2016年全国高中数学联合竞赛试题(卷)与解答(B卷).doc

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2016 年全国高中数学联赛（B卷）一试

一、选择题：（每小题8 分，共64 分）

1. 等比数列a n 的各项均为正数，且 a1a3 a2a6 2a3 2 36, 则a2 a4的值为．

2. 设 A a | 1 a 2 ，则平面点集 B x, y | x, y A,x y 0 的面积为．

3. 已知复数z 满足z2 2z z z （ z 表示z的共轭复数），则z的所有可能值的积为．

4. 已知 f x , g x 均为定义在R 上的函数， f x 的图像关于直线x 1对称，g x 的图像关于点1, 2 中心对称，且 f x g x 9x x3 1 ，则 f 2 g 2 的值为．

5.将红、黄、蓝 3 个球随机放入 5 个不同的盒子A, B,C, D,E中，恰有两个球放在同一

盒子的概率为．

6. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C1: x2 y2 a 0 关于直线 l 对称的圆为C2 : x2 y2 2x 2ay 3 0, 则直线 l 的方程为．

7.已知正四棱锥 V - ABCD 的高等于 AB 长度的一半， M 是侧棱 VB 的中点， N 是侧棱VD 上点，满足 DN 2VN ，则异面直线AM , BN 所成角的余弦值为．

8. 设正整数 n 满足n 2016，且n n n n

．这样的 n 的个数2 4 6

3

12

为．这里 x x x ，其中x 表示不超过 x 的最大整数．

二、解答题：（共 3 小题，共 56 分）

9. （ 16 分）已知a n 是各项均为正数的等比数列，且a50 , a51是方程 100lg 2 x lg 100x 的两个不同的解，求a1 a2 L a100的值．

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10. （ 20 分）在

uuur uuur uuur uuur uuur uuur ABC 中，已知AB AC 2BA BC 3CA CB.

（ 1）将BC,CA, AB的长分别记为a,b,c ，证明：a2 2b2 3c2；

（ 2）求cosC的最小值．

11. （ 20 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为x2 y2 1 ．求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点a,0 任意作两条互相垂直的直线l 1与 l2，若 l1与双曲线C交于 P, Q 两点， l 2与C交于R,S两点，则总有 PQ RS 成立．

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加试

一、（ 40 分）非负实数x1 , x2 ,L , x2016和实数 y1 , y2 , L , y2016满足：（ 1）x k 2 y k 2 1,k 1,2,L ,2016 ；

（ 2） y1 y2 L y2016是奇数．

求 x1 x2 L x

2016 的最小值．

二、（40 分）设n,k是正整数，且 n 是奇数．已知2n的不超过k的正约数的个数为奇数，证明： 2n 有一个约数 d ，满足 k d 2k.

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三、（ 50 分）如图所示，ABCD是平行四边形，G是ABD 的重心，点P,Q在直线 BD 上，使得 GP PC, GQ QC. 证明：AG平分 PAQ.

P

C

D

G

A B

Q

四、（50 分）设A是任意一个11 元实数集合．令集合B uv |u ,v A, u v . 求B的元素个数的最小值．

2016 年全国高中数学联赛（

B 卷）试题及答案

一试

一、选择题：（每小题 8 分，共 64 分）

1. 等比数列 a n 的各项均为正数，且 a 1a 3 a 2a 6 2a 3 2 36, 则 a 2 a 4 的值为

．

答案： 6．

解：由于 36

a 1a 3 a 2 a 6 2a 3 2 a 2

2

a 4 2

2a 2 a 4 a 2 2

, 且 a 2 a 4 0, 故 a 2 a 4 6.

a 4 另解：设等比数列的公比为 q ，则 a 2

a 6

a 1q a 1q 5 .又因

36 a a a a 2 a 2

a a q 2 a q a q 5

2 a q 2 2

1

3 2 6 3

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2 a 1 q a 1 q 3

a 1q 3

a 1 q a 1q 3

a 2 a 4

a 1q

,

而 a 2 a 4 0 ，从而 a 2

a 4

6.

2. 设 A

a | 1 a

2 ，则平面点集 B x, y | x, y A,x y 0 的面积为 ．

答案： 7．

解：点集 B 如图中阴影部分所示，其面积为

S

正方形 MNPQ

S

MRS

3 3

1 2 2 7.

2

3. 已知复数 z 满足 z 2 2z z z （ z 表示 z 的共轭复数） ，则 z 的所有可能值的积 为 ．

答案： 3．

解：设 z a bi a,b R .由 z

2

2z z 知，

a 2

b 2 2abi 2a 2bi a bi,

比较虚、实部得 a 2 b 2

a 0,2 a

b 3b 0. 又由 z

z 知 b 0 ，从而有

2a 3

0, 即 a

3

，进而 b

a 2 a

3 .

2

2

于是，满足条件的复数 z 的积为

3 3 i 3 3 3.

2

2 2

i

2

4. 已知 f x , g x 均为定义在 R 上的函数， f x

的图像关于直线 x 1对称， g x

的