统计学-概率
统计学和概率论
统计学和概率论
统计学和概率论是数学领域中的两个重要分支，它们互相关联、相辅相成。
以下是统计学和概率论的主要内容：
统计学：统计学是通过收集、整理、分析和解释数据来推断和预测现象的科学。
统计学的主要内容包括以下几个方面：
数据收集与整理：包括样本的选择、调查问卷设计、数据收集方法和数据清洗等。
描述性统计分析：通过图表、统计指标和描述性统计量来对数据进行总结和描述。
推断统计分析：利用样本数据推断总体特征，包括参数估计、假设检验和置信区间等。
回归分析与预测：建立数学模型来研究变量之间的关系，进行预测和决策分析。
概率论：概率论是研究随机现象及其概率规律的数学分支。
概率论的主要内容包括以下几个方面：
概率基础：包括随机试验、事件、样本空间、概率公理、条件概率和独立性等基本概念。
随机变量与概率分布：定义和性质、离散和连续随机变量、概率密度函数和累积分布函数等。
大数定律与中心极限定理：研究随机变量序列的收敛性质和极限分布。
统计推断中的概率：概率模型的参数估计、假设检验和置信区间的基础理论。
统计学和概率论在现实生活和科学研究中具有广泛的应用，在数据分析、决策制定、风险评估、财务管理、生物医学研究、人工智能等领域发挥重要作用。
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
统计学概率基本概念
目录
Contents
• 概率的定义与性质 • 概率的基本计算 • 概率分布 • 随机变量与期望值 • 大数定律与中心极限定理 • 统计推断与参数估计
01
概率的定义与性质
概率的定义
01
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，通常用
P 表示。
02
概率值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生
性质
随机变量具有可测量性，即可以通过 实验或观测得到其具体数值；同时， 随机变量具有概率性，其取值结果具 有不确定性。
期望值的定义与性质
定义
期望值是随机变量所有可能取值的概率加权和，通常用E表示。
性质
期望值具有线性性质，即对于两个随机变量X和Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)；期望值具有可加性，即对于常 数a和b，有E(aX+b)=aE(X)+b。
06
统计推断与参数估计
参数估计的基本概念
点估计
用单一的数值来估计未知参数的值，如样本均值的计算。
01
区间估计
用一定的置信水平确定的区间来估计未 知参数的范围，如样本均值的95%置信 区间。
02
03
估计量的评价标准
无偏性、有效性和一致性，用于评估 估计量的优劣。
点估计与区间估计
点估计的优缺点
优点是简单直观，缺点是精度不够， 可能存在较大的误差。
，1表示事件一定会发生。
03
概率可以通过长期实验或观测来估计，也可以通过逻
辑推理或主观判断来得出。
概率的性质
概率具有可加性
如果事件A和B是互斥的（即 两者不能同时发生），则P(A 或B) = P(A) + P(B)。
统计学概率名词解释
统计学概率涉及描述和分析随机事件发生的可能性的概率。
以下是一些与统计学概率相关的常见名词解释：
随机事件（Random Event）：在给定条件下具有不确定性的事件，其结果可能是多种可能性之一。
样本空间（Sample Space）：表示一个随机试验的所有可能结果的集合。
事件（Event）：在样本空间中的一个子集，表示我们感兴趣的特定结果或结果的组合。
概率（Probability）：用来描述事件发生的可能性的数值，介于0到1之间。
概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。
频率（Frequency）：指定事件发生的次数。
经验概率（Empirical Probability）：通过观察事件发生的频率来计算概率。
理论概率（Theoretical Probability）：基于概率模型和理论分析计算的概率。
条件概率（Conditional Probability）：在给定其他事件发生的条件下，某一事件发生的概率。
独立事件（Independent Events）：两个事件的发生与另一个事件的发生无关。
