小学奥数几何五大模型短期班第一讲教师版讲义

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【解析】 A
4 2
B
C
将正六角星等分为 12 个相同的等边三角形，其中三角形 ABC 由 9 个组成，占总体 的 9 3．
12 4 A
4 D
11
B
13
E 2C
根据鸟头模型，
SBDE

1113 15 15
SABC

143 225
3 4

S总
=
143 300
S总
，
S阴影

SABC
C
G Q
F
P
O
H
K
G Q
F
P
O
H
K
A
B
E
A
B
E
【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线， 连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化． 如右图所示，连接 FK 、GE 、 BD ，则 BD / /GE / /FK ，根据几何五大模型中的面 积比例模型，可得 SDGE SBGE ， SKGE SFGE ，所以阴影部分的面积就等于正方 形 GFEB 的面积，即为102 100 平方厘米．
1.已知正方形 ABCD 边长为10，正方形 BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．
A
D
A
D
F G
F G
J
I
J
I
B
ECH
B
E
C
H
【解析】如果注意到 DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么 容易想到 DF 与 CI 是平行的．所以可以连接 CI 、 CF ，如上图． 由于 DF 与 CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等．而 DFC 的面积为 10 4 1 20 ，所以 DFI 的面积也为 20． 2
3
3
的面积为 1 平方厘米，求△ABC 的面积．
A
E
F
G
B
D
C
【解析】连接 E、C 两点．
由 FG=GC， SEFC : SEFG FC : FG 2 :1,
所以，SEFC

2SEFG

2 (平方厘米),又由 EF

1 3
EB
,则，SEBC
3SEFC

6 (平
方厘米),则根据
2.如图，在长方形 ABCD 中， AB 6 厘米， AD 2 厘米， AE EF FB ，求阴影部分的面 积．
A
E
F
B
O
D
C
A
E
F
B
O
D
C
【解析】方法一：如图，连接 DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形 AED 的面积为 2 6 3 2 2 平方厘米．
2. 如 图 ， 长 方 形 ABCD 中 ， AB 67 ， BC 30 ． E 、 F 分 别 是 A B、 B C边 上 的 两 点
BE BF 49 ．那么，三角形 DEF 面积的最小值是_______．
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D
C
D
M
C
F
N
F O
A
E
B
A
E
B
【解析】由于长方形 ABCD 的面积是一定的，要使三角形 DEF 面积最小，就必须使 ADE 、 BEF 、 CDF 的面积之和最大． 由于 ADE 、 BEF 、 CDF 都是直角三角形，可以分别过 E 、 F 作 AD 、 CD 的 平行线，可构成三个矩形 ADME 、 CDNF 和 BEOF ，如图所示． 容易知道这三个矩形的面积之和等于 ADE 、 BEF 、 CDF 的面积之和的 2 倍， 而这三个矩形的面积之和又等于长方形 ABCD的面积加上长方形 MDNO的面 积．所以为使 ADE 、 BEF 、 CDF 的面积之和最大，只需使长方形 MDNO 的 面积最大．
4
G
4EDCE来自DC【解析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没
关系．连接 AD (见右上图)，可以看出，三角形 ABD 与三角形 ACD 的底都等于小 正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形 AGD 是三
角形 ABD 与三角形 ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质， 剩下的两个部分，即三角形 ABG 与三角形 GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求

143 300
S总

3 4

S总

143 300
S总

41 150
S总
．
作业：
41 1 107 S较小 150 S总+12 S总= 300 S总
1、如图，有三个正方形的顶点 D 、G 、 K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长
为 10 厘米，求阴影部分的面积．
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D
C
D
蝶定理， S△OED 3 份， S梯形EFCD (1 3)2 16 份， S△ADE S△BCF 1 3 4 份，因
此 S长方形ABCD 4 16 4 24 份， S阴影 4 3 7 份，而 S长方形ABCD 6 2 12 平方厘
O
A
D
B
【解析】连接 DE
SBDFE SABE , SBDFE SBDOE SABE SBDOE , SAOD SEFO ． 所以 SAOD SEOD SEFO SEOD 即 SADE SEFD ． 三角形 ADE 和三角形 FED 面积相同，说明 2 个三角形同底等高，即 AC 平行 DE．
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个等边三角形．根据一半模型，阴影部分面积等于空白部分的面积，则阴影部分的 面积是 2011 2 1005.5 ．则乙、丙两个三角形的面积和是1005.5 286 719.5 ．
A
E F
B
D
C
二、等积变形
A
B
O
D
C
SACD SBCD AB || CD SDAB SCAB
AE

1 3
AD ,得 SABC

3 2
SEBC

36 2

9 (平方厘米)
拓展：如图，在三角形 ABC 中，AD=2，BD=3，四边形 DBEF 的面积等于三角形 ABE 的面 积，若三角形 ABC 的面积为 10，则四边形 DBEF 的面积是多少？
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【解析】
C
E F
AD
B
C
E F
长方形 MDNO 的面积等于其长与宽的积，而其长 DM AE ，宽 DN CF ，由题
知 AE CF AB BC BE BF 67 30 49 48 ，根据”两个数的和一定，
差越小，积越大”，所以当 AE 与 CF 的差为 0，即 AE 与 CF 相等时它们的积最大， 此时长方形 MDNO 的面积也最大，所以此时三角形 DEF 面积最小． 当 AE 与 CF 相等时， AE CF 48 2 24 ，此时三角形 DEF 的面积为：
SAOD SBOC
题型一：构造平行线
例 3：如右图，正方形 ABCD 的面积是 20 ，正三角形 BPC 的面积是 8 ，求阴影 BPD 的面
积．
A
D
P
B
C
A
D
P
O
B
C
【解析】连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO ．如下图所示，
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可得 PO / /DC ，所以 DPO 与 CPO 面积相等(同底等高)，所以有：
由于 EF
: DC
1: 3，根据梯形蝴蝶定理，S
DEO
:S
EFO
3:1 ，所以 S
DEO

