(精品试题)甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试(二诊)数学(理)答案

3 a2 4
3，
…………………………8 分
所以 a 2 ．
…………………………9 分
在 MAC 中， AC 2,CM 1,C 2 ， 3
所以 AM 2 AC 2 CM 2 2 AC CM cos C 4 1 2 2 1 1 7 ．…11 分 2
联立

x2 4

y2 3
1,
得（3m2
4) y2
6my 9 0
x my 1
……………………6 分
设 A（x1，y1）, B（x2，y2），则
y1

y2


6m 3m2
4
,
y1

y2


9 3m2
4
，
MA (x1 x0，y1）, MB （x2 x0，y2）
解得： CE 4
所以 AE 2 AC 2 EC 2 ，所以 ACE 是直角三角形， ……………………4 分
又 F 为 CE 的中点，所以 AF 1 EC EF 2
又 AEC 60 ，所以 AEF 为等边三角形，
所以 EAF 60 DEA ，所以 DE // AF ，
设 x 1 ，则 y 0, z 3 ，即平面 SDE 的一个法向量为 n (1,0, 3 ) ，
2
2
所以 cos n, SC n SC | n || SC |
2 3 21
7 4
16
7
…………………………11 分
所以直线 SC 与平面 SDE 所成角的正弦值为 21 . …………………………12 分 7
x （0， ），f (x) 0，f (x) 为增函数， f (x)极小值 f (0) 1 而 f (1) 2a 0 ，∴当 x 0 ， x0 (0,1) ，使 f (x0 ) 0 ,当 x 0 时， ex 1
5
∴ (x 1)ex x 1 ，∴ f (x) (x 1)ex 2ax2 x 1 2ax2 2ax2 x 1

C33 C63

1 20
．
于是“理想数据”的个数 X 的分布列：
X0 1 2 3
p1 9 9 1 20 20 20 20
…………………………11 分
数学期望 E( X ) 0 1 1 9 2 9 3 1 3 ．………………………12 分 20 20 20 20 2
19.(12 分)
（1）∵ F1(1,0) 和 F2 (1,0) 是椭圆 E :
x2 a2

y2 b2
1(a
b

0) 的两个焦点，且点
P( 3, 3 ) 在椭圆 E 上， 2
2
∴依题意， c 1 ，又
2a ( 3 1)2 ( 3 )2 （ 3 1）2 （ 3）2 1（ 19 8 3 19 8 3）
∴ f (x) 至多有一个零点，不合题意
…………9 分
③ ln(4a) 0 ，即 a 0, 1 时,当 x 变化时 f (x) ， f (x) 的变化情况是 4
x - ，ln(4a) ln(4a) ln(4a)，0 0 （0， ）
f (x)
+
0
－
0
+
f (x)
点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A ， B 均异于原点 O ，且 | AB | 4 2 ，
∴ | AB || 1 2 || 4 sin 4 cos | 4
2 | sin( ) | 4 4
2 ， ……………7 分
∴ sin( ) 1 ， 4
所以，存在点 M (11 ,0) 使得 MA MB 135 为定值
8
64
………………12 分
20.(12 分)
(1)平面 SAB ⊥平面 ABC ，
平面 SAC ⊥平面 ABC , 平面SAC 平面SAB SA
则 SA ⊥平面 ABC ， 又 DE AB ，则 ADE 90
21．（12 分）
（1）当 a e 时， f (x) x(ex e) 4
令 f (x) 0 得 x 0或1，
……………1 分
x 0，f (x) 0，f (x) 为增函数,
0 x 1，f (x) 0，f (x) 为减函数，
x 1，f (x) 0，f (x) 为增函数……………3 分
x （- ，0） 0 0，ln(4a) ln(4a) ln(4a)，
f (x) +
0
-
0
+
f (x) 递增 －1 递减
递增
∴ f (x)极大值 f (0) 1 ,∴函数 f (x) 至多有一个零点，不符合题意; ………8 分
② a 1 时， ln(4a) 0 ， f (x) 0 ，则 f (x) 在（- ， ）单调递增, 4
∵ 0 ，∴ - - 3 ，∴ ，
4
44
42
………………………9 分
解得 3 ． 4
…………………………10 分
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
（1）当 a 3 时， f (x) 2x2 | 2x 1| -3 ， ………………………1 分
得 sin 2 A sin Asin B sin 2 C sin 2 B ．
…………………………2 分
由正弦定理，得 c2 b2 a2 ab ，即
a2 b2 c2 ab ，
…………………………3 分
所以 cos C a2 b2 c2 ab 1 ．
解得 AM 7 ．
………………………………12 分
1
18.(12 分)
（1）已知变量 x, y 具有线性负相关关系，故甲不对，
∵ x 6.5 ， y 79 ，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为： yˆ 4x 105 ；
…………………………4 分
（2）
x456789 y 89 83 82 79 74 67
4
)