如果事件A 和事件B是独立事件，那么事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。
相互排斥事件（Mutually Exclusive Events）：两个事件不能同时发生的事件。
如果事件A发生，那么事件B就不会发生，反之亦然。
这些术语在统计学中常用于描述和计算概率，以帮助我们理解和分析随机事件的性质和可能性。
概率 统计学术语
概率统计学术语
【概率】
1、概率是一种描述不确定性的统计学概念，是对某一事件发生的可能性的度量。
它既可以用动词描述，例如“发生概率”、“可能性”和“不确定性；也可以用名词描述，即“概率”。
2、概率的定义：概率是用来衡量某一事件发生的可能性，是一个介于0到1之间的数值
3、计算概率：概率可以通过统计学方法计算，常见的统计方法有概率论、频率论、贝叶斯定理等
4、概率的应用：概率在实际应用中比较广泛，包括工程分析、金融分析、经济分析、多元统计分析等，常用于估算概率或者指导决策。
5、概率的概念：概率是一种统计学概念，主要用于研究随机事件的发生情况，以及数学实验的推理结果。
概率大小表示不同的发生机率：数值越大，发生的概率越高；数值越小，发生的概率越低。
6、概率的分类：概率可以根据发生机率的来源不同，分为理论概率、统计概率和主观概率；根据发生机率的不确定性不同，可以分为固定
概率和随机概率；根据发生机率的变化不同，可以分为定比例概率和变比例概率。
7、概率的特点：
（1）概率是一个抽象的、数学的概念。
（2）概率的取值范围是介于0和1之间的数值。
（3）概率可以用来衡量某一事件发生的可能性、不确定性以及决策的可信度。
（4）概率可以用来衡量多个事件发生关联性，以及事件发生概率的变化。
概率与统计学公式大全
概率与统计学公式大全概率与统计学是一门关于随机事件发生规律及其数学描述的学科。
在实际问题的分析和决策中，概率与统计学都起着重要的作用。
本文将汇总一些常用的概率与统计学公式，帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、概率公式1. 概率的基本概念：概率是指某个特定事件发生的可能性大小。
用P(A)表示事件A发生的概率，有以下公式：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A包含的基本样本点的个数，N(S)表示全样本空间的基本样本点的个数。
2. 随机变量的概率分布：随机变量是指在某个随机实验中可能取得不同值的变量。
其概率分布可由概率质量函数（离散随机变量）或概率密度函数（连续随机变量）来描述。
离散随机变量的概率质量函数为：P(X = x) = f(x)连续随机变量的概率密度函数为：P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x)dx其中，f(x)表示概率质量函数或概率密度函数。
3. 事件的和与积：对于两个事件A和B，其和与积的概率表示如下：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)其中，P(A ∪ B)表示事件A和B至少其中一个发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
二、统计学公式1. 样本均值和总体均值：样本均值的公式为：X = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁，x₂，...，xn是样本中的个体值，n是样本的大小。
总体均值的公式为：μ = (x₁ + x₂ + ... + xn) / N其中，x₁，x₂，...，xn是总体中的个体值，N是总体的大小。
2. 样本方差和总体方差：样本方差的公式为：s² = ((x₁ - X)² + (x₂ - X)² + ... + (xn - X)²) / (n - 1)其中，x₁，x₂，...，xn是样本中的个体值，X是样本均值，n是样本的大小。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
统计学中的概率分布及其应用
统计学中的概率分布及其应用概率分布是统计学中重要的概念之一，它描述了随机变量可能取得的各个取值的概率。
在统计学中，我们经常需要对数据进行分析和推断，而概率分布则为我们提供了一种数学工具，帮助我们理解和解释数据的分布规律。
