导学案.1.1函数概念导学案
《函数的概念》导学案
第1课时函数的概念1.通过具体实例,理解函数是从一个数集到另一个数集上的对应,理解函数的概念和数学符号表示,了解构成函数的三要素.2.理解函数定义域、值域的概念,会求一些简单的函数的定义域、函数值.我们知道高速路上匀速行驶的车辆行驶的路程与时间成正比,每天的气温也随时间的变化而变化.现实生活中存在着许多相互依赖的两个变量之间的关系的数学模型,我们称之为函数关系.你学习过哪些函数?问题1:我们在初中学习过函数.函数的定义是一个变量随着另一个变量的变化而发生变化,具体我们学习过函数、函数和函数.问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应法则f,使对于集合A中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.问题3:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.一个函数的构成要素: 、和,简称为函数的三要素.(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.问题4:如何求函数的定义域?函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域要用集合或区间表示.求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母不能为;②偶次根式的被开方数;③0次幂的底数不能为;④实际问题中定义域要由确定.对函数概念的理解(1)下列式子:①x2+y2=2;②-+-=1;③y=-+-.能确定y是x的函数的是.(2)与函数y=x+1相等的函数是.①y=(x+1)0; ②y=t+1;③y=()2; ④y=|x+1|.函数值的求法已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.函数定义域的求法求下列函数的定义域:;(1)f(x)=-(2)f(x)=-(a为不等于0的常数).(2014年·上海卷)设常数a∈R,函数f(x)=-+-,若f(2)=1,则f(1)= .考题变式(我来改编):参考答案知识体系梳理问题1:一次二次反比例问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A 自变量定义域函数值值域问题3:(1)①非空数集②唯一确定定义域对应法则值域(2)定义城对应法则定义域对应法则问题4:①0②非负③0④实际意义重点难点探究探究一:【解析】(1)①由x2+y2=2,得y=±-,每给一个定义域内的x值可能有两个y 值与之对应,因此它不能确定y是x的函数.②由-+-=1,得y=(1--)2+1,所以当x在{x|x≥1}中任取一个数时,有唯一确定的y值与之对应,故由它可确定y是x的函数.③由--得x∈⌀,故由它不能确定y是x的函数.(2)①、③选项中定义域与y=x+1不同;④项中对应关系不同.对于②,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)②(2)②【小结】(1)紧扣函数的定义知函数的定义域非空,对于定义域内的任意一个x有唯一的元素y与x对应;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x≠2.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.[问题]上面两个题目的解答正确吗?[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.于是,正确解答如下:(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有①分式的分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.全新视角拓展【解析】由题意f(2)=1+-=1,则a=4,f(x)=-+-,所以f(1)=-+-=3.【答案】3思维导图构建唯一定义域、值域、对应法则定义域对应法则。
函数的概念-导学案
1.2.1函数的概念（第一课时）[预习内容]:认真阅读教材 P 15—18页。
深入理解本节的学习目标及重难点，认真独立完成本节的题目。
一．教学目标:1. 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
重点：函数的概念；难点：对抽象符号()x f 的理解。
二．自学引入;1、初中学过函数的概念----你能叙述吗？函数有哪几种表示方法?初中学过哪些具体函数?例如：思考(1)1=y 是函数吗？(2)函数x y =与xx y 2=是同一个函数吗? 现在从集合的对应关系进一步学习函数及其构成。
2、阅读教材15-16页三个函数实例完成填空由实例一可知：对于数集 任一时间t 按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的高度h 和它对应.由实例二可知：对于数集 每一时刻t 按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的臭氧洞面积s 和它对应.由实例三可知：对于数集 每一时刻按照按对应关系 在 数集 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应.以上三个实例有什么不同点 其共同点是：3、从集合的观点叙述函数的概念。
一般地，设A ，B 是__________数集，如果按照__________________________，使对于集合中A __________________，在集合B 中都有________________________，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的 .显然，值域是集合B 的子集.4、概念理解概念巩固(1)1=y 是函数吗？(2)函数x y =与xx y 2=是同一个函数吗? （3）一次函数的定义域 值域反比例的定义域 值域 值域(4)要使函数y ，∴此函数的定义域为________． (5)还要有实际意义；一种练习本的单价为0.6元，买本子的个数x 与应付钱数y 之间的函数关系为________，其中x 的允许取值范围是________． 5、函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就 故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y ＝1与y ＝x x不是相等函数，因为 y ＝3t ＋4与y ＝3x ＋4是相等函数，因为(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．6．阅读教材P17填表.上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，如{x |a ＜x ≤b }＝(a ，b ]，{x |x ≤b }＝(－∞，b ]．（1）实数a ，b 都叫相应区间的 。
高中数学《函数的概念》导学案
第一章 集合与函数概集合 1.2.1 函数的概念一、学习目标1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素；2.会判断给出的两个函数是否是同一函数；3.能正确使用区间表示数集，会求函数定义域、值域及函数相等的判断。
【重点、难点】重点：理解函数的概念，用区间符号正确表示数的集合；难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解，求函数定义域和值域。
