 ， b = 1 ， c = 1 ．
(
)
(e
sin x
x
−b
)
x+c
，由于
x + c = 0 ，因为 c ≠ 0 ，
因此 e x − b → 0 (x → 0) ，从而 b = e 0 = 1 ，而 lim ⋅ lim x = x →0 (e − b) x + c x →0 c x + c x →0 e − 1
解答：
由于 ∫
x 0
sin t t+c
x →0
d t → 0 (x → 0) ，故由条件知
lim e − bx + a = 0 ，
x
(
)
得 1 + a = 0 ， a = −1 ．
相关例题4
由洛必达法则知 1 = lim
x →0
lim sin x = 0 ，故 lim e x − b
x →0
x →0
= 1．
常见错误
1．对含积分上限函数的未定式不能识
别，因此不知道可利用洛必达法则求这类极限； 2．当积分上限变量同时出现于被积函数 中时，求导常常发生错误．
方法总结
先确定所给表达式是否为未定式，若是，则
按洛必达法则运用积分上限函数的求导公式分别 求出分子、分母的导数，进而求得极限．
相关例题1
et d t ∫0 ． lim x x →0 2t 2 ∫ t e dt
0
∫
x2
t 3/ 2 d t
6x 2 12 x = lim = lim = 12 ． + + x →0 1 − cos x x →0 sin x
相关例题4
x sin t 1 已知极限 lim x ∫ 0 t + c d t = 1，试确 x →0 e − bx + a
定非零常数 a 、 b 、 c 的值．
∫ lim
x →1
x 1
e dt ln x
t2
．
解答：
∫ lim
x →1
x 1
e dt ln x
t2
e = lim =e． x →1 1 x
x2
相关例题3
求极限 lim+
x →0
∫
x 0
x2 0
t 3/ 2 d t
∫ t (t − sin t )d t
．
解答：
( x 2 )3 / 2 ⋅ 2 x 0 lim x = lim + x →0 x →0 + x ( x − sin x ) ∫ t (t − sin t ) d t
x
2
2
0
解答：
x et d t t2 x2 ∫0 2∫ e d t ⋅ e = lim 0 lim x 2 x2 x →0 x →0 2t 2 xe t e dt ∫
x
2
2
0
= lim
x →0
2∫ e d t
t2 0
x
x
2⋅e = lim x →0 1
x2
= 2．
相关例题2
题
目
求极限 lim
x →0
∫ ∫
x 0
x2 0
t et d t
．
x 2 sin t d t
解题方法1
利用洛必达法则和积分上限函数的求导公
式，分别求出分子、分母的导数，然后可确定
未定式的极限．
解题步骤1
lim
x →0
∫
x
x2 0
t et d t
x 2 sin t d t ∫0 d x2 t ∫ 0 t e d t dx = lim x →0 d x 2 x sin t d t d x ∫0