(1
x0
)2
（6
x0 15)m2 3m2 4

9

(1
x0
)2
..........................9 分
要使上式为定值, 即与 m 无关, 应有 6x0 15 9
3
4
3
解得
x0

11 8
,此时
MA MB 135 64
......................................11 分
2
22
1（（4 3）2 （4 3）2） 4 2
故a 2．
…………………………2 分
由b2 c2 a2 得b2 3．
…………………………3 分
故所求椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 ． 43
……来自百度文库…………………4 分
（2）假设存在点 M (x0 ,0) ,使得 MA MB 为定值，
.......................7 分
MA MB (x1 x0）（ x2 x0 ) y1 y2
(m2 1) y1 y2 (1 x0)m( y1 y2) (1 x0)2
（m2

1)(
9 3m2
4
)

(1

x0
)m(
6m 3m2
2
2
∴ x ．
当 x 1 时，由 f (x) x2 | x | 得 x2 x 4 0 ， 2
理科数学参考答案 一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题
13. 1
14. 8
三、解答题 17. (12 分)
6, n 1 15. 2n 1, n 2
16. 84
(1) 由 cos2 B sin 2 A sin Asin B cos2 C ，
又 AF 平面 SAF ， DE 平面 SAF ，
所以 DE // 平面 SAF .
…………………………6 分
（2）由（1）可知 DAF 90 ，以点 A 为原点，以 AB , AF ， AS 所在直线分别
为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 S (0,0,2) ， D( 3,0,0) ， E( 3,1,0) ，
C( 3,3,0) .
所以 SD ( 3,0,2) ， SE ( 3,1,2) ， SC ( 3,3,2) . ………………8 分
4
设
n

(x,
y,
z)
为平面
SDE
的法向量，则
n

SD

0
，即

3x 2z 0
n SE 0 3x y 2z 0
递增
递减 －1 递增
∴当 a 0 时, f (ln(4a)) 0 , f (0) 1,
∴函数 f (x) 至多有一个零点
综上： a 的取值范围是 - ，0 .
……………11 分 ……………12 分
6
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
（1）由曲线
C1
的参数方程为
2ab
2ab 2
因为 0 C ，所以 C 2 ． 3
(2)因为 A ，所以 B ．
6
6
所以 ABC 为等腰三角形，且顶角 C 2 ． 3
……………………………5 分 ………………………………6 分
……………………………7 分
因为 SABC

1 ab sin C 2
yˆ 89 85 81 77 73 69
“理想数据”的个数 X 取值为： 0，1，2，3；
…………………………5 分 …………………………6 分
P(X

0)

C30C33 C63

1 20
，
P( X
1)
C31C32 C63

9 20
，
P( X

2)

C32C31 C63

9 20
，
P(
X
3)
∴
f
( x)极大值

f
(0) 1 ，
f (x)极小值

f (1) e 2
（2） f (x) x(ex 4a)
……………4 分
当 a 0 时， f (x) (x 1)ex ，只有一个零点 x 1 ;
……………5 分
当 a 0 时， ex 4a 0 x （- ，0），f (x) 0，f (x) 为减函数,

x y

2 2
cos 2sin

(为参数），
消去参数得曲线 C1 的普通方程为 x2 ( y 2)2 4 ． ∵曲线 C2 的极坐标方程为 4 cos ， ∴ 2 4 cos ，
……………2 分 …………………………3 分
∴ C2 的直角坐标方程为 x2 y2 4x ，整理得 (x 2)2 y2 4 ． ……………5 分 （2）曲线 C1 ： x2 ( y 2)2 4 化为极坐标方程为 4 sin ， 设 A（1，1）, B（2，2）， ∵曲线 C3 的极坐标方程为 ，0 ， R ，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，
因为 AD 3 ， DE 1 ， ADE 90 ，
所以 AE 2, AED 60 ,
…………2 分
在 ACE 中， AC 2 3, AE 2, AEC 60 ，
由余弦定理可得： AC 2 AE 2 EC 2 2 AE EC cos AEC
取 x1

1 1 8a 4a
0 ，∴
f
(x)
f (x1)
0，
f
(x1)
f
(0) 0 ,
∴函数有 2 个零点
…………7 分
当 a 0 时， f (x) x(ex 4a) ,令 f (x) 0 得 x 0 或 x ln(4a)
① ln(4a) 0 ，即 a 1 时,当 x 变化时 f (x) ， f (x) 变化情况是 4
当 x 0 时，由 f (x) x2 | x | 得 x2 x 2 0 ，得 x -1，或x 2 ，
∴ x -1 ．
…………………………2 分
当 0 x 1 时，由 f (x) x2 | x | 得 x2 3x 2 0 ， 2
7
解得 x 3 - 17 ，或x 3 17 ．