二、学习过程【情景创设】初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
【导入新课】问题1：对教科书中第15页的实例(1)，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和h 的范围)解:h(1)= ，h(5)= ， h(10)= ， h(20)= 炮弹飞行时间t 的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系21305h t t =- （*）。
从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。
问题2：对教科书中第15页的实例(2)，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为2000万平方千米？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用图像刻画变量之间的对应关系)。
例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。
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《1.2.1函数的概念》导学案1使用说明“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评.“合作探究”7分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评.“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评.“个人总结”3分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题.能力展示5分钟，教师作出总结性点评.通过本节学习应达到如下目标(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)了解构成函数的要素；(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域学习重、难点学习重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；学习难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；学习过程(一)自主学习：思考？分析、归纳课本上的三个实例，变量之间有什么样的共同点？三个实例又有什么不同之处？1．函数的概念：一般的，我们有：设A，B是，如果按照某种确定的f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作其中叫做自变量，x的取值范围A 叫做，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的.显然，值域是集合B的子集.注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2.构成函数的三要素：，，.函数相等.4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域:5.区间的概念读课本完成下面两个表格.将下列集合用区间表示并在数轴上表示.(二)合作探讨例1．已知函数f(x) =3+x +21+x (1)求函数的定义域；(2)求f (-3)，f (32)；(3)当a >0时，求f (a )，f (a -1)的值.例2.下列函数中哪个与函数y=x 相等？ (1)y =(x)2； (2)y =33x ； (3) y =2x ； (4) y =xx 2(三)巩固练习1. 求下列函数的定义域: (1) f (x )=741+x ； (2) f (x )=x -1+3+x -1 ； (3) f (x )= 2362+-x x ； (4) f (x )=14--x x2.已知函数f (x )=3x 2-5x +2，求f (-2)， f (-a )， f (a +3)， f (a )+ f (3)3. 若函数f (x )= x 2+bx +c ， 且f (1)=0， f (3)=0， 求f (-1) 的值4. 已知函数f (x )=62-+x x ， (1)点(3，14)在f (x )的图象上吗？ (2)当x =4时，求f (x )的值； (3)当f (x ) =2时，求x 的值.(四)个人收获与问题 知识：方法：我的问题：(五)拓展能力1. 已知函数f(x)的定义域[-2，4]，求函数f(2x-3)的定义域.2. 已知函数f(x-4)的定义域[2，4]，函数f(x)的定义域.赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ． Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．)图(1)图(2)天)图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩B A D MF形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15，B 图(1)图(2)l4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
人教新课标版数学高一必修1导学案 函数的概念教师版
1.2.1函数的概念教学目标1.理解函数的概念；2.了解构成函数的三要素；3.正确使用函数、区间符号．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1．2.1 函数的概念》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己的了解。
通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1．函数的概念：设A，B是________的________集，如果按照某种确定的________f，使对于集合________中的________一个数x，在集合________中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作________，x∈A.其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________，值域是集合B的子集．提示：非空数对应关系A任意B唯一确定y＝f(x)自变量定义域函数值值域2.一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，我们就称这两个函数相等．提示：定义域对应关系3.填写下表中不等式、区间和数轴的对应关系：三、合作探究探究点1：函数的概念问题1初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？提示：因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．问题2用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；(2)；(3)；(4)；(5).提示：(1)不是，因为集合A不是数集．(2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(4)不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．(5)不是．x＝3没有相应的y与之对应．