一、离散概率分布离散概率分布适用于随机变量只能取有限个或可数个值的情况。
其中最常见的离散概率分布是二项分布和泊松分布。
1. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
例如，抛硬币的结果可以用二项分布来描述。
假设我们抛硬币10次，每次正面朝上的概率为p，那么正面朝上的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用来计算在给定n和p的情况下，正面朝上k次的概率。
2. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或单位面积内事件发生的次数的概率分布。
例如，某地区每天发生的交通事故次数就可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以用来计算在给定平均发生率λ的情况下，发生k次事件的概率。
二、连续概率分布连续概率分布适用于随机变量可以取任意实数值的情况。
其中最常见的连续概率分布是正态分布和指数分布。
1. 正态分布正态分布是统计学中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称分布于均值μ附近。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重等指标的分布通常近似于正态分布。
正态分布的特点是均值和标准差能够完全描述其分布。
2. 指数分布指数分布描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。
例如，某个设备的寿命可以用指数分布来描述。
指数分布的概率密度函数呈指数下降曲线，具有无记忆性，即事件的发生与之前的事件无关。
三、概率分布的应用概率分布在统计学和实际生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 风险分析概率分布可以用于分析和评估风险。
例如，在金融领域，我们可以使用概率分布来计算投资组合的风险和回报。
通过分析不同的概率分布，我们可以量化不同投资策略的风险水平，从而做出更明智的决策。
统计与概率的概念
统计与概率的概念统计与概率是数学中重要的概念与工具，用以描述和分析随机现象。
统计学和概率论是彼此紧密相关的，两者相辅相成，共同构成现代数学的重要分支。
本文将介绍统计与概率的概念及其应用。
一、统计的概念统计是指通过收集、整理和分析数据来研究和描述事物的数量特征和规律。
统计的主要目标是从样本中推断总体的特征，并对未知事物作出科学的预测。
统计方法广泛应用于社会科学、自然科学、医学、经济学等领域。
统计学中的重要概念包括数据的收集和整理，描述统计和推断统计。
数据的收集和整理是统计学的基础，通过收集样本数据来进行分析和推断。
描述统计是对数据的整体特征进行描述和总结，包括均值、中位数、方差等量化指标。
推断统计是从样本数据推断总体特征，并给出估计值和可信区间。
二、概率的概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
概率论研究的对象是随机现象的规律性和不确定性，通过建立数学模型来描述和分析随机事件，并给出事件发生的可能性。
概率的基本概念包括随机事件、样本空间、事件的概率等。
随机事件是在一次试验中可能发生或不发生的事件，例如掷硬币的结果为正面或反面。
样本空间是指所有可能结果组成的集合，例如掷硬币的样本空间为{正, 反}。
事件的概率是描述事件发生可能性的数值，介于0到1之间，事件发生的概率越大，其可能性越高。
三、统计与概率的关系统计学和概率论是两个密切相关的学科，它们在理论和应用上互相依赖。
统计学可以利用概率模型来进行推断和预测，而概率论则是建立在统计学的基础上，研究随机现象的规律性。
统计学中的推断统计依赖于概率模型，通过概率分布来描述样本数据的变异性和误差。
基于概率模型，可以通过统计推断方法对总体的特征进行估计和预测，从而提供科学依据。
概率论的应用广泛涉及到统计学中的推断统计，例如用概率分布来描述随机误差、计算置信区间和假设检验等。
概率论还与风险分析、金融工程、信息论等领域有着重要的联系。
总之，统计与概率是描述和分析随机现象的重要工具，它们密切相关且相互依赖。
概率与统计学中的关键公式整理
