理学浙江工商大学数学线性代数——矩阵特征值与特征向量

2 2 5
所以B+2E的特征值为：1 9（二重根） 2 3 当 1 9 时，解 [9E (B 2E)]X 0
0
即为：2
x1 0 x1 2x2
x2
0 4 x3
x3 0
0
就是
x1 x2 2x3 0
2x1 2x2 4x3 0
所以取方程组的基础解系为:
1
2
1 1
,
2
0
0
1
对应于
1
9
的全部特征向量为：
B
2E
9
2
0 7
0
4
k11 k22 , k1, k2 不同时为0.
2 2 5
当 2 3 时，解 [3E (B 2E)]X 0
即为：
6x1 0 2x1 4x2
4x3
0
2x1 2x2 2x3 0
0
所以取方程组的基础解系为:
3
性质2.如果 是矩阵A 的特征值,则
(1) 1 是 A1 的特征值 (当然A要 可逆)
这是因为: A A1A A1
E A1 1 A1
1
(2)
A
是A*的特征值
这是因为: A A* A A*
A E A* 1 A A*
(3) m 是 Am 的特征值 (4)() 是 ( A) 的特征值,其中 (x) a0 a1x a2 x2 ... am xm 性质3.如果矩阵A 的特征值 1, 2 ,..., n 各不相同
P1AP B 称A,B相似.记作: A : B
P---相似变换矩阵
2.性质 性质1.如果A,B相似,则A,B 有相同的特征值和相同的 特征多项式
2003研
解：
5 2 2
0 1 1
A*
2
5
2
,
P1
1
0
0
2 2 5
0 0 1
7 0 0
9 0 0
B
P1A* P
2
5
4
于是：B
2E
2
7
4
2 2 3
2 2 5
B+2E的特征方程为：
9 0 0
B
2E
2
7
4
2 2 5
9 0 0
E (B 2E) 2 7 4 ( 9)2( 3) 0
20 对于每一个特征值 i 解齐次线性方程组
( A i E)X 0. 求全体非零解(就是对应于
i 的特征向量)
4 2 2
例1.求矩阵
A
0
4
0
的特征值与特征向量
0 2 2
解: A的特征方程为: | A E | 0
即为: 4 2 0 4
2
0 (4 )2(2 ) 0
0 2 2
( A E)X 0 有非零解.
( 为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组 ( A E)X 0 有非零解.)
而齐次方程组 ( A E)X 0 有非零解
系数行列式 | A E | 0.
(3) |A E|(是一个n阶行列式)是关于 的多项式
称为A的特征多项式
|A E| 0或 | E A| 0 称为矩阵A的特征方程.
0 0
0
0
0
1 0
0
0
r (D)=2<3 所以方程组的基础解系含有一个解向量
解同解方程组可得 1
(2)当2 4 时: (A 4E)X 0
即为: 22x2x222x3x300 就是: x2 x3 0
0
1
所以方程组的基础解系为:
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
,
3
1
1
1
因此对应于2 4 的全体特征向量为: k22 k33 , k2 , k3不同时为0.
1
1
1
1
由此可得：
0 (a 1 c) 1 0 (5 b 3) 1
(1) (2)
由(1)(3)得：a
c, 0
1
0 (1 c a) 1 (3)
代入(2): b 3 又 A 1 则： a c 2 故 a c 2 ， b 3
§2.相似矩阵
一.相似矩阵 1.定义:设A,B为n阶方阵,如果存在可逆矩阵P使得
§§1. 矩阵的特征值与特征向量
1.定义
设A为n阶方阵 如果存在数 以及非零向量
使得 A .
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
注:
(1) A ( A E) 0.
(2) ( A E) 0.而且 0 即齐次方程组
个特征向量 (1, 1,1)T ，求a, b, c 的值 1999研
解： AA* A E E A* 0
所以： AA* A(A*) E 即： A0 0 A
0 A
即：
a 1 c
1
A
5
1 c
b 0
3
a
1
1
a 1 c 1 1
0
5
1 c
b 0
3 a
1
1
对应于 2 3的全部特征向量为： k33, k3 0
例3.设三阶矩阵A的特征值为1,3,5, B A2 2A
求|A|,|B| 解:|A|=15
而B的特征值为 1 ,3,15 所以|B|= 45
a 1 c
例4.设矩阵
A
5
b
3
而且
A 1
1 c 0 a
又A的伴随矩阵A*有一个特征值 0 ，属于0 的一
则这些特征值对应的特征向量线性无关.(互异的特 征值对应的特征向量线性无关)
注意:相同的特征值对应的特征向量未必线性无关!
3 2 2 0 1 0
例2.设矩阵
A
2
3
2
,
P
1
0
1
,
B
P 1 A *
P
2 2 3 0 0 1
求B+2E的特征值与特征向量。其中A*是A的
伴随矩阵，E为3阶单位阵
所以 1 2, 2 4 是矩阵A 的特征值
(1)当 1 2 时,解齐次方程组 (A 2E)X 0
2x1 2x2 2x3 0
即为:
2
x2
0
2
x2
0
1
该方程组的基础解系是:
1
0
1
2 2 2 1 0 1
这所是以因对为应:于方程1 组2的的系特数征矩向阵量D为:
0k12, k
0 2
2.方阵的特征值与特征向量的性质
性质1.设 A ai j nn 的特征值为 1, 2 ,..., n
则有: (1)
1 2 ... n a11 a22 ... ann tr( A)
称为矩阵A的迹
(2) 12...n A (矩阵A 可逆的充要条件是A 的任一特征值不为0) (3) 矩阵A与A的转置矩阵的特征值相同
解特征方程的目的----求矩阵A 的特征值
(4) |A E| 0. 的根 i 就是矩阵A 的特征值
( A i E)X 0. 的全体非零解就是A 对应于
特征值 i 的特征向量
(5)求方阵A的特征值于特征向量步骤
10 写出特征方程 |A E| 0 并求出该方程的根
i (这就是矩阵A的特征值)