例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.提示： (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．名师点评：判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；(3)A 中任何一个元素在B 中必须有唯一一个元素与其对应．例2 (1)已知函数f (x )＝2x ＋1，求f (0)和f [f (0)]；(2)求函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数的定义域，值域；(3)若f (x )、g (x )对应关系分别由下表给定，求f [g (x )]的值域.提示： (1)f (0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f (1)＝2×1＋1＝3.(2)x 为有理数或无理数，故定义域为R .只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}． (3)f [g (x )]中的x ＝1,2,3.由表知g (1)＝1，g (2)＝2，g (3)＝1，∴f [g (1)]＝f (1)＝3，f [g (2)]＝f (2)＝2，f [g (3)]＝f (1)＝3. ∴值域为{2,3}．名师点评：“某种确定的对应关系f ”可以有各种表现形式，可以是传统的一个解析式，可以是分成若干段，每段一个解析式，也可以用表格硬性指定对应关系．探究点2：函数相等例3 下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？ (1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x. 提示： (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相等； (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相等；(3)y ＝x 2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x 不相同，所以不相等；(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相等．名师点评：在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不相等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．四、当堂检测1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列说法中，不正确的是( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 3．下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了 C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 4．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1}D ．{x |0≤x ≤1}5．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个C．若f(a)＝f(b)，则a＝b D．若a＝b，则f(a)＝f(b)提示：1．B 2.B 3.D 4.C 5.C五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x 的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示．六、课例点评本节课环节紧凑，重难点突出，设计合理。
高一数学：函数及其表示(导学案含答案)
第一节 函数及其表示1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[答案] (1)D (2)B 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝()A ．－2B ．2C ．3D ．－3[答案] B考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[答案] D[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________. 解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2.答案：23．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________． 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43 D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝ln xC ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516 B ．3C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( ) A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1,1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 解析：选B 9．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案：(0,1]10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 答案：－211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________． 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
1.1三角函数基本关系式及诱导公式(导学案)
§1.1同角的三角函数关系与诱导公式(导学案)编写人：张涛 校对：高二数学备课组 班级 姓名【高考要求】：同角三角函数的基本关系式【教学目标】：理解同角三角函数的基本关系式：________________,_____________ ,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式（2k απ+,α-,πα±,2πα±）,能运用这些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.【教学重难点】：同角的三角函数关系与诱导公式的应用 【知识复习与自学质疑】 一、 问题1、 同角三角函数的关系式有哪些？sin cos αα±与sin cos αα 有什么关系？2、 填表3、,2k k z πα+∈的各个三角函数值怎么确定？3、 你能记住一些特殊角的三角函数值吗？