沉积层厚度对多层微悬臂梁振动特性的影响分析
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应 变相 同 的理论 。其 取决 于一层 或 多层梁 力学 的 综 合作 用 ，三层梁 结 构 的挠 曲方 程可 以通 过静 态 平 衡方程 推 导 出来 。 实 际应 用 中，梁 的厚度 比振 动过 程 中的弯 曲 变 形要 小得 多 。此 外 ， 因为 假设 厚度 比总 体 曲率 小 ，所 以可 假设所 有层 曲率 半径 近似 等于 结构 总 体 的 曲率半径 【 ４ Ｊ 。
５ ６
机 电技术
２ ０ １ ３ 年４ 月
表 ３ 不同沉积厚度与微梁第一阶 固有频率之间关系
沉积 厚度
／ ｎ ｌ ｎ
ｂ ＝３ ０ ｇ ｍ ，厚度 ｈ ＝２ ｇ ｍ 的微 悬臂梁 来 说 ，当沉
积 层厚度 达 到 ８ ０ ０ ａ ｍ左右时， 固有 频率达 到 了最
固有频 率
中图 分 类 号 ：Ｔ Ｈ１ １ ３ 文 献标 识码 ：Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ４ ８ ０ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ． ０ ５ ４ ． ０ ３
多 层 材 料 微 悬 臂 梁 作 为 最 为 常 见 的 可 动 结 构 ，广泛 应用 于 Ｒ Ｆ 开 关 、谐振器 、传感 器等 ， 在 微 电子 机 械 系 统（ Ｍｉ ｅ ｒ ｏ Ｅ ｌ ｅ ｅ ｔ ｒ ｏ － － Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ，简 称 ＭＥ ＭＳ ） ｑ ｂ ￣ 有不 可替代 的作 用［ ¨ 。
导得 出其振 动方程 ，表达 式 如下 ：
ａ ４ （ Ｏ （ ｘ ， ｔ ）
＿ ｏＺ
．
１ 多层微 悬臂梁理论模型
针 对 多 层 材 料 复 合 微 悬 臂 梁 挠 曲线 特 性 分 析 ，可 以更加 直观和 方便 的得 到其 应力 、应 变 、 位移等 物理 量之 间 的关 系 。如 图 １所 示 ，是 一个 典型 的三 层材料 微 悬臂梁 结 构 ，其 中上下两 层均 是沉积 层 ，而 中间层 是梁 的基 底层 。多层材 料 复 合微 悬臂 梁 的弯 曲分析 是基 于各层 在轴 向弯 曲时
５ ４
机 电技术
２ ０ １ ３ 年４ 月
沉积 层厚度对 多层微悬臂梁振动特性 的影响分析
许 锐 彬
（ 福建农林大学机 电工程学 院，福建 福州 ３ ５ ０ ０ ０ ２ ） 摘 要：针对多层微悬臂梁 中沉积层厚度对 整体 结构 固有频率 的影响 ，运用多层微 悬臂梁 的弯 曲振动方程 ，并结合
边界条件建立起了多层微悬臂梁结构 的有限元模型， 重点分析 了多层微悬臂梁结构的有 限元建模方法及沉积层 厚度对微 梁结构振动特性的影 响。数值计算结果表明，多层材料微梁结构 中沉积层厚度对其固有频率将产生显著的影响，呈现 出 随着厚度的增加固有频率先 降后升的趋势 。 关键词：多层 微悬 臂梁 ； 沉积 厚度 ；有 限元 ；固有频率
ＭＥ ＭＳ系统在 工作 时会 受到 外界静 电力或 其它 各 种 静态 、动态 载荷 的作 用 ，同时 ＭＥ ＭＳ系统在 存 储 、运 输和 使用 的过程 中也将 受到 不 同程 度 的冲 击 和碰 撞 等 【 ２ Ｊ ， 因此对 微 梁结 构进 行 动态特 性 分
析 和研 究是 ＭＥ ＭＳ中重要 的研究 方 向。 在 各种 动 态 载荷 的作 用下 ， 多层复 合微 悬臂 梁 的沉 积层 长
度 和 宽度 与基底 材料 尺寸 一致 ，沉 积层 厚度 的不 同 ，将 直接 影 响微悬 臂梁 的 固有频 率 。而结 构 的
固有频 率是 动态 响应 分析 的基 础 ，而且 也是 计算
悬臂梁 弹性 常数 的基础 。国 内外很 多学者 对微 悬
臂梁 的动 态 特性 做 了大 量 研 究【 ３ ｌ ７ Ｊ 。本 文 以某 型 多层材 料微 悬臂 梁为 研 究对 象 ，推 导 出多层 微悬 臂梁 的弯 曲振动 方程 ，结 合边 界条 件建 立多层 微
