线面平行证明的常用方法

求证： PB // 平面 AEC .
D
分析： P
A C
E
B
G
A
B
E
D
O
C
如图⑴
如图⑵
_O
_M E
F
_A
_B
_N
如图⑶
_D _C
方法二：构造平行四边形，找平行线
例 2、如图⑵, 平行四边形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面相交，BE 分析：过点 E 作
EG O ABCD
ABCD M
OA
N
BC
MN‖ 平面OCzD
证明：如图，建立空间直角坐标系 D xyz ．
设 A(a，0，0)，S(0，0，b) ，则 B(a，a，0)，C(0，a，0)，
E
a，a 2
，0 ，F
0，a 2
，b 2
，
EF
a，0，b 2
．
因为 y 轴垂直与平面 SAD，故可设平面的法向
量为 n =（0，1，0）
则： EF
n
a，0，b 2
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线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平
行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂探讨：
方法一：中位线型：找平行线。
例 1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.
（0，1，0）=0
因此 EF n 所以 EF ∥平面 SAD ．
2
S
MN‖平面 BCE.
求证：
F E
N
F
B
M A
C D
D
Cy
A
EB
如图⑷
如图⑸
如图⑹
例 5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB 1
的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求 S△A′B′C′： S△ABC .
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方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。
例 6、如图⑹，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧 棱 SD⊥ 底 面 ABCD，E，F 分 别 为 AB，SC 的 中 点 ． 证 明 EF ∥平 面 SAD ；
分析：因为侧棱 SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，所以很容易建立空
间直角坐标系及相应的点的坐标。