4、 三角函数的基本定义角α的终边上一点(),P x y 那么其三角函数的基本定义是：二、练习1、已知0sin 110a =，则0cos 20的值为2、已知角α的终边上一点(3,4)(0)P a a a <，则0cos(540)α-的值是3、若1s i n ()3πα+=-，其中α是第二象限角，则c o s (2)πα-= ，tan(7)απ-= ，tan()2πα+=4、若04sin(540)5α+=-，则0cos(270)α-=5、已知8cos 17α=-，则sin α= ，tan α=6、cos t α=，则tan()πα-=【例题精讲】1、已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值2、已知sin()2cos(),k k k Z θπθπ+=-+∈，求： （1）4sin 2cos 5cos 3sin θθθθ-+； （2）2212sin cos 45θθ+3、化简：（1）[][]()sin()cos (1)sin (1)cos()k k k Z k k παπαπαπα---∈+++（2）0000tan(27)tan(49)tan(63)tan(139)αβαβ--+- （3）44661cos sin 1cos sin αααα----【矫正反馈】 1、 已知sin()cos()()sin cos k k A k Z παπααα++=+∈，则A 的值构成的集合是2、 当θ为第二象限角，且1sin()223θπ+=时，cossin22=-3、若[)0,2βπ∈，且sin cos ββ=-，则β的取值范围是3、 若角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边所在直线的方程为430(0)x y x +=>，则2sin (sin cot )cos αααα++= 4、 若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ⋅的值为【迁移应用】5、 已知2sin sin 1θθ+=，则243cos cos 2sin 1θθθ+-+=6、 化简：20202200(1)sin 810tan 765()tan 11252cos 360;a b a b ab ++--22cos (2)(sin tan 2sin cos )sin cos .tan αααααααα++总结反思：通过本节课的学习，我学会了写出算法的一般的原则是:我收获了：我学习中的困难以及不足是：。
人教A版高中数学必修一全册导学案函数的概念
§1.2.1 函数的概念（2）1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.1819复习1：函数的三要素是 、 、 .函数23x y x=与y ＝3x 是不是同一个函数？为何？复习2：用区间表示函数y ＝kx ＋b 、y ＝ax 2＋bx ＋c 、y ＝k x的定义域与值域，其中0k ≠，0a ≠.二、新课导学※ 学习探究探究任务：函数相同的判别讨论：函数y =x 、y 2、y =32x x、y 、y 有何关系？试试：判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x =. ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x = .小结：① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.※ 典型例题例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.（1）23()2x f x x -=-；（2）()f x =；（3）1()2f x x =+-.试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.（1）2()3x f x x -=+-；（2）()f x =.小结：（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.例2求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.变式：求函数(0)ax b y ac cx d+=≠+的值域.小结：求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、拆分法、基本函数法.※ 动手试试练1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .练2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .三、总结提升※ 学习小结1. 定义域的求法及步骤；2. 判断同一个函数的方法；3. 求函数值域的常用方法.※ 知识拓展对于两个函数()y f u =和()u g x =，通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称它为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =. 例如y =y =与21u x =-※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数()1f x =+的定义域是（ ）.A. [3,1]-B. (3,1)-C. RD. ∅2. 函数2132x y x -=+的值域是（ ）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33-∞+∞ C. 11(,)(,)22-∞--+∞ D. R 3. 下列各组函数()()f x g x 与的图象相同的是（ ）A.2(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==+C.0()1,()f x g x x ==D.()||,()x f x x g x x ⎧==⎨-⎩(0)(0)x x ≥<4. 函数f (x ) = +12x-的定义域用区间表示是 . 5. 若2(1)1f x x -=-，则()f x = .1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积y 关于x 的函数的解析式，并写出定义域.2. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.。
【新导学案】高中数学人教版必修一：121《函数的概念》(1)(2).doc
2. 已知 y = f ⑴ =&- 2 , t （ 1） 求 r（ 0） 的值 ; （ 2） 求/ ⑴的定义域； （ 3） 试用 x 表示 y.
A.
-2 B. -1 C. 1
D. 2
4. 函数 y = x 2 ,XG {-2,-1,0,1,2} 的值域是 __________.
2
5. 函数 y =-- 的定义域是 __________________________, 值域是 _______________
( 用区间表示 )
心…丄拓展提升】
关系？三个实例
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集力屮的每一个
定的 y 和它对应，记作： ￡ATB.
x,按照某种对应关系在 数集〃屮都与唯一确
新知：函数定义 . 设儿〃是非空数集，如果按照某种确定的对应关系使对于集合 / 中的任意一个数兀，在集 合 B中都有唯一确定
的数 /（ x） 和它对应，那么称 f ATB 为从集合 A到集合 B的一个函数 （ /unction） ,记作： y = /'（ x）, XG A. 其中， x 叫自变量，无的取值范围力叫作定义域 （ domain） ,与兀的值对应的 y 值叫函数值，函数 值的集合
(2) { 无| 兀 vO 弧>1}= __________.
(3) 函数 y=旅的定义域 _____________,
值域是 ___________ .( 观察法 ) 探典型例题
例 1 已知函数 f ( X ) = Vx + 1 . (1) 求于⑶的值 ; (2) 求函数的定义域 ( 用区间表示 ) ； (3) 求 f(a 2-}) 的值 .