概率与统计学中的关键公式整理在概率与统计学中，有许多重要的公式被广泛应用于数据分析、推断和决策过程中。
这些公式能够帮助我们对数据进行有效的统计分析，并从中获取有用的信息。
本文将对概率与统计学中的关键公式进行整理和介绍，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、概率公式1. 条件概率公式条件概率是指在给定某个条件下，事件发生的概率。
条件概率可以使用以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
2. 边际概率公式边际概率是指在多个事件中某一个事件发生的概率。
边际概率可以使用以下公式计算：P(A) = ∑ P(A∩Bi)其中，P(A)表示事件A发生的概率；P(A∩Bi)表示事件A和事件Bi同时发生的概率；∑表示对所有可能的事件Bi求和。
3. 联合概率公式联合概率是指多个事件同时发生的概率。
联合概率可以使用以下公式计算：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
二、统计学公式1. 期望值公式期望值是指随机变量的平均值，可以用来衡量数据的中心趋势。
期望值可以使用以下公式计算：E(X) = ∑ (xi * P(xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值；xi表示随机变量X可能取的值；P(xi)表示随机变量X取值为xi的概率；∑表示对所有可能的取值xi求和。
2. 方差公式方差是衡量数据的离散程度，可以用来评估数据的分散程度。
方差可以使用以下公式计算：Var(X) = E((X-μ)^2)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E表示期望值；X表示随机变量X的取值；μ表示随机变量X的期望值。
统计学和概率学
统计学和概率学统计学和概率学是数学的两个重要分支，它们在现代科学和工程领域中扮演着重要角色。
统计学涉及数据的收集、分析和解释，而概率学则是研究随机事件发生的可能性。
本文将探讨这两个学科的基本概念和应用。
统计学是一种科学的方法来收集、分析和解释数据。
它的目标是通过搜集大量的数据来推断总体的特征。
统计学可以帮助我们了解数据的分布、趋势和关联性。
通过统计学，我们可以从小样本中得出对总体的推断，并对结果的可靠性进行评估。
统计学的一个重要概念是样本和总体。
样本是从总体中抽取的一小部分数据，而总体是我们感兴趣的全部数据。
通过对样本进行分析，我们可以推断总体的特征。
然而，为了使推断结果具有可靠性，样本必须是随机选择的，并且具有代表性。
除了样本和总体，统计学还涉及到描述统计和推断统计。
描述统计是对数据进行总结和描述，例如计算均值、中位数和标准差等。
推断统计是基于样本数据对总体进行推断，例如通过置信区间估计总体均值或比较两个总体的差异。
概率学是研究随机事件发生可能性的学科。
概率是描述事件发生可能性的数字，其范围从0到1。
0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率学可以帮助我们预测随机事件的结果，并进行决策。
概率学涉及到条件概率、独立性和期望值等概念。
条件概率是在给定其他事件已经发生的条件下，某事件发生的可能性。
独立性是指两个事件之间的发生与否不会互相影响。
期望值是对随机变量的平均值进行估计，可以用来评估事件的长期平均结果。
统计学和概率学在许多领域都有广泛的应用。
在医学领域，统计学可以帮助研究人员评估药物的疗效，并进行临床试验的设计和分析。
在经济学领域，统计学可以帮助分析经济数据，并进行经济预测和决策。
在工程领域，统计学可以帮助优化生产过程，并评估产品的质量。
统计学和概率学是数学中两个重要的分支，它们在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。
统计学可以帮助我们理解和解释数据，而概率学则可以帮助我们预测随机事件的结果。
统计学-概率和分布
统计学和概率学
统计学和概率学统计学和概率学是两个紧密相关的学科，它们共同构成了现代科学研究的基础。
统计学是研究数据的收集、分析和解释的科学，而概率学则是研究随机事件发生概率的科学。
这两个学科在许多领域都起着重要的作用，如社会科学、医学、工程学等。
