《流体力学》第八章绕流运动解析

d ( x, y) ux dy u y dx 因而： d ux dy u y dx 0
由于ψ(x,y)函数是由流线微分方程和连续性 方程所引出，故称ψ(x,y)为流函数。显然连 续性方程是ψ(x,y)存在的必要与充分条件。 由此得到，一切连续性流动流场一定存在流 函数。 d u dy u dx 0

存在势函数的前提是流场内部不存在旋转 角速度。 只有内部不存在摩擦力的理想流体，才会 既不能创造旋涡，又不能消灭旋涡。 摩擦力是产生和消除旋涡的根源，因而一 般只有理想流体流场才可能存在无旋流动 工程中所考虑的流体主要是水和空气，它 们的粘性很小，如果在流动过程中没有受 到边壁摩擦的显著作用，就可以当作理想 流体来考虑。



将速度势函数代入不可压缩 ux u y uz 0 流体连续性方程： x y z
ux 2 其中： 2 x x x x
同理：y y 2
2
u y
得出
拉普拉斯方程: x 2 y 2 z 2 0
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
根据全微分理论，上面三个等式是某空间 位置函数φ存在的必要和充分条件，可表 示为：d ( x, y, z) ux dx u y dy uz dz 函数φ称为速度势函数。存在着速度势 函数的流动，称为有势流动，简称势流。 无旋流动必然是有势流动。
第八章

绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
2 2 2
u z 2 2 z z
满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 不可压缩流体势流的速度势函数，是坐标 x,y,z的调和函数。 拉普拉斯方程本身，是不可压缩流体无旋流 动的连续性方程。
第二节
平面无旋流动
在流场中，某一方向(取作Z轴方向)流速 为零，而另两方向的流速与上述轴向坐标 Z无关的流动,称为平面流动。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x

x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： Fra Baidu bibliotek 0 2 2 x y
一个流动存在势函数的条件是流动无旋， 只要无旋，不管是可压缩流体，还是不可 压缩流体，也不管是恒定流，还是非恒定 流，三元流还是二元流，都存在势函数。 对于不可压缩流体无旋流动，势函数满足 拉普拉斯方程。
流函数存在的条件则是不可压缩流体，以 及流动是平面问题，与流动是否无旋，是 否恒定和是否具有粘性无关。当流动又是 无旋时，则流函数也满足拉普拉斯方程。
将ux,uy求偏导后，代入无旋 条件可得到： 2 2 表明当流动无旋时，流函数也满足 2 2 0 x y 拉氏方程，也是调和函数。
以上讨论得到：流函数实际上是流线函数。由于 大多数流场是连续的，因此它就成为研究流场重 要工具。所以流函数是更有普遍意义的重要函数。 以上讨论还得到，平面无旋运动同时存在流函数 ψ(x,y)和势函数φ(x,y)，势函数积分得到为： φ(x,y)=C，不同的C对应着不同的等势线。因而 势函数实际上就是表示流场中的不同的等势线簇。
2 2
在平面流动中，流线微分方程为：
dx dy ux u y
ux dy (uy dx) 0
ux (u y ) 由全微分理论，由于存在条件 x y
二元流动 ux u y (u y ) u x 0 连续性方程为： x y x y
则 ux dy (uy dx) 必是某函数的全微分，即：
x y
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x



第一节
流动场中各点的旋转 角速度等于零的运动 称为无旋流动。在无 旋流动中：
无旋流动
1 uz u y x ( )0 2 y z
1 u x u z y ( )0 2 z x 1 u y ux Z ( )0 2 x y
因此，无旋流动的前提条件是：
第三节
几种简单的平面无旋流动