温度控制系统滞后校正环节设计

1 无源滞后校正的原理
1.1设计原理
所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。

系统校正的常用方法是附加校正装置。

按校正装置在系统中的位置不同，系统校正分为串联校正、反馈校正和复合校正。

按校正装置的特性不同，又可分为PID 校正、超前校正、滞后校正和滞后-超前校正。

这里我们主要讨论串联校正。

一般来说，串联校正设计比反馈校正设计简单，也比较容易对信号进行各种必要的形式变化。

在直流控制系统中，由于传递直流电压信号，适于采用串联校正;在交流载波控制系统中，如果采用串联校正，一般应接在解调器和滤波器之后，否则由于参数变化和载频漂移，校正装置的工作稳定性很差。

串联超前校正是利用超前网络或PD 控制器进行串联校正的基本原理，是利用超前网络或PD 控制器的相角超前特性实现的，使开环系统截止频率增大，从而闭环系统带宽也增大，使响应速度加快。

1.2 无源滞后网络校正的原理
无源滞后网路电路图如下。

1
R
图1-1无源滞后网络电路图
如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为
T s T s Ts Ts s U s U s G c 11
11)()()(12++
⋅
=++==ααα
分度系数
时间常数
在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率''c ω附近。

如图1-2所示，选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率
T
α1
远小于''c ω一般取=T α1
''
c ω/10
图1-2校正装置的波德图
当它与由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性，因而系统的不可变部分串联相连时，会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低和截止频率减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕度，它不影响频率特性的低频段。

由此可见，滞后校正在一定的条件下，也能使系统同时满足动态和静态的要求。

1.3 设计步骤
所研究的系统为最小相位单位反馈系统，则采用频域法设计串联无源滞后网络的步骤如下：
C R R T R R R )(121212
+=<+=α
1） 根据稳态误差要求，确定开环增益K 。

2） 利用已确定的的开环增益，画出待校正系统的对数频率特性，确定待校正系统的截止频率'c ω，相角裕度γ和幅值裕度h （dB ）。

3） 选择不同的''c ω，计算或查出不同的γ值，在伯德图上绘制γ（''c ω）曲线。

4） 根据相角裕度''γ要求，选择已校正系统的截止频率''c ω。

考虑到滞后网络在新的截止频率''c ω处会产生一定的相角滞后c ϕ（''c ω），因此下式成立： ''γ=γ（''c ω）+c ϕ（''c ω） （1-1）
式中，''γ是指标要求值，c ϕ（''c ω）在确定''c ω前可取为- 6，于是，可根据上式（1-1）的计算结果，在γ（''c ω）曲线上课查出相应的''c ω值。

5） 根据下述关系式确定滞后网络参数b 和T ：
20lgb+'
L （''c ω）
=0 （1-2） bT
1
=0.1''c ω （1-3） 式(1-2）成立的原因是显然的，因为要保证已校正系统的截止频率为上一步所选的''c ω值，就必须使滞后网络的衰减量20lgb 在数值上等于待校正系统在新截
止频率''c ω上的对数幅频值'L （''c ω）。

该值在待矫正系统对数幅频曲线上可以查出，于是由式（1-3）可以算出b 值。

根据式（1-3），由已确定的b 值立即可以算出滞后网络的T 值。

如果求得的T 值过大，则难以实现，则可将式（1-3）中的系数0.1适当加大，例如在0.1～0.25范围内选取，而c ϕ（''c ω）的估计值相应在- 6～- 14范围内确定。

6） 验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度。

2 系统滞后补偿环节的设计
根据已知的的传递函数为)
)(s/)(s .(s/k
G(s)151150+++=,先将其转化成有理分式
的形式为1
2.36.24.02
3+++=
s s s k
G(s) 2.1根据稳态误差系数确定开环增益K
系统位置误差系数====→k G k s p )s (lim 0
9
2.2用频域法确定滞后校正装置的参数
Matlab 程序:
Num=[9];
Den=[0.4,2.6,3.2,1]; Margin(num,den)
图2-1校正前系统的波德图.
(1) 取K=9，按K=9绘制未校正系统伯德图如图2-1所示。

由伯德图可见，γ=22°
<50°
(2) -180°+γ+ε=-180°+50°+10°=-120° （校正后系统截止频率较小，因
此ε取为10°）所以，做-120°线，与原系统相频特性曲线交点的横坐标为ω=1.01，则取c ω=1.01 。