对数函数导学案(全章)
对数函数导学案(全章)导学目标本章主要介绍对数函数及其性质，通过研究，你将了解以下内容：- 对数函数的定义与表示方法；- 对数函数的性质及其与指数函数之间的关系；- 对数函数在实际问题中的应用。
1. 对数函数的定义与表示方法1.1 对数函数的定义对数函数是一种能够描述指数运算逆运算的数学函数。
设正数a > 0 且a ≠ 1，b > 0，则以 a 为底 b 的对数，记作logₐb，定义为满足a^logₐb = b 的实数。
1.2 对数函数的表示方法对数函数可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种：- 指数形式：logₐb = x，表示以 a 为底 b 的对数为 x；- 运算形式：logₐb = logc b / logc a，表示以 a 为底 b 的对数，等于以任意正数 c 为底 b 的对数与以 c 为底 a 的对数的商。
2. 对数函数的性质与关系2.1 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- logₐa = 1；- logₐa^x = x，其中 a > 0，a ≠ 1；- logₐ1 = 0，其中 a > 0，a ≠ 1；- log₁₀10 = 1，log₂2 = 1。
2.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系：- 若 a^x = b，则logₐb = x；- 若logₐb = x，则 a^x = b。
3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 在经济学中，对数函数可以用来描述利率、复利和指数增长等问题；- 在物理学中，对数函数可以用来描述声音的音量、地震的震级等问题；- 在计算机科学中，对数函数可以用来描述算法的时间复杂度等问题。
总结本章主要介绍了对数函数的定义与表示方法，对数函数的性质与指数函数的关系，以及对数函数在实际问题中的应用。
通过研究，你可以更好地理解并运用对数函数解决相关的数学问题。
参考资料:- 张宇老师. (2021). 《高中数学》. 北京师范大学出版社.。
高中数学人教版必修1(教案与导学案)1.2.1-1函数概念
1.2.1函数的概念【教学目标】1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型2、学习用集合语言刻画函数3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。
4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
【教学重难点】教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念教学难点：函数的概念及符号y=f(x)的理解【教学过程】(一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；(二)、教学过程一、情境引入：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。
加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。
而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
二、合作交流1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
3．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：（1） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2） 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．（3） 函数是非空数集到非空数集的对应关系。
函数概念(导学案)
§2.1函数概念学习目标：（1）理解函数的概念；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；学习重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；学习难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；预习案1、函数的概念前提：A、B是_______的________。
对应：A中_______一个数x−−→−对应)(________B xf的数中有。
结论：BAf→:称为_________________的一个函数，记作____________.（2 ）函数的定义域与值域函数y=f(x)中x叫自变量，________________叫函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做___________，函数值的集合_____________叫做函数的值域。
显然，值域是集合B的_________.2 、函数的三要素：（1）函数的三要素是函数的________ 、________ 、_________.（2）函数相等：由于函数的值域是由_________ 和_________确定的，所以如果两个函数的_________相同，并且__________完全一致，就称这两个函数相等。
问题思考：什么样的对应可以构成函数？f(x)与f(a)的含义有何不同？知识点（二）区间与无穷的概念参考课本第17页自己学习有关区间的定义及表示；无穷的概念及区间表示。
注意：区间的书写。
独立自测1、下列对应关系是否为A到B的函数。
（1）{}xyxfxxBRA=→≥==:,0,（2）RBRA==,，xyxf1:=→（3）{}xyxfBRA=→==:,2,（4）[]{}1:,1,2,2=→=-=yxfBA2、判断下列各组函数是否是相等函数；（1）2)(xxf=，33)(xxg=；（2）,)()(2xxf=2)(xxg=；（3）12)(2--=xxxf，12)(2--=tttg；3、用区间表示下列集合：（1）{}___________53|=<<-xx（2）{}___________53|=≤≤-xx（3）{}___________53|=≤<-xx（4）{}___________53|=<≤-xx（5）{}___________5|=<xx（6）{}___________5|=≥xx4、求下列函数的定义域（1）()x x x y --++=1222； （2）()x x y -+=210探究案1、已知)(x f 的定义域为[]3,1-，求)(),1(2x f x f +的定义域2已知)1(+=x f y 的定义域为[]2,1，求)3(),(-x f x f 的定义域例2、函数值及值域问题已知(),221)(R x x x x f ∈-≠+=且)(1)(2R x x x g ∈+=（1）求)2(f ，)1(g 的值；（2）求))2((g f 的值；（3）求)(x f ，)(x g 的值域。