统计学是通过收集和分析数据来推断总体特征的科学。
在统计学中，我们使用样本数据来推断总体的特征。
例如，在调查人口数量时，我们无法对所有人口进行统计，但可以通过抽取样本来推断总体的特征。
统计学的一个重要概念是假设检验，它可以帮助我们确定一个观察结果是否是由于偶然因素引起的。
通过对数据进行假设检验，我们可以得出结论并作出决策。
概率学是研究随机事件发生概率的科学。
概率是描述事件发生可能性的数值。
在概率学中，我们使用概率模型来描述随机事件的发生规律。
常见的概率模型有离散型和连续型。
离散型概率模型适用于描述离散事件的概率，如抛硬币的结果；而连续型概率模型适用于描述连续事件的概率，如测量身高的结果。
概率学的一个重要应用是风险评估，它可以帮助我们评估某个事件发生的可能性，从而做出相应的决策。
统计学和概率学的结合应用广泛。
在医学领域，统计学和概率学被用来研究疾病的发病率和疗效评估。
通过对大量数据的分析，医生可以评估某种疾病的发病概率，并制定相应的治疗方案。
在金融领域，统计学和概率学被用来研究股票价格的波动性和风险管理。
投资者可以通过对历史数据的分析，评估某只股票的风险，并制定相应的投资策略。
除了应用领域外，统计学和概率学也在科学研究中起着重要的作用。
科学实验中的数据收集和分析是统计学的重要应用。
通过对实验数据的分析，科学家可以验证或否定自己的假设，并推断出实验结果的可靠性。
概率学则帮助科学家评估实验结果的可信度，并为进一步研究提供依据。
统计学和概率学是现代科学研究的基础。
它们通过对数据的收集、分析和解释，帮助我们了解世界的规律，并作出相应的决策。
无论是在应用领域还是科学研究中，统计学和概率学都发挥着重要的作用。
统计学概率名词解释
统计学概率名词解释统计学概率是指在统计学中对随机事件发生可能性的测量和刻画。
它是统计学的一个基本概念，被广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、工程技术和商业管理等。
概率论提供了一种量化不确定性和不完备信息的方式，使我们能够对事件发生的可能性进行推测和预测。
在统计学中，概率可以被用来描述随机事件发生的相对频率或可能性。
相对频率概率是通过某个事件在一系列相同试验中出现的次数与试验总次数之比来计算的。
例如，当我们投掷一枚均匀硬币时，正面朝上的相对频率是0.5，即50%。
而可能性概率则是主观估计或推断的结果，基于我们对事件的认知和经验。
例如，根据天气预报，明天下雨的可能性是60%。
相对频率概率和可能性概率都是用来描述事件发生可能性的方法，它们可以相互验证和补充。
在概率论中，还有一些重要的概率概念需要解释。
首先是条件概率，它表示在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的可能性。
条件概率可以用P(B|A)表示，其中A和B是两个事件。
例如，P(下雨|阴天)表示在已知是阴天的情况下，下雨的可能性。
条件概率在统计学中经常用于描述事件间的因果和相关关系。
另一个重要的概念是独立事件。
两个事件A和B被称为独立事件，如果其中一个事件的发生不受另一个事件的影响。
在独立事件的情况下，事件A和事件B同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
例如，如果抛掷两个骰子，得到点数1的概率是1/6，得到点数6的概率也是1/6，那么两个骰子都得到点数1和点数6的概率就是(1/6)*(1/6)=1/36。
概率论的另一个重要分支是统计推断。
统计推断是基于观测到的样本信息对总体的未知特征进行估计和推断的过程。
基于随机抽样的样本，我们可以使用概率模型和统计方法对总体特征进行推导。
例如，通过从一个人群中随机抽样并测量他们的身高，我们可以使用统计推断的方法估计总体的平均身高和身高分布的标准差。
总之，统计学概率是描述和推测随机事件发生可能性的方法。
统计学概率计算
统计学概率计算
统计学中的概率计算是指在一定条件下，某一事件发生的可能性大小的计算。
概率计算的基本公式是：
P(A) = N(A) / N(S)
其中，P(A)表示事件A发生的概率；N(A)表示事件A发生的次数；N(S)表示总的试验次数。
在实际应用中，概率计算可以用于各种场景，例如：
1. 投掷硬币的概率计算：当硬币正反两面的概率相等时，投掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