(3) 在未校正系统伯德图上量得20lg )'j 0c G ω（=8.8dB,由20lg a
1
=8.8得a =0.36。

(4)
aT
1
='c ωcot(90°-10°)=0.176'c ω=0.178，则T=15.6。

所以,滞后校正的传递函数为s
6.15162.51)++=s s G c
（
3.阶跃响应曲线及系统的动态性能指标
3.1计算校正后函数的相角裕度
加入了滞后校正环节后系统的传递函数为:
1
s 8.1852.5296.4024.69
58.56)()(234'+++++=
*=s s s s s G s G (s)G c
matlab 程序： num=[50.58 9];
den=[6.24,40.96,52.52,18.8,1]； margin(num,den) 求其相角裕度
图3-1滞后校正后的相角裕度由图3-1可以得到，相角裕度γ=53°﹥50°满足条件3.2 画出校正前后的奈氏曲线
用MATLAB画出滞后校正前后奈氏曲线，程序代码如下：num=[9];den=[0.4,2.6,3.2,1]
Nyquist(num,den);
hold on;
num=[50.58,9];den=[6.24,40.96,52.52,18.8,1]; Nyquist(num,den);
gtext('滞后校正前的奈氏曲线');
gtext('滞后校正后的奈氏曲线');
图3-2滞后校正前后的奈氏曲线
3.3 画出校正前后的波特图
滞后校正的波特图比较的函数如下
num=[9];den=[0.4,2.6,3.2,1]
bode(num,den);
hold on;
num=[50.58,9];den=[6.24,40.96,52.52,18.8,1];
bode(num,den);
hold on;
gtext('滞后校正前的波特图');
gtext('滞后校正后的波特图');
图3-3滞后校正前后波特图比较
3.4 画出校正前后系统的根轨迹
滞后校正前系统根轨迹图函数
num=[9]; %描述开环系统传递函数的分子多项式den=[0.4,2.6,3.2,1]; %描述开环系统传递函数的分母多项式rlocus(num,den); %绘制根轨迹
sgrid ; %绘制栅格
title('校正前的根轨迹图') %标题
滞后校正后系统根轨迹图函数
num=[50.58,9]; %描述开环系统传递函数的分子多项式den=[6.24,40.96,52.52,18.8,1]; %描述开环系统传递函数的分母多项式rlocus(num,den); %绘制根轨迹
sgrid ; %绘制栅格
title('校正后的根轨迹图') %标题
图3-4滞后校正前系统的根轨迹图
图3-5滞后校正后系统的根轨迹图
4 阶跃响应曲线及系统的动态性能指标
4.1 画出原函数的阶跃响应曲线
Matlab程序：
num=[9];den=[0.4,2.6,3.2,1]
sys1=tf(num,den);
sys=feedback(sys1,1);
step(sys); %画出其阶跃响应曲线；
所得阶跃响应曲线如图4-1。

图4-1 原函数阶跃响应
4.2 画出校正后系统的阶跃响应曲线
Matlab程序：
num=[50.58,9];den=[6.24,40.96,52.52,18.8,1];
sys1=tf(num,den);
sys=feedback(sys1,1);
step(sys); %求其阶跃响应曲线；
所得阶跃响应曲线如图4-2。

图4-2滞后校正的阶跃响应曲线
4.3 滞后校正后的系统动态性能指标
图4-3滞后校正后的阶跃响应曲线动态性能
由串联滞后校正的阶跃曲线可知，峰值时间p t =2.71s ，上升时间r t =1.92s ，调节时间
s t =13.2s ，超调量δ%=%
100A A A max ⨯-∞
∞
=0.18% 稳态值为0.898 。

4.4 Simulink 仿真
利用matlab 工具箱simulink 仿真。

一．校正前的系统仿真：
将原系统的传递函数化成零极点形式：
)
)(s )(s (s G(s)515.05
.22+++=
仿真模块图：
图4-4 校正前系统仿真图
仿真模块的参数设置：
图4-5 阶跃信号参数设置
图4-6 传递函数参数设置仿真结果：
图4-7阶跃响应结果
二．校正后的系统仿真：
将校正后的系统的传递函数化成零极点形式：
)
06410.0(515.0)
17794.0(10577.8+++++=
s ))(s )(s (s s G(s)
仿真模块图:
图4-8 校正后系统仿真图
仿真模块的参数设置：
图4-9 阶跃信号参数参数设置
图4-10 传递函数参数设置仿真结果：
图4-11 阶跃响应结果
5 心得体会
在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用，因此学习好《自动控制原理》这门课非常有必要的，在通过做这个课程设计，过程可以让学习的理论知识运用的实践中去，更加巩固课堂的知识，同时也让我深刻的体会到了实际运用并不像理论中想象的那样简单。

在两周的课程设计中，我通过查阅参书和网上的资料，对自己在理论方面比较薄弱的环节进行了一次重新的学习，让我对这门课程的知识有了更加全面的认识和了解，能够更加全面的来看待一个问题，也更具有能力来处理一些比较简单的问题。

回顾起此次自动控制课程设计，至今我仍感慨颇多，从审题到完成，从理论到实践，在整整两星期的日子里，熬了好多夜，经历了烦躁到平静，但是学到很多很多的的东西，不仅巩固了以前所学过的知识，而且学到了很多在书本上所没有学到过的知识，不仅是专业知识，更学会熟练的使用MATLAB这个非常实用的软件，它强大的功能几乎可以解决现阶段遇到的所有数学问题。

但是由于自己对它不是很熟悉，所以在使用的途中还是碰到许多的困难。

最终在查阅资料和同学的帮助下完成了任务。

这次的课程设计虽然完成了，但是过程中反应出自己的很多不足之处，比如理论知识掌握的不够全面牢固，一些相关软件不能比较熟悉的掌握等，这些都是有待改进的地方，希望通过这个课程设计，能够激发自己对学习的更大热情，在以后的学习路上，掌握更多的技能和本领。

将来才能回馈于社会。

参考文献
[1]胡寿松.自动控制原理（第四版）.北京：科学出版社，2000.6
[2]王万良.自动控制原理.高等教育出版社.2008
[3]王正林等著。

Matlab/simulink与控制系统仿真.电子工业出版社。

2005
[4]樊京等著.matlab控制系统应用与实例.清华大学出版社。

2008。