影 响及 相 互关 系 。为微机 电系统 ＭＥ ＭＳ 的 可靠 性设计 和质 量控 制提供 参考 。
主要有 两种 方法 ，分别为 ：欧拉 一 伯 努利 梁理论 和
铁木 辛柯梁 理论 。在 此模 型 中并没有 要 求考虑 梁
的旋转 惯性 量和 剪力 变形 ，并且 不 需要考 虑 阻尼 效应［ ］ 。因此 选择根 据 欧拉一 伯努利 梁理 论来 推
图 １ 多层复合微悬臂梁弯 曲模型
悬臂梁 结构 的有 限元 模型 ，研 究多 层微 悬臂梁 结
构有 限元 建模方 法和 影 响结构 振动 特性 的关键 因
用 经典 弹性 力学 理论来 求解 梁 的振动 及响 应
素 ；突 出多层微 梁振 动 中的主 要矛 盾 ，探 究得 出 多层材 料 微梁 结构 中沉积 层 厚度对 其 固有频 率 的
０ ． １ ７ ０ ９ ０ ０ ． １ ６ ４ ７ ２ Ｏ ＿ ｌ ６ ３ ７ ４
０１ ６ ０ ９ ５
悬 臂 梁 的振 动 特 性 不 仅 与其 基 底 材 料 属 性 和 几
何尺 寸有 关 ， 而且 其沉 积 层 的材 料 属 性 和 厚度 均对 结 构 的 固 有 频 率有 显著 影 响 ；分 析 结 果表
４ － 田
０
： ）
（ １ ）
式 中， Ｐ是密度 ； Ｉ 是 惯性 力矩 ； Ｆｆ ｆ １ 是应 力 。
２ 多层微 悬臂梁 固有频率计 算
２ ． １ 多层微悬 臂梁 有限 元模型
以某 型多层 微 悬臂梁 为例 采用 有 限元法 建立
作 者简 介 ：许锐 彬（ １ ９ ８ ８ －） ，男 ，硕士 研究生 ，研 究方 向 ：计算机 辅助 工程 设计 。
／１ ０ Ｈｚ
小值 ，当沉 积层 厚度 继续 增加 时 ，固有频 率值 随
之 提高 。
Ｏ 加 Ｏ ０ ∞ Ｏ 如 Ｏ ∞ Ｏ 鲫 Ｏ Ｏ Ｍ Ⅲ
０ ． １ ７ ７ ４ ５
３ 结 束语
通 过 上 述 研 究 得 出如 下 结 论 ： 多层 材 料 微
应 变相 同 的理论 。其 取决 于一层 或 多层梁 力学 的 综 合作 用 ，三层梁 结 构 的挠 曲方 程可 以通 过静 态 平 衡方程 推 导 出来 。 实 际应 用 中，梁 的厚度 比振 动过 程 中的弯 曲 变 形要 小得 多 。此 外 ， 因为 假设 厚度 比总 体 曲率 小 ，所 以可 假设所 有层 曲率 半径 近似 等于 结构 总 体 的 曲率半径 【 ４ Ｊ 。
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机 电技术
２ ０ １ ３ 年４ 月
表 ３ 不同沉积厚度与微梁第一阶 固有频率之间关系
沉积 厚度
／ ｎ ｌ ｎ
ｂ ＝３ ０ ｇ ｍ ，厚度 ｈ ＝２ ｇ ｍ 的微 悬臂梁 来 说 ，当沉
积 层厚度 达 到 ８ ０ ０ ａ ｍ左右时， 固有 频率达 到 了最
固有频 率
中图 分 类 号 ：Ｔ Ｈ１ １ ３ 文 献标 识码 ：Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ４ ８ ０ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ． ０ ５ ４ ． ０ ３
多 层 材 料 微 悬 臂 梁 作 为 最 为 常 见 的 可 动 结 构 ，广泛 应用 于 Ｒ Ｆ 开 关 、谐振器 、传感 器等 ， 在 微 电子 机 械 系 统（ Ｍｉ ｅ ｒ ｏ Ｅ ｌ ｅ ｅ ｔ ｒ ｏ － － Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ，简 称 ＭＥ ＭＳ ） ｑ ｂ ￣ 有不 可替代 的作 用［ ¨ 。
导得 出其振 动方程 ，表达 式 如下 ：
ａ ４ （ Ｏ （ ｘ ， ｔ ）
＿ ｏＺ
．
１ 多层微 悬臂梁理论模型