2. 掷骰子的概率计算：当骰子的六个面的概率相等时，投掷一次骰子点数为1的概率为1/6，点数为2的概率也为1/6，以此类推。
3. 某一班级的考试成绩的概率计算：假设某一班级的学生考试成绩服从正态分布，可以使用正态分布的公式来计算某一分数段的概率。
4. 股票价格涨跌的概率计算：根据历史数据和市场情况，可以使用各种方法来预测股票价格的涨跌概率，从而进行投资决策。
总之，概率计算是统计学中非常重要的一部分，它可以帮助我们了解各种事件发生的可能性大小，为我们做出决策提供重要的参考。
统计学牛牛概率
统计学牛牛概率一、随机事件及其概率试验：在同一组条件下，对某物或现象所进行的观察或实验。
事件：观察或试验的结果。
随机事件（randomevent）：也叫偶然事件，简称“事件”，记作A、B、C等。
必然事件（certainevent）：Ω不可能事件（impossibleevent）：Φ基本事件（elementaryevent）：又叫简单事件，即一个不能分解成两个或更多个事件的事件。
在一次试验中，只能观察到一个且仅有一个简单事件。
样本空间：又叫基本空间，一个试验中所有的简单事件的全体，记为Ω。
事件A的概率（probability）：描述的是事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量，可能性数值记为P(A)。
A、概率的古典定义：1、结果有限，即基本空间中只含有限个元素；2、各个结果出现的可能性被认为是相同的。
具有这种特点的随机试验称为古典概型或等可能概型。
计算古典概型概率的方法称为概率的古典定义或古典概率。
P(A)=事件A所包含的基本事件个数/样本空间所包含的基本事件个数=m/n局限性：随机试验只有有限个可能结果的范围，B、概率的统计定义：在相同条件下随机试验n次，某事件A出现m次（m≤n），则比值m/n称为事件A发生的频率。
随n的增大，该频率围绕某一常数P上下波动，且波动的幅度逐渐减小，趋于稳定，这个频率的稳定值即为该事件的概率，记为P(A)=m/n=p。
C、概率的主观定义:主观概率：对一些无法重复的试验，只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率；定义是，一个决策者根据本人掌握的信息对某事件发生可能性的判断。
二、概率的性质与运算法则A、概率的基本性质（概率的公理化定义）1、对任一随机事件A，有0≤P(A)≤12、必然事件的概率为1，而不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(Φ)＝03、若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)由此可推广到多个两两互斥的随机事件。
B、概率的加法法则1、两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和；设A和B为两个互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
人大《统计学》第五章 概率和概率分布
3.乘法的一般定理
• 更多的时候，事件并不是独立的，概率的计算是有条件的。一般
意义上，两个事件之积（同时发生）的概率，为： AB P A P B | A P • 上式也可以写作 P AB P B P A | B
§1.2 概率
• 求两个以上事件之积（同时发生）的概率与之相似。
当离散型随机变量X的只有两个可能的取值，并且其中一个赋值为1，另 一个赋值为0，则X服从0-1分布。 设取1的概率为 p ，则取0的概率 q 1 p 对于服从0-1分布的离散型随机变量X，有：
E X 1 p 0 1 p p
V X 1 p p 0 p 1 p p 1 p
P • 若 P Ai 0 i 1, 2,, n ，则对任意事件B，有： B P B | Ai P Ai
n i 1
§1.2 概率
【例5.1】 某厂生产甲、乙、丙三种产品，各种产品的次品率分别为4%
、6%、7%，各种产品的数量分别占总数量的30%、20%、50%，将三种产品
对连续变量，可计算某段（区间）取值的概率（或概率密度），相应地
便构成了连续变量的概率分布。
§2 离散变量的概率分布
