比例线段知识点及练习题

第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】

一、比例线段

1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成n

m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果d

c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，

d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或

c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．

二、比例的性质：

(1)比例的基本性质：

bc ad d c b a =⇔= ac b c

b b a =⇔=2 (2)反比性质： c

d a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或a

c b

d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m f

e d c b a ====...且 b

a n f d

b m e

c a n f

d b =++++++++⇒≠++++......0...

比例线段练习 １、判断下列四条线段是否成比例

① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10；

④ a=12，b=8, c=15，d=10

2、已知：ad=bc

（1） 将其改写成比例式；

（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式；

（3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；

（4）若d

b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算.

(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.

(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.

4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?

5、

EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.

6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若

2132=+-y x y x ，求x

y (3) 若

56=+b b a ，求b a ，b b a - (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求x

y 7．将比例式中的x 移到第四比例项，使比例式仍成立。

（1）a:b=x :c （2） x :a=b:c （3） a:x =b:c

8：若

52===f e d c b a ，求f d ab e c a d b c a 43432,-+-+--

练习：已知:4

1:32:51::=z y x , 求z y x z y x 5252+--+的值

9： 若ABC 三边a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为h 1、h 2、h 3，求h 1:h 2:h 3的值。

10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢?比例尺是多少？

12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？

比例线段拓展

1、比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 设a 、b 、c 、d 为线段，如果a:b=c:d ，b 、c 叫比例内项，a 、d 叫比例外项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；如果a:b=b:c ，或b 2=ac ，那么b 叫a 、c 的比例中项。

2、黄金分割 如图，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割, 点C 叫做线段AB 的黄金分割点，215-=AB AC 叫作黄金分割数（简称黄金数或黄金比）

注意：（1）AB AC 618.0≈；

（2）一条线段有两个黄金分割点。

3、平行线分三角形两边成比例

（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图，则有BC

DE AC AE AB AD AC EC AB DB EC AE DB AD ====,, 【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。

（2）三角形的重心

定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点

与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

（3）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（三角形一边平行线的判定定理）

（4）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）：

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

在梯形ACFD 中，AD//CF ，AB=BC ，那么DE=EF

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

在△ACF 中，CFBE//，AB=BC ，那么AE=EF

（5）三角形和梯形的中位线定理

三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边

的一半。 如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，那么BC//DE ，DE=2

1BC

梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。

梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，那么EF//AD//BC ，