导数及其求法

导数及其求法

在学习过极限概念的基础上，现在来我们学习微积分的基本问题中非常重要的一个部分──微分学. 在这一部分将给出导数（微分）的概念、法则、定理及其主要求法.

§1一元函数导数及求法

【知识点】 一、基本概念

1、 导数定义：设函数

()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，自变量x 在0x 处取得一增量x ∆（0

x x +∆仍在邻域内），函数

y 相应取得增量()()00y f x x f x ∆=+∆-，如果极限

()()000

lim lim

x x f x x f x y

x

x

∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，

()0f x '

则称此极限值为函数

()y f x =在点0x 的导数，记为

()()()

0000

lim

x f

x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

此时也称函数

()f x 在点0x 处可导，若上式不存在，则称函数()f x 在点0x 处不可导或导数不存在.

2、 左导数与右导数定义：设函数

()y f x =在点0x 的左侧（右侧）包含0x 某一邻域内有定义，在0x 处给x

增量

0x ∆<（0x ∆>），0

x x +∆仍在邻域内，函数y 相应取得增量()()00y f x x f x ∆=+∆-，如果极限

()()0000lim lim x x f x x f x y

x

x -

-

∆→∆→+∆-∆=∆∆（()()0000lim lim x x f x x f x y

x x ++

∆→∆→+∆-∆=∆∆） 存在，则称此极限值为函数

()y f x =在点0x

的左（右）导数，记为

()0f x -'（()0f x +'）

()()()

0000

lim x f

x x f x f x x

-

-∆→+∆-'=∆

（

()()()

0000

lim x f x x f

x f x x

+

+∆→+∆-'=∆）

3、 可导的充分必要条件：函数

()y f x =在一点可导的充分必要条件()f x 是在点0x 处的左、右导数存在

且相等，即

()()00f x f x -+''=

4、导数的几何意义：函数()y f x =在点0x 处导数()0f x '表示曲线()y f x =在点（0x ，()f x ）处

切线的斜率. 曲线

()y f x =在点（0x ，()f x ）处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，法线

方程为()()

()()00001

(0)

y f x x x f x f x '-=-

-≠'.（

()00

0,f x x x '==则为）

若函数

()y f x =在点0x 处导数为无穷大，则曲线()y f x =在点（0x ，()f x ）处的切线垂直于x 轴，切

线方程为

0x x =，法线方程为()0y f x =.

5、导函数：若函数

()y f x =在区间I

上每一点处可导，则任一

x I ∈有导数值，由此定义了一个新函数，称为

()f x 的导函数，简称导函数，记为

()

,,,

,x dy df f x y y dx

dx

''

'

6、可导与连续关系：在点0x

处

()()()()f x f x f x f x ''→若存在连续，反之连续则不一定存在.

7、导数的四则运算法则与导数公式见教材. 8、高阶导数的概念：若函数

()f x '的导数

()()()

lim

x f

x x f

x f x x

∆→+∆-

''=∆ 存在，该导数称为的二阶导数，记为

()

2222

,,

,

d y d f f x y dx dx ''''

.

类推有三阶、四阶,n 阶导数，记为()

()()

,,

n n n n

d y

f x y dx .

9、微分的定义：设函数

()y f x =在点x 的某一邻域内有定义，如果对自变量在点x 处的改变量x ∆（x x +∆仍

在邻域内），函数

y 的改变量

()()y f x x f x ∆=+∆-可以表示为

()

(0)y A x x x ο∆=•∆+∆∆→

其中A 与x ∆无关，则称函数()y f x =在点x 处的可微，并称A x •∆为函数()y f x =在点x 处的微分，

记为

()()dy

df x dy x df x x

•∆=•∆或即＝A 或A

注：① 称函数的微分

dy 是改变量y ∆的主要部分，或称为线性主部.

② 几何意义是曲线

()y f x =在点（0x ，()0f x ）处的切线，当x 取得增量x ∆时，纵坐标对应的增量.

10、微分与导数的关系：()y f x =可微−−→

←−−()y f x =可导.（充要条件）

11、微分的四则运算法则与微分公式见教材. 12、一阶微分形式不变性：设函数

()y f u =，()u x ϕ=构成复合函数，若()y f u =关于u

可微，

()

u x ϕ=关于

x

可微，则复合函数

()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦

关于

x

的微分有

：

()()()dy f u x dx dy f u du ϕ'''==或其中du 是()u x 关于x 的微分. （无论是u 自变量还是

中间变量，总有

()dy f u du '=）

二、定理

定理1、（反函数求导法则）若函数

()x y ϕ=在某区间内单调、可导且()0y ϕ'≠，

则它的本义反函数

()y f x =在对应区间内也可导，且

()()

()()1

1

f x y y f x ϕϕ''=

=

''或

定理2、（复合函数求导公式）若函数

()u x ϕ=在x 处有导数()x ϕ'，函数()y f u =在x 的对应点u 处有导

数

()f u '，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在x 处可导，且

(){}()()

f x f u x ϕϕ'

''=•⎡⎤⎣⎦

即： x u x dy dy du

y y u dx du dx

'''

=•=•或

【方法与例题】一元函数的导数（微分）计算问题，只要熟练掌握求导（微分）公式，以及若干常规方法都可顺利解决.求导（微）方法除了从定义出发直接求函数导数外（解题时几乎不用），一般可归纳为以下几种.