运用均值定理求最值的

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧 著名的平均值不等式,,,,"212121n n n n a a a n

a a a R a a a ≥+++∈+则若 仅当n a a a === 21),2(N n n ∈≥时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1） 注意“正数”。

例1、求函数x x y 4+

=的值域 。

（2）注意“取等”

例2、设+∈R x ，求函数213x

x y +=的最小值。

例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2

222

（3）注意“定值”

例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+。

二、常用处理方法和技巧

（1） 拆项

例5、求函数)0(322>+

=x x x y 的最小值。

（2） 裂项

例6、设1->x ，求函数1

)2)(5(+++=

x x x y 的最小值。

[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号] ]

所以仅当9,1min ==y x 时。

（3） 添项

例7、求函数222163x x y ++

=的最小值。

（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x +的次数和为零，同时取到等号）。

。

例8、若y x y x y x +=+>>则且

,191,0,0.的最小值。

[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘y

x 91+），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子

x

y 的次数和为零，同时取到等号] 。

4、放入根号内

例9、求函数)10(122<<-=x x x y 的最大值。

（把变量都放在同一条件下既根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相同且系数和为零，且取到等号）

例10、已知,20<

（求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）

5、分之变量常数化

例、11设求函数4

332

+=x x y 的最大值。

（分子变量因子次数比分母的大且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解）， 所以仅当

6、取倒数

例12、已知134,

,=+∈+y

x R y x ，求y x 2的最小值。

（已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，故取倒数再如前面一样求解）