于开平-结构动力学第二讲

(2) 阻尼力的功：
Wd A cos t dt c 2 / 1 cos 2 t cA2 2 dt 0 2 1 2 1 2 2 2 / cA2 2 cA cos 2 t dt 0 2 2
5 稳态响应振幅和相位
5.2 初始相位角 根据初相位角表达式
2 tg 1 2
可以画出初相位角随频率比的变化曲线，简称相频曲线：
在共振点，不管阻尼比多大，初相位角均为90度。
6 稳态响应复数解法及频响函数
之前将外载荷假设为正弦形式，其运动控制方程为：
������������ሷ 1 + ������������ሶ 1 + ������������1 = ������0 sin������������ 简谐激励的另一种典型形式为余弦形式，其运动控制方程写作： ������������ሷ 2 + ������ ������ሶ 2 + ������������2 = ������0 cos������������ （2） （1）
o o o
o
1 2 Fo A sin Fo A sin 2
6 稳态响应复数解法及频响函数
令方程特解为������ ������ = ������������ ������ ������������������ ，代入运动控制方程得： (−������2 ������������������ + ������������������������������ + ������������������ )������ ������������������ = ������0 ������ ������������������ 方程对任意时刻t恒等，则方程两边指数函数������ ������������������ 前系数相等，由此可得： ������������ = ������0 ������ − ������������ 2 + ������������������
将x2代入运动控制方程，若方程对任意时间t都恒等，则必有有关sinωt 和 cosωt前系数相等，可求得振幅A和初始相位角α。
A
xst
1
2
2

其中ω为激励力频率和系统固有频率的比值。
4 有阻尼简谐激振
线性系统叠加 原理的体现
原非齐次方程通解为特解以及对应齐次方程通解之和，即 x=x1+x2 。代入初 始条件确定两个待定系数c1、c2，从而得到全解，写成三大项的形式：
������������
第一项 零输入响应
（仅有初始条件作用的响应）
sin������������ ������
第二项 零初始条件响应
（仅有外力作用的响应）
+Asin ������������ − ������
第三项
（1）前两项指数衰减，趋向于零，第二项是伴生自由振动响应。一段时间以后，响 应以最后一项为主，其运动状态稳定，称为稳态响应。前两项通常被称为瞬态响应。 （2）振动从初始到接近稳态这阶段，瞬态响应不可忽略，其表示振动的过渡，也称 过渡过程或暂态过程。过程的长短和阻尼比及固有频率大小直接相关。
标准复数 表达式
6 稳态响应复数解法及频响函数
则复数形式的稳态响应x和激励力F的比值为：
������ ������ ������������ ������ ������������������ ������������ 1 = = = = ������ ������ ������ ������ ������������ ������ − ������������ 2 + ������������������ ������������ ������ ������������������
ζ=0.005：
共振情况下，稳态响应振 幅受阻尼比影响很大。 过渡阶段的一开始，初始 条件响应影响大，之后零 初始条件响应影响逐渐增 大。 总的过渡过程呈近线性增 长。
4 有阻尼简谐激振
4.2 改变频率比使得ω/ωn=1.2，变更阻尼比ζ得到的简谐激振的各项响应 ζ=0.05：
4 有阻尼简谐激振
两边同除质量m，整理得：
2 2 x 2n x n x xstn sin t
其中xst= F0/k为系统在F0作用下的静变形。
4 有阻尼简谐激振
对应齐次方程的通解：
x1 ent c1 cos d t c2 sin d t
方程特解可设为：
x2 A sin t
cx dx
2
cA2
7 稳态响应上各力的功
(3) 激励力的功：
Wf
F sin t dx F sin t A cos t dt F A sin t cos t cos sin t sin dt 1 cos 2t F A sin dt 2
2
2
当 ������=������n ，实部均为零。 当外激励频率趋近于零，实部就 是刚度倒数。
固有频率点，是虚部的极值点， 大小就是-1/2kζ。ω趋近于零或 无穷大虚部都趋近于零。
6 稳态响应复数解法及频响函数
频响函数模值表达式为： |������ ������ | = 1 ������ − ������������ 2
We
kx dx kx xdt k A sin t A cos t dt
1 kA2 sin 2 t dt 2 2 1 kA2 sin 2 t dt 0 2 0
将方程（1）两边同乘以虚数的单位j，再与方程（2）相加得：
