高中数学定理证明汇总

高中数学定理证明汇总

必修1

P64 分数指数幂的定义、根式解释：

一般的，给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得b n =a m ,我们把b 叫作a

的n

m

次幂，记作n m

a b =， 它就是正分数指数幂。 有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即n m n

m a a

= （a>0）

P81 对数的运算性质：

证明：设log a M=p,log a N=q,则由对数定义得a p =M,a q =N. 因为 MN=a p a q =a p+q ，所以p+q=log a (MN) 即log a (MN)=log a M+log a

P84 换底公式：

证明：设x=log b N,根据对数定义，有N=b x. 两边取以a 为底的对数，得log a N=log a b x . 而log a b x =xlog a b,所以log a N=xlog a b.

由于b ≠1,则log a b ≠0，解出x,得x=

b N

a a log log ,

因为x=log b N,所以log b N=

b

N

a a log log

很容易由换底公式得到 log b a=

b

log 1a

必修2

P24 平面的基本性质的推论：

1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 证明推论2：

设a b A =，在直线a 上取点B ，且A 、B 不重合，在直线b 上取点C ，且A 、C 不重合。 因为A 、B 、C 不重合

则有且仅有一个平面α经过A 、B 、C 因为点A 、B 都在直线a 上

所以直线a 在平面α内 同理直线b 也在平面α内

所以经过两条相交直线只有一个平面。

推论3：证明：设直线a ∥b,任取点A ∈a, B ∈a ，取点C ∈b ，则三点A 、B 、C 确定一个平面ABC . 再任取C 以外一点D ∈b

假设过两条条直线a 、b 有两个或以上平面

即平面ABC 、平面ABD 是两个不同的平面且相交于AB ，且点C 、D 不在直线AB 上 得出AB CD 是异面直线 与a ∥b 冲突 所以，假设错误

P28 定理5.1 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 P30 定理5.2 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

P31 定理5.3 如果一条直线与一个平面平行，那么过这直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。

P32 定理5.4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

P36 定理6.1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． P37 定理6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． P39 定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 证明：一般的，如果直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α,这时，a 和b 平行吗？

如图，假设a 和b 不平行。

设b 与a 交于点O ，b '是经过点O 与a 平行的直线。 因为a ∥b ',a ⊥平面α,所以，b'⊥平面α。

这样，经过同一点O 的直线b,b'都垂直于平面α，这是不可能的。 因此，a ∥b 。

P40 定理6．4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

在一般情况下，平面α⊥平面β，βα =MNB ，这时，直线AB 和平面α垂直吗？

如图，在平面α内作直线BC ⊥MN ，则∠ABC 是二面角α-MN-β的平面角，因为平面α⊥平面β，所以∠ABC=90°，即AB ⊥BC ，又已知AB ⊥MN,从而AB ⊥α。

P47

P73 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点（D 与B,C 不重合），且|AB|2=|AD|2+|BD|۔|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形。

解：作AO ⊥BC,垂足为O,以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线

为y 轴，建立直角坐标系。

设A （0，a ）,B （b ，0）,C （c ，0）,D （d ，0）, 因为|AB|2=|AD|2+|BD|۔|DC|，所以，由距离公式可得 b 2+a 2=d 2+a 2+(d-b)(c-d), 即 - (d-b) (b+d) = (d-b)(c-d) 又 d-b ≠0, 故 -b-d=c-d

S 球面=4πR 2

，V 球=3

4πR 3

2

2

2b

a ab

+即-b=c.

所以|AB|=|AC|,即△ABC 为等腰三角形。

P75

例19 用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

证明：在△ABC 中，AB=AC,P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F.

以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系。

设A （0，b ）,B( -a,0）,C( a,0）(a>0,b>0),则直线AB 方程为bx-ay+ab=0,直线AC 方程为bx+ay-ab=0,

取P （x 0,0）,使x 0>a,则点P 到直线AB,AC 的距离分别为

2202

20|

0|||b a ab

bx b a ab bx PD ++=

++-=

2

2

02

2

0|

0|||b a ab bx b

a a

b bx PE +-=+-+=

，

2

22

22||||b

a a

b b

a a

b ab CF +=

++=

，

点C 到直线AB 的距离为=|CF|.

则|PD|-|PE|=

必修4

P83

平面向量基本定理 如果e l ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的仟一向量a ，

存在一对实数21,λλ，使

2211e e a λλ+=．

我们把不共线的向量e l ，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 如果

e l ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，a

这一平面内的任一向量，那么

a

与e l ，e

2之间有什

么关系呢?

如图2—25，在平面内任取一点O ．作A O =e l ，B O =e 2，C O

=a ．过点C 分别作平行于OB ，OA

的直线,交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，则有且只有一对实数21,λλ，使得11e M O λ=，22e N O

λ=

因为N O M O C O += 所以 2211e e a

λλ+=

P94