高数BC二重积分

D
f ( x y )dxdy f (t )(a t )dt
a
a
例. 计算
e
D
yx yx
dxdy
y
x y 2
其中D 是 x 轴 y
v v2 轴和直线 D u v uv u O
O
D
x
所围成的闭域.
例. 计算由
y
x2 by
y 2 qx x2 a y
y
D a O a x
例7. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点
z。 a M0
O
d
处的单位质量质点的引力.
x
R y
(考研2017)计算积分
y dxdy 2 4 2 (1 x y ) D
其中 D是第一象限中以曲线 y x 与
3
x 轴为边界的无界区域.
(考研2013)设平面区域 D 由直线
1 1
x2
(考研2017)已知平面区域
D {( x, y) x y 2 y}
2 2
计算二重积分
( x 1) dxdy
2 D
(考研2016)设 D 是由直线
y 1, y x, y x
围成的有界区域, 计算二重积分
x xy y dxdy 2 2 x y D
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D y 2 px
O
b D a O p q u
v
x
所围成的闭区域 D 的面积 S .
例.求抛物线 y x 与直线
2
所围区域 D 的面积A .
例: 某一建筑物的屋顶,
由半径为2的半球面 上覆盖一半径为1的
半球面拼接而成, 求该屋顶面积.
例. 计算双曲抛物面
被柱面
z
所截出的面积 A .
O
3 3
它们依次的面积 S1 , S2 , S3 的大小 次序是
S3 S2 S1
y
x
例3. 求位于两圆 之间均匀薄片的质心.
和
y
4
C2 D O
x
例. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少?
备用题
设有一高度为 h(t ) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其


为顶点的三角形区域
例: 求
x[1 yf (x
D
2
y )]dxdy, D : y x , y 1, x 1
2 3
所围, 其中 f 连续.
例: 计算
yd
D
其中 D 由直线
5x y 0, 2 x y 6 0
以及
x
轴所围.
例: 计算
ydxdy
二重积分
问题一：二重积分概念与积分域问题
问题二：二次积分次序选择与交换问题 问题三：利用极坐标计算与坐标变换问题 问题四：柱体体积与曲面面积的计算问题 问题五：二重（二次）变限积分的求导问题
x dxdy （练习） x y D
(1) D : x y 1( x, y 0) ;
(2)D : x y 1( x, y 0) .
2 2
(精选)求
sin x cos y dxdy
2 2 D
2 2 其中 D ( x, y ) x y 2
(精选)求 (sin x cos y) dxdy
2
D 是以 ( 2 , 2 ), ( 2 , 2 ), ( 2 , 2 )

D

D
其中 D 是由
x
y 轴, 轴
y 1 b
和曲线
x a
.
所围区域 (a, b 0)
例： , ( x y ) dxdy
3 D
D由
x y 1, x y 2,
y 0, y 2 围成.
例：计算:
ydxdy , D
D
由直线: x 2, y 0, y 2 以及曲线: x 2 y y

1
0
dy
2 y 2 y
y arctan x dx 2 2 x y
(练习)设 f ( x)和 g ( x) 是闭区间[a, b] 上具有相同单调性的单调连续函 数，试用二重积分证明不等式：

a
b
f ( x)dx g ( x)dx (b a) f ( x) g ( x)dx
a a
2
所围成的平面区域.
例. 计算二重积分
(1) I sgn( y x )d xd y,
2 D
D : 1 x 1， 0 y 1;
(2) I ( x y 2 xy 2) d xd y,
2 2 D
其中D 为圆域 在第一象限部分.
例：

D
y x dxdy,
2 2
计算:
I f ( x, y)dxdy
D
.
其中 D : x y 1
2 2
例：
x y 1 x 2,0 y x f ( x, y) , , 其它 0
2
求

D
f ( x, y)dxdy
2 2
,
其中
D ( x, y ) x y 2 x
(冲刺)求
x 3 y, y 3x, x y 8
围成, 求：
x dxdy
2 D
(考研2016)设
D ( x, y ) x y 1, 1 x 1
则
x e
D
2 y2
dxdx
1 2 3 3e
(考研2014)二次积分
e y2 dy [ e ] dx 0 y x
b
b
例: 设函数 f ( x) 连续,
F ( x) dt (t u) f (u)du
1 t
.
x
1
求 F "'( x)
例: 设 f (u ) 连续, f (0) 1
令 F (t )
.
f ( x y )dxdy
2 2
x 2 y 2 t 2
求: F "(0)
例: 设函数 f (t ) 在 [0, )
上连续, 且满足方程
f (t ) e
4 t 2

.
x2 y 2 4t 2

1 2 2 f ( x y )dxdy 2
求: f (t )
例：设 f
x, y 在区域 : D
0 x 1,0 y 1 上有定义,
f 0,0 0 且在 0, 0 处 f 可微,
D
其中积分区域 D : 0 x 2; y x
（复赛2015）设区间(0, )上的 函数 u ( x) 定义为 u( x) 0 e
xt 2
dt
求 u ( x) 的初等函数表达式。
(预赛2016)设 1 , 2 , 3 依次是曲面
x y z xy, z , z cos( xy ) 3 2 2 含在柱面 x y 1 内的部分,
求:
x 0
lim

x
2
0
dt f t , u du
t
x
1 e
4 x
4
例： 当 x 0 时,
f ( x) dt t ln(1 u )du
2 0 0 x t
?
(强化)设 f (t ) 连续,
a a D : x , y (a 0) 2 2
证明：

2
D : x 1,0 y 2
(冲刺)求
( x y ) dxdy 其中
D
D 由 x 0, y 0, x y 1所围
(精选)二次积分

1
0
dy
1 y
x y dx
4 2
例: 交换积分次序:
I dy
0
1
1 y y 1
2
f ( x, y )dx
2 2
(考研2016)已知平面区域
D (r , ) 2 r 2(1 cos ), 2 2
计算二重积分
xdxdy
D
(预赛2015) F ( x, y) max[t (2 xt y)]
2 1t 3
计算二重积分
F ( x , y ) dxdy
2( x 2 y 2 ) , 设长度单位为厘米, 侧面满足方程 z h(t ) h(t ) 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积成正比
(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)
z
O y
x
例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直 径的转动惯量.
例: 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, n 0 证明:
1 b n 1 dy ( y x ) f ( x ) dx ( b x ) f ( x ) dx a a n 1 a
b y n
例:
x y , y x f ( x, y ) xy 其它