3S 4
DEF
，
而
S
DEF

S
ADE
2
平方厘米，所以
S
DEO

32 4
1.5 平方厘米，阴影部分的面积
为 2 1.5 3.5 平方厘米．
方法二：如图，连接 DE ， FC ，由于 EF : DC 1: 3，设 S△OEF 1 份，根据梯形蝴
67 30 67 30 24 24 2 717 ．(也可根据
67 30 1 67 24 30 24 43 6 717 得到三角形 DEF 的面积)
2 三、等积变形
例 5：如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上任一点，AE 1 AD ，EF 1 EB ，FG GC ，△EFG
DO : OF

SDBG
: SBFG

8 68
2
:
66 2

28 : 9
SDBO

28 28
9
SBFD

28 28 9
32

896 cm2 37
．
A
B
E
F
O
D
C
G
五、鸟头模型 例 7：如图，是一个正六角星纸板，其中每条边长为 5．现在沿虚线部分剪开，那么较小的 那部分占到整体面积的几分之几?
所以 CE
: EB

AD : DB

2 : 3 ,所以 SABE

2
3
3

SABC

3 10 5

6．
所以 SBDFE SABE 6 ．
四、蝴蝶模型 例 6：（1）如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，正方形 ABCD 的面积为 48．求阴影 部分面积．
A
B
【解析】连接 AE
SBPO SCPO SBPO SPDO SBPD ，
因为 SBOC

1 4
S ABCD

1 20 4

5 ，所以
SBPD
853．
例 4： 【铺垫】 1）下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积．
A B F
A B F
G
S1

S2

1 2
SABD SBCD

1 2
S ABCD
；
同理 S3

S4

1 2
S ABCD
．于是 S1

S2

S3

S4

SABCD ；
注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形 PQRS ；
因此四块阴影的面积和就等于四边形 PQRS 的面积．
(法 2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．
例 2： 如下图所示，P 是等边三角形 ABC 内一点，PD⊥BC，PF⊥AB，PE⊥AC,三角形 ABC 的面积是 2011.三个阴影三角形中，甲的面积是 286，那么乙、丙两个三角形的面积和是多 少？
A
F
丙 P
E
乙
甲
B
D
C
【解析】 过 P 点做三边的平行线（如下图），可以将等边三角形分割成 3 个平行四边形和 3
F
D
E
C
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A
B
F
D
E
C
根 据 蝴 蝶 模 型 ， 因 为 AB 平 行 CD 且 CE : AB 1: 2 ， 则 有
SCEF : SABF : SAEF : SBFC 12 : 1 2 : 1 2 : 22 1: 2 : 2 : 4 .
则 SABF

4 4 2 SABC
H A
P
ES R
D
G Q
H A
P
ES R
D
G Q
B
F
C
B
F
C
【解析】(法 1)设 SAED S1 ， SBGC S2 ， SABF S3 ， SDHC S4 ．
连接
BD 知
S1

1 2
SABD
， S1

1 2
SABD
，
S1

1 2
SABD
， S2

1 2
SBCD
；
所以
几何五大模型短期班杯赛班第一讲教师版讲义
一、一半模型 1）平行四边形（包括长方形、正方形）中的一半模型：
2）梯形中的一半模型：
中点
3）任意四边形中的一半模型：
中点 中点
中点
特殊一般模型： 1、 等边三角形中的一半模型
中点 中点
中点 中点
中点 中点
中点
2、 正方形中的一半模型
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例 1：如图所示，在四边形 ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别是 ABCD 各边的中点，求阴影 部分与四边形 PQRS 的面积之比．

2 48 2 16 .
3
（2）如图，正方形 ABCD 的面积是 64 平方厘米，正方形 CEFG 的面积是 36 平方厘
米，DF 与 BG 相交于 O．则三角形 DBO 的面积等于多少平方厘米？
A
B
E
F
O
D
C
G
【解析】连接 CF，则有 CF 平行 BD，所以 SFBD SBCD 64 2 32cm2 ． 正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，正方形 CEFG 的边长为 6 厘米．
三角形 ABC 的面积等于求三角形 BCD 的面积，等于 4 4 2 8 ．
2）正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中阴影面积为多
少平方厘米？
A
D
A
D
G
F
G
F
H
H
B 【解析】
CE
B
CE
连接 CF，那么 CF 平行 BD ， 所以，阴影面积 三角形 BDF 的面积 三角形 BCD 的面积 50 (平方厘米)．
米，所以 S阴影 3.5 平方厘米
3. 右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，
阴影部分的面积是
平方厘米．
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A
D
9
A
D
9
21
4
B
E
C
21 O
4
B
E
C