首先看离散型随机变量的概率分布。 为得到离散型随机变量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值， 以及X取这些值的概率。用下面的表格来表示：
§2 离散变量的概率分布
P X xi pi 称为离散型随机变量的概率函数。并有：
§1.2 概率
2.贝叶斯公式 • 贝叶斯公式与全概率公式要解决的问题正好相反。 • 它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（或事件是在什么 条件下发生的）。 • 贝叶斯公式也称作逆概公式。
学习统计学和概率的基础知识
学习统计学和概率的基础知识统计学和概率是现代社会中非常重要的两个学科，广泛应用于各个领域，例如金融、医学、社会科学等等。
在数据驱动的时代，掌握这两门学科的基础知识变得越来越必要。
本文将介绍学习统计学和概率的基础知识的步骤以及需要掌握的一些重要概念。
一、步骤1. 熟悉数学基础知识：统计学和概率都需要涉及到一些基础的数学知识，比如微积分、线性代数、数理统计等等。
如果你对这些基础数学知识不熟悉，那么就需要首先学习这些知识。
2. 学习概率论：概率论是指描述随机事件发生的程度的数学理论。
在学习概率论时，需要了解概率空间、概率分布、期望、方差等一些概念。
推荐书籍：《概率论与随机过程》、《概率论基础》。
3. 学习数理统计学：数理统计学是指利用数学方法来描述和分析数据的学科。
在学习数理统计学时，需要掌握抽样方法、参数估计、假设检验等概念。
推荐书籍：《数理统计学教程》、《现代数理统计学基础》。
4. 建立实践经验：学习统计学和概率需要掌握实践技能，通过实践来掌握这些技能非常必要。
可以通过一些数据科学竞赛来进行实践，例如Kaggle、天池等等。
二、重要概念1. 随机变量：随机变量是指在随机试验中可能出现的所有结果构成的集合，并且随机变量可以用数值来表示。
2. 概率分布：概率分布是指随机变量所有可能取值及其发生的概率。
3. 标准差：标准差是指一组数据的离散程度的度量。
标准差越大，表示数据分散程度越大。
4. 均值：均值是指一组数据的平均数，可以用来表示数据的集中程度。
5. 假设检验：假设检验是指在给定一个样本时，判断这个样本是否来自于一个已知的总体分布。
三、总结学习统计学和概率需要一定的数学基础，但不必过于强调数学符号推导等方面，最重要的是掌握核心概念和实践技能。
在学习过程中需要多加实践，掌握这些技能非常有用。
由于统计学和概率在各个领域都有广泛应用，掌握这些知识能够给我们带来更多更广阔的机会。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.4 离散随机变量的分布 4.5 连续随机变量的分布 4.6 使用概率来检验假设
学习目标
• 离散随机变量及相应的分布 • 连续随机变量及相应的分布； • 利用概率进行决策分析。
离散型随机变量与连续型随机变量
试验 抽查100个产品 一家餐馆营业一天 抽查一批电子原件 新建一座住宅楼 随机变量 取到次品的个数 顾客数 使用寿命 半年完成工程的百 分比 可能的取值 0,1,2,…,100 0,1,2,… X0 0X 100
P( X xa ) a
这里的a也称为上（右）侧尾概率 （upper/right tail probability）。
4.5.2 正态分布
通常用za 表示标准正态分布的 a上侧分位数，即对于标准正 态分布变量Z，有P(Z>za)=a。 下 图 表 示 了 0.05 上 侧 分 位 数 za=z0.05 及 相 应 的 尾 概 率 （ a0.05）。有些书用符号z1－a 而不是za ；因此在看参考文献 时要注意符号的定义。
• •
p( x ) 1,
i i
p( xi ) 0
4.4.1二项分布
• 最简单的离散分布应该是基于可重复 的有两结果（比如成功和失败）的相 同独立试验（每次试验成功概率相同 ）的分布，例如抛硬币。 • 比如用p代表得到硬币正面的概率，那 么1－p则是得到反面的概率。 • 如果知道p，这个抛硬币的试验的概率 分布也就都知道了。
N(0,1)分布右侧尾概率P(z>za)=a的示意 图
Tail Probability for N(0,1) 0.4 0.35 0.3
Density of N(0,1)