高中数学必修一函数1导学案
第二章 函数第一节 函数定义及三要素考察Step1:基础知识巩固 1.函数定义:设集合A 是一个 ，对A 中的 ，按照 ，都有 ，则这种 叫做集合A 上的一个函数。
记作：.),(A x x f y ∈=.其中 叫做自变量，自变量的取值范围（集合A ）叫做函数的 。
函数值的取值范围叫做函数的 。
2、函数的三要素是 、 和 ；其中起决定因素的是 和 ，当且仅当二者均相同时，两个函数才表示同一函数。
3.（1）具体函数认为定义域是使函数解析式 或使实际问题有意义的x 的取值范围。
求函数 定义域的主要依据是：（1）分式 。
（2）偶次方根的被开方数 。
（2）抽象函数的定义域是式子中x 的 。
（3）如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本初等函数定义域的 ，结果用 或 表示。
6.表示函数的方法常用的有 、 、 三种。
7.求函数值域常用方法： 。
Step2:实战演练题型一：函数定义高考真题 一函数定义题目1.（2011广东文10）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数))((x g f ο和))((x g f •； 对任意))(())((,x g f x g f R x =∈ο；))((x g f •=)()(x g x f ．则下列等式恒成立的是（ ） A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=•οο B ．()()()()()())(x h g h f x h g f οοο•=•C ．()()()()()())(x h g h f x h g f οοοοο=D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f •••=••2.（2011四川理16）函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(,12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：其中的真命题是_______．（写出所有真命题的编号）①函数R x x x f ∈=,)(2是单函数； ②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠；③若B A f →:为单函数，则对于任意B b ∈，它至多有一个原象；④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是单函数．3.（2010陕西文数）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝][x （][x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）（A y ＝[10x ] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[510x +] 4．(2000天津)设集合A 和B 都是坐标平面上的点集},|),{(R y R x y x ∈∈, 映射B A f →:把集合A 中的元素),(y x 映射成集合B 中的元素),(y x y x -+,则在映射f 下,象()1,2(的原象是( )A.(3,1)B.(21,23)C.( 21,23-) D.(1,3) 5．(2006陕西)为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密).接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++. 例如明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,76．(2006广东)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d ），规定：(a,b)=(c,d)当且仅a=c,b=d ；运算“⊗”为：(a ，b)⊗(c ，d)=(ac-bd ，bc+ad)；运算“⊕”为：(a ，b)⊕(c ，d)=(a+c ，b+d).设p 、q ∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)=( )A.(4,0)B.(2, 0)C.(0,2)D.(0,-4)7．(2006浙江)已知函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)()]([x f x f f =,则这样的函数个数共( )A ．1个B ．2个C ．8个D ．10个题型二：函数定义域高考真题一 具体函数定义域1（2011广东文4）函数)1lg(11)(++-=x xx f 的定义域是 （ ） A ．)1,(--∞ B ．),1(+∞ C ．),1()1,1(+∞⋃- D ．),(+∞-∞2.（2011安徽文13）函数261x x y --=的定义域是 .3.（2011江西文3）若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 的定义域为( )A )0,21(- B.),21(+∞- C.),0()0,21(+∞⋃- D.)2,21(- 4.（2010湖北文数）.函数0.51log (43)y x =-的定义域为（ ） A ( 34,1) B(34,∞) C （1，+∞） D. ( 34,1)∪（1，+∞） 5.（2009江西卷理）函数2ln(1)34x y x x +=--+的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-6.（湖南卷14）已知函数3()(1).1ax f x a a -=≠-若0>a ,则()f x 的定义域是 。
函数的概念导学案
函数的概念导学案(总3页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念导学案【使用说明与学法指导】预习教材第44、45页，对比初中所学的函数概念，找出本节新学到函数概念的相同与不同之处，并对新学到的定义与规定仔细分析，并且熟记与掌握。
【学习目标】1、理解函数的概念；2、理解函数的定义域和值域。
3、理解函数的两个要素。
4、了解表示函数的一些记号。
预习案一、知识回顾初中阶段，我们学到的函数概念：_____________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________。