针 对 多 层 材 料 复 合 微 悬 臂 梁 挠 曲线 特 性 分 析 ，可 以更加 直观和 方便 的得 到其 应力 、应 变 、 位移等 物理 量之 间 的关 系 。如 图 １所 示 ，是 一个 典型 的三 层材料 微 悬臂梁 结 构 ，其 中上下两 层均 是沉积 层 ，而 中间层 是梁 的基 底层 。多层材 料 复 合微 悬臂 梁 的弯 曲分析 是基 于各层 在轴 向弯 曲时
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机 电技术
２ ０ １ ３ 年４ 月
沉积 层厚度对 多层微悬臂梁振动特性 的影响分析
许 锐 彬
（ 福建农林大学机 电工程学 院，福建 福州 ３ ５ ０ ０ ０ ２ ） 摘 要：针对多层微悬臂梁 中沉积层厚度对 整体 结构 固有频率 的影响 ，运用多层微 悬臂梁 的弯 曲振动方程 ，并结合
边界条件建立起了多层微悬臂梁结构 的有限元模型， 重点分析 了多层微悬臂梁结构的有 限元建模方法及沉积层 厚度对微 梁结构振动特性的影 响。数值计算结果表明，多层材料微梁结构 中沉积层厚度对其固有频率将产生显著的影响，呈现 出 随着厚度的增加固有频率先 降后升的趋势 。 关键词：多层 微悬 臂梁 ； 沉积 厚度 ；有 限元 ；固有频率
ＭＥ ＭＳ系统在 工作 时会 受到 外界静 电力或 其它 各 种 静态 、动态 载荷 的作 用 ，同时 ＭＥ ＭＳ系统在 存 储 、运 输和 使用 的过程 中也将 受到 不 同程 度 的冲 击 和碰 撞 等 【 ２ Ｊ ， 因此对 微 梁结 构进 行 动态特 性 分
析 和研 究是 ＭＥ ＭＳ中重要 的研究 方 向。 在 各种 动 态 载荷 的作 用下 ， 多层复 合微 悬臂 梁 的沉 积层 长
度 和 宽度 与基底 材料 尺寸 一致 ，沉 积层 厚度 的不 同 ，将 直接 影 响微悬 臂梁 的 固有频 率 。而结 构 的
固有频 率是 动态 响应 分析 的基 础 ，而且 也是 计算
悬臂梁 弹性 常数 的基础 。国 内外很 多学者 对微 悬
臂梁 的动 态 特性 做 了大 量 研 究【 ３ ｌ ７ Ｊ 。本 文 以某 型 多层材 料微 悬臂 梁为 研 究对 象 ，推 导 出多层 微悬 臂梁 的弯 曲振动 方程 ，结 合边 界条 件建 立多层 微
影 响及 相 互关 系 。为微机 电系统 ＭＥ ＭＳ 的 可靠 性设计 和质 量控 制提供 参考 。
主要有 两种 方法 ，分别为 ：欧拉 一 伯 努利 梁理论 和
铁木 辛柯梁 理论 。在 此模 型 中并没有 要 求考虑 梁
的旋转 惯性 量和 剪力 变形 ，并且 不 需要考 虑 阻尼 效应［ ］ 。因此 选择根 据 欧拉一 伯努利 梁理 论来 推
图 １ 多层复合微悬臂梁弯 曲模型
悬臂梁 结构 的有 限元 模型 ，研 究多 层微 悬臂梁 结
构有 限元 建模方 法和 影 响结构 振动 特性 的关键 因
用 经典 弹性 力学 理论来 求解 梁 的振动 及响 应
素 ；突 出多层微 梁振 动 中的主 要矛 盾 ，探 究得 出 多层材 料 微梁 结构 中沉积 层 厚度对 其 固有频 率 的
０ ． １ ７ ０ ９ ０ ０ ． １ ６ ４ ７ ２ Ｏ ＿ ｌ ６ ３ ７ ４
０１ ６ ０ ９ ５
悬 臂 梁 的振 动 特 性 不 仅 与其 基 底 材 料 属 性 和 几
何尺 寸有 关 ， 而且 其沉 积 层 的材 料 属 性 和 厚度 均对 结 构 的 固 有 频 率有 显著 影 响 ；分 析 结 果表
４ － 田
０
： ）
（ １ ）
式 中， Ｐ是密度 ； Ｉ 是 惯性 力矩 ； Ｆｆ ｆ １ 是应 力 。
２ 多层微 悬臂梁 固有频率计 算
２ ． １ 多层微悬 臂梁 有限 元模型
以某 型多层 微 悬臂梁 为例 采用 有 限元法 建立
作 者简 介 ：许锐 彬（ １ ９ ８ ８ －） ，男 ，硕士 研究生 ，研 究方 向 ：计算机 辅助 工程 设计 。
／１ ０ Ｈｚ
小值 ，当沉 积层 厚度 继续 增加 时 ，固有频 率值 随
之 提高 。
Ｏ 加 Ｏ ０ ∞ Ｏ 如 Ｏ ∞ Ｏ 鲫 Ｏ Ｏ Ｍ Ⅲ
０ ． １ ７ ７ ４ ５
３ 结 束语
通 过 上 述 研 究 得 出如 下 结 论 ： 多层 材 料 微