������(������������ሷ 1 + ������ሷ 2 ) + ������(������������ሶ 1 + ������ሶ 2 ) + ������(������������1 +������2 ) = ������������0 sin������������ + ������0 cos������������ 令������ = ������2 + ������������1 ，又因为������0 cos������������ + ������������0 sin������������ = ������0 ������ ������������������ ，则可写出复数形式 的运动控制方程： ������������ሷ + ������ ������ሶ + ������������ = ������0 ������ ������������������
6 稳态响应复数解法及频响函数
频响函数实部表达式为： ������ − ������������2 Re������ ������ = ������ − ������������ 2 2 + ������������ 频响函数虚部表达式为： −������������ Im������ ������ = ������ − ������������ 2 2 + ������������
在外激励 以及响应 之间起到 传递作用
������ ������ 被称作单自由度有阻尼系统频率响应函数，物理含义是单位幅值的复 谐激励引起复谐响应，反映了系统在频率域的特性。
由于其为响应除以力，故具有柔度的量纲，故也被称作动柔度，其倒数对 应的称为动刚度。
假设激励力和响应的傅里叶变换存在，直接对运动控制方程做傅里叶变换 得： (−������������2 + ������������������ + ������)������(������) = ������ ������ 从而得到： ������ ������ 1 = = ������ ������ ������ ������ ������ − ������������ 2 + ������������������
x0 n x0 n t x t e sin d t x0 cos d t d
+������������ −ζ������������������ sin������cos������������ ������ +
ζ������������ sin������−������cos������
4 有阻尼简谐激振
系统参数m=1, k=100π2; 初始条件 x0=1.0, v0=0.1; 正弦激励幅值F0=20π2 4.1 固定频率比ω/ωn=1，变更阻尼比ζ得到的简谐激振的各项响应： ζ=0.05：
4 有阻尼简谐激振
ζ=0.02：
指数衰减过 程变慢
总响应过渡 过程变长
4 有阻尼简谐激振
相角
1 ������0 ������−������������2 2 + ������������ ������ ������ 2 ������������−������
则特解为：
������ ������ = ������−������������2 +������������������ ������0 ������ ������������������ = = ������������ ������
2
+ ������������
2
同样可知，固有频率点就是模值函数的极大值点，大小是正的1/2kζ 。 外激励频率趋近于零，模值就是刚度倒数。 外激励频率趋近于无穷大，模值趋近于零。
7 稳态响应上各力的功
各力在稳态响应上做功，等于力乘以位移微元段 ，然后在稳态响应的任意 一个周期内积分。 (1) 弹性恢复力的功：
A xst
1
1 2 2
2
2
等号左端������Τ������������������ 为简谐激励作用下的稳态响应的振幅与简谐激励力幅作 用下的系统静变形的比值。 β表征了动载荷的作用效果，称为动力放大系数，或动力放大因子。 令β对频率比的导数等于零，可求得曲线取值的最大值位置： ������ ഥ max = 1 − 2ζ2
结 构 动 力 学
第一章 单自由度（SDOF）系统振动
第二讲 主讲教师：于开平 哈尔滨工业大学航天学院
四、单自由度系统振动分析
4 有阻尼简谐激振
运动控制方程为：
F0sin(ωt)
mx cx kx F0 sin t
初始条件为：
静平衡 位置
x o
m
k c
x 0 x0，x 0 x0
虽然很接近，但最大值并不在传统意义的共振点上，而是偏小 。
5 稳态响应振幅和相位
根据振幅或放大因子表达式可以画出随频率比变化的曲线，简称幅频曲线， 改变阻尼比，可画出如图所示的曲线族。
（1）随阻尼比增大，最大值变小，最大值位置逐渐向左移动。 （2）在共振区阻尼比影响大，非共振区的振幅几乎不随阻尼比改变而改变。 （3）频率比相对较小时，稳态响应振幅略大于静变形，可近似按静力处理； 频率比相对较大时，稳态响应振幅小于静变形，且随着激励力频率的增大， 振幅逐渐变小，但由于频率高，按静力设计需谨慎。
������������−������
特解的虚部是正弦形式简谐力作用的稳态响应：
������1 ������ = Im������ ������ = ������sin ������������ − ������ 特解的实部是余弦形式简谐力作用的稳态响应： ������2 ������ = Re������ ������ = ������cos ������������ − ������
ζ=0.02：
过渡过程有一 个拍振振动特 征
4 有阻尼简谐激振
ζ=0.005：
• 相比共振情况，频率比较大时，稳态响应振幅受阻尼比影响小很多。 • 整体响应开始阶段，初始条件响应影响变小。 • 总的过渡过程为拍幅衰减的拍振。
5 稳态响应振幅和相位
为了看出阻尼比和频率比的影响，对振幅和初相位角表达式进行处理。 5.1 振幅 将振幅表达式两边同除xst得：