2021高考数学大题规范练(5)

大题规范练(五)

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(a －b cos C )＝c sin B .

(1)求角B ；

(2)若b ＝7，sin A ＝3sin C ，求BC 边上的高． 解：(1)由3(a －b cos C )＝c sin B 及正弦定理可得 3sin A －3sin B cos C ＝sin B sin C ，

将sin A ＝sin(B ＋C )代入上式，整理得3cos B sin C －sin B sin C ＝0，

解得tan B ＝3，所以B ＝π

3

.

(2)由sin A ＝3sin C ，得a ＝3c ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1.所以BC 边上的高为c sin B ＝

3

2

. 2．从条件①2S n ＝(n ＋1)a n ；②S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)；③a n >0，

a 2n ＋a n ＝2S n 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________．若a 1，a k ，S k

＋2

成等比数列，求k 的值． 解：若选择①，

因为2S n ＝(n ＋1)a n ，n ∈N *，所以2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，n ∈N *， 两式相减得2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n . 即a n ＋1n ＋1＝a n

n

，n ∈N *. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列.a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .

⎝ ⎛⎭

⎪⎫或由a n ＋1a n ＝n ＋1

n ，利用累乘相消法，求得a n ＝n

所以a k＝k，S k＋2＝（k＋2）（1＋k＋2）

2＝

（k＋2）（k＋3）

2，

又a1，a k，S k＋2成等比数列，所以(k＋2)(k＋3)＝2k2，

所以k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍)，所以k＝6.

若选择②，

由S n＋S n－1＝a n(n≥2)变形得，S n＋S n－1＝S n－S n－1，

所以S n＋S n－1＝(S n＋S n－1)(S n－S n－1)，

易知S n>0，所以S n－S n－1＝1，

所以{S n}为等差数列，又S1＝a1＝1，所以S n＝n，S n＝n2，所以a n＝S n－S n－1＝2n－1(n≥2)，

又n＝1时，a1＝1也满足上式，

所以a n＝2n－1.

因为a1，a k，S k＋2成等比数列，所以(k＋2)2＝(2k－1)2，

所以k＝3或k＝－1

3，又k∈N

*，所以k＝3.

若选择③，

因为a2n＋a n＝2S n(n∈N*)，所以a2n－1＋a n－1＝2S n－1(n≥2)，两式相减得a2n－a2n－1＋a n－a n－1＝2S n－2S n－1＝2a n(n≥2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝a n＋a n－1(n≥2)，

因为a n>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)，所以{a n}是等差数列，所以a n＝1＋(n－1)×1＝n，

S k＋2＝（k＋2）（1＋k＋2）

2＝

（k＋2）（k＋3）

2，

又a1，a k，S k＋2成等比数列，所以(k＋2)(k＋3)＝2k2，

所以k＝6或k＝－1，又k∈N*，所以k＝6.

3．(2020·中山模拟)携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即

无须改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平

和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为13

15，服务水平

的满意率为2

3，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．

(1)完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；

抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；

(3)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？

附：K2＝

n（ad－bc）2

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

，n＝a＋b＋c＋d.

的有100人，得2×2列联表

经计算得K 2

＝200×100×260×40＝75

13≈5.77>5.024，

所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关． (2)X 的可能值为0，1，2.

则P (X ＝0)＝C 020C 280C 2100＝316495，P (

X ＝1)＝C 120C 1

80C 2100＝160495，P (X ＝2)＝C 220

C 2100

＝

19

495

， 则X 的分布列为：

E (X )＝0×316495＋1×160495＋2×19495＝2

5

.

(3)在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户