二、函数概念1、学习了集合的定义之后，对函数做出了如下定义：_____________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________。
高中数学 1.2.1函数的概念导学案 北师大版必修1
高中数学北师大版必修一导学案：1.2.1函数的概念【教学目标】：◆1、通过实例，了解函数的概念．◆2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．．◆3、理解函数值的概念．◆4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．〖教学重点与难点◆教学重点：函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．◆教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点【使用说明与学法指导】1.结合问题导学，用红笔画出疑惑点，独立完成探究题，并归纳总结；2.满腔热情投入到学习中；3.带★的为选作题。
二、合作、探究、展示（1）函数的概念一般地，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值，那么就说是的函数，叫做自变量．①当其中一个变量确定一个值，另一个变量也相应有一个确定的值．②函数的本质是一种对应关系--映射，由于用映射来定义函数，对初中生来说是难以接受的，所以课本对函数概念采取了比较直观的描述．这种直观的描述也和传统教材有所区别：描述中改变了过去那种"y都有唯一确定的值和它对应"的说法，即避开"对应"的意义．③实际问题中的自变量往往受到条件的约束，它必须满足①代数式有意义；②符合实际．（2）思考：y=f(x)什么意思？f(x)和f(A)有什么区别和联系？（3）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．三、当堂检测1．下列四组中f(x)，g(x)表示相等函数的是( )A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2 B．f(x)＝x，g(x)＝3x3C．f(x)＝1，g(x)＝xx D．f(x)＝x，g(x)＝|x|2．下列函数中，定义域不是R的是( )A．y＝kx＋b B．y＝kx＋1C．y＝x2－c D．y＝1x2＋x＋13．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{1,2,3}，则f(x)的值域为________．下列各题的备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案的代码填入题后括号内4．对于函数，下列说法中正确的个数为：①y是x的函数；②对于不同的ｘ，ｙ的值也不同；③表示当时函数的值，是一个常量④一定可以用一个具体的式子表示出来。
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19.1.1函数的概念
一、学习目标.
1.理解函数的概念，明白函数实质上是刻画变化过程中两个变量之间的对应关系，当一个变量取一个确定的值，另一个变量有唯一确定的值与其相对应。
2.知道什么是自变量，什么是函数值，明白函数值随自变量的变化而变化的关系，给了自变量的值，根据函数解析式会求函数值。
3.理解函数的三种表达方式：解析式法、图像法、列表法。
二、重点难点:
重点：函数概念的形成与理解。
难道：函数概念的本质——对应关系的理解。
三、学情分析：
函数是数学最重要的基本概念之一，它刻画了现实生活中量与量之间的“特殊对应关系”。
通过第一节课的学习，学生已经明白变量与常量的意义，对变化过程中量与量相互依存和变化的关系，已经有所体会。
学生对于两个变量之间的对应关系，特别一个变量随另一个变量变化而变化的规律，认识还不够清晰，而这又是形成函数概念的关键。
因此，本节课要注意以下几点：
1.课前要再次呈现上节课研究的4个变化过程的问题，引导学生建立量与量之间变化规律的关系式。
让学生多计算，多思考，体会一个量变化时，另一个变量有唯一确定的值与其相对应。
2在理解函数的表格法和图像法时，引导学生细心观察图像和表格，弄清问题中x和y的含义，用变化的观点分析x和y的对应关系。
3.在概念形成过程中，鼓励孩子大胆给概念下定义，为学生更好地理解函数的概念奠定思维的基础。
在解读函数的概念时，要给学生充足的时间思考、总结，使其真正理解函数中，当x 取一个有意义的值时，y的唯一确定性。
4.运用具体实例，建立函数模型，进一步帮助学生理解函数的概念。
四、教学过程.
活动一、创设情境.（上节课4个问题的回顾探讨）
活动二、再设情境.（书上73页两个思考问题探讨）
活动三、形成概念.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值
与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
问题1：在这个定义中，前提条件是什么？对应关系是什么？如何理解“x的每一个确定的值”中的“确定”？
x的取值有限制范围吗？
问题2：如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这句话？请举例说明.
问题3：函数值由谁来确定？怎样求函数值？
问题4：函数有几种表达方法？
活动四：辨析概念.
问题2：下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
问题3：变量x与y的对应关系如下表所示：
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？
问题4：下列曲线中，表示y不是x的函数是（），怎样改动这条曲线，才能使y是x的函数？
活动五：运用概念.
例1：汽车油箱有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均油耗为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
活动六：课堂小结与作业布置
课后作业：升华概念.
珠海市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费10元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收2.4元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值。
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？。