考研定积分经典例题(完美讲析)

年考研定积分经典例题(完美讲析)

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定积分常见问题

一、关于含“变上限积分”的问题

3

2

4

1(1)()1x x dt F x t =

+⎰

例、求下列导数

3

24

sin (2)()1x x x F x dt

t

=

+⎰

220

(3)()()x

F x tf x t dt =-⎰

2例、求下列极限

2

2

2

1(1)lim

(1)x t x

x t e dt x -→∞+⎰求 220

4

()(2)lim

,()(0)0,(0)2x

x tf x t dt

f x f f x

→-'==⎰

求连续，

3例

1

(1)()()()sin f x f tx dt f x x x =+⎰求连续函数，使之满足

1

ln 1

(2)()0()()1x

t f x dt x f x f t x =>++⎰

、设，其中，求 ()

()

32

1

3()0(),1()8,()

3

f x f x x

g x g t dt x f x >=-⎰

（）设在可微。其反函数为且

求

二、定积分计算的有关问题

4

1

1(1)(1)

dx x x +⎰

例、（常见形式积分）

4

(2)

1cos 2x

dx x π

+⎰ 1

2

1

4

arcsin (3).(1)x

dx x x -⎰ 2224

(4)(0)a

a

x a dx a x ->⎰

ln 220(5)1x

e dx --⎰ 220(6)a

dx x a x

+-⎰

例2、（分段函数，绝对值函数）

[(1)()b a xdx a b <⎰ 0,02

(2)(),()(),2

x l kx x f x x f t dt l c x l ⎧

≤≤⎪⎪=Φ=⎨

⎪≤≤⎪⎩⎰、设求 1

0(3)

t t x dt -⎰

sin ,02

(4).

()(),(0)0(),()0,2

x

x x f t g x t dt x x f x x g x x ππ⎧

≤<⎪⎪-≥≥==⎨⎪≥⎪⎩⎰

其中当时，而

例3（对称区间上积分）

1

1

(1)(1sin )()x x x e e dx --++⎰

(

)

12

2

212

(2)sin ln 1ln (1)x x x x

x dx -⎡⎤+++-⎢⎥⎣

⎦⎰ 24

4

sin (3)1x x

dx e

π

π--

+⎰ ()

4[]()()

b

a

f x dx f x

g x +⎰

例、形如的积分

4

2

ln(9)

(1)ln(9)ln(3)x dx x x --++⎰

sin 2

sin cos 0

(2)x

x x e dx

e e π

+⎰ 2

(3)

,1()dx

tgx π

λ+⎰

例5、（由三角有理式与其他初等函数通过四则成复合而成的函数的积分）

2

20

2200

1.

(sin )(cos ))2.(sin )(sin )213

31,2422

3.sin cos ,

1342

,1253

n n

f x dx f x dx xf x dx f x dx

n n n n n xdx xdx n n n n n π

π

πππ

π

π

π

==

--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-==⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩

⎰

⎰

⎰⎰

⎰⎰常用结论

，为正偶自然数为大于的正奇数，

2

(sin )

(1)(sin )(cos )f x dx f x f x π

+⎰

3

2

3

3

(sin )

(sin )(cos )

x dx x x π

+⎰

10102

0sin cos (2)4sin cos x x dx x x π---⎰、 2

(3)ln sin xdx π

⎰

320

sin (4)1cos x x dx x π

+⎰ 2220sin (5),sin cos n n n n x x I dx n N x x π+

=∈+⎰计算 640

(6)sin cos x x xdx

π

⎰

[]2(7)(),,()()sin ,()1cos x

f x f x f x xdx f x x ππ

ππ--=++⎰设在上连续且满足求

1

21001

1

(8)(1)

x dx --⎰求 0

(9)

1sin 2n xdx π

+⎰

2sin (10)()sin ,().x t x

F x e tdt F x A B C D π

+=⎰

则是（

）

正常数负常数恒为零不是常数

例6 利用适当变量代换计算积分

4

(1)ln(1)tgx dx π+⎰ 1

20

ln(1)

(2)

1x dx x ++⎰ 200

(3)sin n x xdx π

⎰ 20

(4)(1)(1)

dx

x x α+∞++⎰

求

例7（其它）

2

2

(1)()[0,]()cos ()()2f x f x x x f t dt f x π

π

=+⎰、设在上连续，且，求

2

1

2

(2)()()2()()f x x x f x dx f x dx f x =-+⎰⎰设，求

1

20

(3)()()arcsin(1),(01),()y y x y x x x y x dx '==-≤≤⎰设满足求

2

201

1

(4)()(2)arctan ,(1)1,()2x f x tf x t dt x f f x dx -==⎰⎰、设连续，且满足求的值

2

200

cos sin cos (5),,(2)1x x x

dx A dx x x π

π

=++⎰⎰已知：求