机械结构有限元分析-平面问题的三角形单元分析

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制作：南昌航空大学————贺红林，2014
受压带孔平板
在限元分析网络
02ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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有限元求解思路：把Ω 域 划分为有限个小单元，各单元通过 结点相联；以结点位移作为基本未知量，单元内的位移函数通 过结点值插值得到。这样，就把无限自由度的连续体变为有限 个单元的组合体，从而将无限自由度问题转变为有限个结点的 有限自由度问题。 二、结构离散化——将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元， 并使这些单元仅在节点处连结起来，构成所谓离散化结构
3.1 结构的离散化 3.2 常应变三角形单元分析 3.3 单元刚度矩阵计算实例 3.4 外力等效移置到节点
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2.1 结构离散化
一、有限元法求解思路
按位移求解弹性力学平面问题，就是以位移作为未知量，在 平面域Ω上求解位移函数u(x,y)

可将u(x,y)想像成一个待求曲面，由于Ω上有无穷多个点，故 待求u(x,y)曲面具有无穷多个自由度。
由此, 单元结点位移矢量可记为
ui vi u j N 0 N 0 N 0 u i j m e e ue N v 0 Ni 0 N j 0 N m v j um e v m
ui a1 a2 xi a3 yi ui 1 xi u j a1 a2 x j a3 y j u j 1 x j u 1 x u a a x a y m m 1 2 m 3 m m
yi a1 y j a2 ym a3
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三、用结点位移表示单元应变-几何矩阵Be 由平面逼近曲面思想，设单元内任一点的位移为坐标x,y的线性 函数，即：
u a1 a2 x a3 y
v a5 a6 x a6 y
将单元结点i,j,m位移代入上式，可得
ui a1 a2 xi a3 yi ui 1 xi u j a1 a2 x j a3 y j u j 1 x j u 1 x u a a x a y m m 1 2 m 3 m m
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ui 1 xi u j 1 x j u m 1 xm
yi a1 a1 a C a yj 2 2 ym a3 a3

根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角 正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三 （四）条边长尽量不要悬殊太大。

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四、节点的编号
应尽量使同一单元的节点编号相差小些，以减少整体刚 度矩阵的半带宽，节约计算机存储。
上图，节点顺短边编号为好。
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机械结构有限元分析
平面问题的三角形单元（一）单 元分析
主讲老师：贺红林 联系电话：13970884866 Email: Hehonglin1967@163.com
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第2章 平面问题的三角形单元（一） 单元分析
2.2 常应变三角形单元分析
二、单元结点位移及结点力表示
结点i的位移
i ui vi
e
T
结点力 Fi Fix
T
Fiy
T
单元结点位移列阵 单元结点力列阵
i j m ui vi u j v j um vm
F Fi F j Fm Fix Fiy Fjx Fjy Fmx Fmy
ai bi x ci y N i ( x, y ) 2A
i , j, m
Nj为j点的形函数 Nm为m点的形函数
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同样,根据3个结点y向位移，不难能得到单元内任一点的y向 位移表示形式
v N i vi N j v j N m vm
vm
um
Fmy
Fmx
T
e
T
T
vj
Fjy
vi
ui
uj
Fiy
Fjx
Fix
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三、位移模式
由平面逼近曲面思想，设单元内任一点的位移为坐标x,y的 线性函数，即：
u a1 a2 x a3 y v a5 a6 x a6 y
将单元结点i,j,m位移代入上式，得
xy
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N i ( x, y ) ci i , j, m y 2A 易得， ui v i bi 0 b j 0 bm 0 u j 1 e 0 ci 0 c j 0 cm vj 2A ci bi c j b j bm bm um vm bi 0 i 1 e e e e e Bi 0 c i . j , m Bi B j Bm j B e e i 2A ci bi m

Ni ( xi , yi ) x j ym xm y j y j ym xi xm x j yi 1
N i ( x, y ) N j ( x, y ) N m ( x, y ) 1
（2）在单元内任一点，三个形函数之和等于1，即
（3）三角形单元任一边上的形函数与该边所对的结点无关。
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2.2 常应变三角形单元分析
一、单元分析的步骤
节点位移 位移模式 内部各点 位移 单元分析 分为四步求出相邻各量之间的转换关系,综合起来,得 出由节点位移求节点力的转换关系
→
应变
→
应力
→
节点力
F k k
e
e
e
e
单元刚度矩阵
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由于
N i ( x, y ) bi x 2A


几何矩阵
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五、用结点位移表示单元应力-应力矩阵Se
D DB S
e
e
e
e
e
e
Se------应力矩阵
ι e e e e e e e e e D DB S Si S j S j j m ci bi b E c 1 i i i Sie = DBie , j, m 2 2 A(1 1 ) 1 1 ci bi 2 2

单元选定后，网络划分单元数越多，结点数越多，计算精度 越高，但计算量也比较大。

在边界曲折，应力集中处单元尺寸要小一些，在同一问题中， 最大最小单元尺寸倍数不宜过大。

集中力的作用点及分布力突变点最好选为结点。
厚度变化和物性变化也应在单元划分中体现出来——不要把 不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。
0 u e v Lu y x
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N j ( x, y ) N j ( x, y ) u N i ( x, y ) x ui uj um x x x x N j ( x, y ) N j ( x, y ) v N i ( x, y ) y vi vj vm y x x x N j ( x, y ) N j ( x, y ) u v N i ( x, y ) vi uj um y x y x x N j ( x, y ) N j ( x, y ) N i ( x, y ) vi vj vm x x x
yi a1 y j a2 ym a3
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四、用结点位移表示单元应变-几何矩阵Be
u x x x v y 0 y xy u v y x y
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形函数Ni（x, y）反映了i 结点位移，对单元内任意点位移 的贡献率。 形函数Ni的性质 （1）形函数Ni（x, y）在 i 结点的值为1, 在其余结点值为0，即
如：
1 k i Ni ( xk , yk ) 0 k i

i , j, m
其中
ai
xi xm
xi ym xm y j
bi
1 yj 1 yj
y j ym
ci
1 xj 1 xj
x j xm
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ai a1 1 a2 bi 2A ci a3


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六、单元刚度矩阵
F Fi F j Fm Fix Fiy F jx Fjy Fmx Fmy
e T T

*e

* ι
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单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保证精 度的前提下，尽可能减少单元数量。

单元形状和尺寸可根据要求进行调整。 对重要或应力变化急 剧的部位，单元应划得小些；对次要和应力变化缓慢部位，单 元可划分得大些；中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡。
ai 1 1 bi 而 C 2A ci
aj bj cj
yj yj
am bm cm
i , j , m
ui a1 1 a2 C u j u a3 m

建立坐标系 单元编号
选择单元类型 结点编号
划分网络 将荷表示在结点上
将位移约束表示在结点
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典型的平面单元类型
ANSYS的典型单元
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三、离散化应注意的问题
对同一问题，采用不同的单元会得到不同的精度。一般而 言，比较复杂的单元精度比较高。
aj bj cj
am ui bm u j i , j, m u cm m
ai a j am ui a1 1 1 x y b b b u 因 u a1 a2 x a3 y 1 x y a i j m j 2 2A ci c j cm u a3 m ui u N N N i j m u j N i ui N j u j N m u m u m Ni为i点的形函数