2021年高三上学期第一次段考数学理试题 含答案

2021年高三上学期第一次段考数学理试题 含答案
第Ⅰ卷（选择题、填空题，共75分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

）
1. 集合{|2,},{|1,}x M y y x R N y y x x R ==∈==+∈，则＝________。

A.
B.
C. D.
2. 等腰直角三角形ABC ，E 、F 分别是斜边BC 的三等分点，则tan ∠EAF ＝________。

A.
B.
C.
D.
3. 已知函数，若，且，则________。

A.
B.
C. D.
4. 已知，则的值为________。

A.
B.
C.
D.
5. 已知是定义在R 上的奇函数，当时，（m 为常数），则的值为________。

A. －4
B. 4
C. －6
D. 6
6. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边，，则A ＝________。

A.
B.
C.
D.
7. 奇函数满足对任意都有且，则＝________。

A. －8
B. 8
C. －9
D. 9
8. 设集合是A 和B 的映射，对任意的，都有为奇数，则满足条件的映射的个数为________。

A. 12
B. 15
C. 25
D. 50
9. 已知向量满足：，则＝_________。

A. 12
B. 6
C. 3
D. 2
10. 给出下列三个函数的图象：
它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的一条： ① ②
③
则正确的对应方式是_________________。

A. （a ）－①，（b ）－②，（c ）－③ B. （b ）－①，（c ）－②，（a ）－③ C. （c ）－①，（b ）－②，（a ）－③
D. （a ）－①，（c ）－②，（b ）－③
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案直接填入相应题号的横线上） 11. 函数的单调递减区间是_________。

12. 函数的值域为__________。

13. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别为边CD 和BC 上，且，若，其中，则＝________。

14. 已知函数2
()2(0),()43x
f x e x x
g x x x =-->=-+-，若有，则b 的取值范围为__________。

15. 已知函数22
2tan ()1(1cos 2)tan 1tan x
f x x x x
=+
-+⋅+，给出下列四个命题，①函数的最小正周期为，且在上递减；②直线是函数的图像的一条对称轴；③对称中心；④若时函数的值域为。

其中正确的命题的序号是_________。

第Ⅱ卷（共75分）
三、解答题（12＋12＋12＋12＋13＋14＝75分）
16. 在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11：00时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处。

（1）求船的航行速度；
（2）求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离。

17. 设AD是半径为5的半圆0的直径（如图），B，C是半圆上两点，已知。

（1）求cos∠AOC的值；
（2）求。

18. 如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足。

（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式；
（3）如果一天24小时内的温度均近似符合该函数关系式，求一天中温度不小于25℃的时间有多长？
19. 已知函数（m为实数）。

（1）试求在区间上的最大值；
（2）若的区间上递增，试求m的取值范围。

20. 某学校要用鲜花布置花圃中A，B，C，D，E五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花。

现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择。

（1）当A、D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；
（2）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（3）记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望。

21. 已知函数，其中a为常数，设e是自然对数的底数。

（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间上的最大值为－3，求a的值；
（3）当时，试判断方程是否有解，并给出理由。

【试题答案】
一、选择题（5×10＝50分） 1. D 2. D 3. D
4. D
5. A
6. B
7. C
8. D
9. B
10. C
二、填空题（5×5＝25分） 11. 12. 13. 14.
15. ④
三、解答题（75分） 16. （12分） （1）
（2） 17. （12分）
（1）cos ∠AOB ＝，cos ∠AOC ＝ （2）建立坐标系B （4，3），C （） 18. （12分）
（1）30°－10°＝20°
2分
（2）
点（6，10）代入
7分
（3）
35
22()(0)6
8
46
k x k k Z x π
π
ππππ⇒
+≤
+
≤+∈> 23450
0,10333
k k x x ⇒==⇒≤≤≤≤取或
（小时）
12分
19. （12分）
（1）min
215
(1)24()2(2)1(12)4
m m f x m m m m ⎧-≤⎪⎪
=-≥⎨⎪⎪-<<⎩ （2）要使在区间递增，
则或01221()02
m f ⎧
⎪∆>⎪
⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩
20. （13分）
（1）4×3×3＝36（种）
（2）A 、D 同色，5×4×3×1×3＝180 A 、D 异色，5×4×3×2×2＝240
因此，所有基本事件总数为420种（是等可能的） A 、D 为红色，4×3×3＝36 B 、E 为红色，4×3×3＝36
因此事件M 包含的基本事件有36＋36＝72种
（3）随机变量的分布列
21. （14分） （1）
当时，，当时，
即在（0，1）是增函数，在（1，）是减函数。

（2） 当时是增函数 而已知。

当时，则由 由
从而在上是增函数，在上是减函数。

2max 11
()()1ln()3f x f a e a a
∴=-=-+-=-⇒=-
（3）由（1）知，当时， 又令，令
当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减。

max 11
()()1,()1,|()|()2
g x g e g x f x g x e ∴==+<∴<∴>
∴方程没有实数解。

35655 8B47 譇 24577 6001 态24131 5E43 幃20112 4E90 亐J
22876 595C 奜c135293 89DD 觝8`23238 5AC6 嫆?。