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3 P(z<z 0.05)=1-a =0.95 P(z>z 0.05)= a =0.05 z 0.05=1.645 -2 -1 0 z value 1 2 3
4.5 连续变量的分布
• 取连续值的变量，如高度、长度、重 量、时间、距离等等；它们被称为连 续变量(continuous variable)。 • 换言之，一个随机变量如果能够在一 区间（无论这个区间多么小）内取任 何值，则该变量称为在此区间内是连 续的，其分布称为连续型概率分布。 • 它们的概率分布很难准确地用离散变 量概率的条形图表示。
4.4.1二项分布
• 这种有两个可能结果的试验有两个特 点： • 一是各次试验互相独立， • 二是每次试验得到一种结果的概率不 变（这里是得到正面的概率总是p）。 • 类似于抛硬币的仅有两种结果的重复 独立试验被称为贝努里试验（ Bernoulli trials）。
4.4.1二项分布
• 下面试验可看成为贝努里试验： • 每一个进入某商场的顾客是否购买某商 品 • 每个被调查者是否认可某种产品 • 每一个新出婴儿的性别。 • 根据这种简单试验的分布，可以得到基 于这个试验的更加复杂事件的概率。 • 为了方便，人们通常称贝努里试验的两 种结果为“成功”和“失败”。
.2 .3
.1
Poisson 分 布
P(10)
概率
0.0 0 5 10 15 20
P(6) P(3)
k
4.4.3 超几何分布
• 假定有一批500个产品，而其中有5个 次品。假定该产品的质量检查采取随 机抽取20个产品进行检查。如果抽到 的20个产品中含有2个或更多不合格产 品，则整个500个产品将会被退回。 • 这时，人们想知道，该批产品被退回 的概率是多少？ • 这种概率就满足超几何分布（ hypergeometric distribution）。
4.4.2 Poisson分布
• 在不同条件下，同样事件在单位时间 中出现同等数目的概率不尽相同。 • 比如中午和晚上某商店在10分钟内出 现5个顾客的概率就不一定相同。 • 因此，Poisson分布也是一个分布族 。族中不同成员的区别在于事件出现 数目的均值l不一样。
4.4.2 Poisson分布
分布
• • • • • 随机变量取一切可能值或范围的概率或概率的规 律称为概率分布(probability distribution， 简称分布)。 概率分布可以用各种图或表来表示；一些可以用 公式来表示。 概率分布是关于总体的概念。有了概率分布就等 于知道了总体。 前面介绍过的样本均值、样本标准差和样本方差 等样本特征的概念是相应的总体特征的反映。 我们也有描述变量“位置”的总体均值、总体中 位数、总体百分位数以及描述变量分散（集中） 程度的总体标准差和总体方差等概念。
4.5.2 正态分布 哈佛大学心理学家Richard J. Herrrnstein和美国 企业研究所(American Enterprise Institute) 著名 学者Charles Murray的名著《钟曲线：美国生 活中的智商与阶级结构》 智商是天生的，和家庭背景、阶层、甚至教育 程度都没有关系。 高智商和低智商在人口中的分布，长期以来基 本是固定的。 高智商的人反正都会成功，于是就集中资源对 低智商的人进行倾斜性的教育投资,这违反了 基本的市场逻辑。 智商和阶层没有关系，有钱的人未必智商高。
4.5.2 正态分布
• 正态分布的密度曲线是一个对称的钟 型曲线（最高点在均值处）。正态分 布也是一族分布，各种正态分布根据 它们的均值和标准差不同而有区别。
• 一个正态分布用N(m,s2) 表示；其 中m为均值，而s2为方差（标准差 的平方） 。也常用N(m,s)来表示 ，这里s为标准差。
•
• • • •
1.57
f ( x)dx 0.24682
0.51
标准正态变量在区间(0.51, 1.57)中的概率
Probability Between Limits is 0.24682 0.4 0.35 0.3 0.25
Density
0.2 0.15 0.1 0.05 0 -4
-3
-2
-1
0 Critical Value
4.5.1均匀分布
• 下图展示了在区间(0,1)上的均匀分布的 密度函数。
1.5 0.0
-0.5
0.5
1.0
0.0
0.5 X
1.0
1.5
4.5.2 正态分布
• 近似地服从正态分布(normal distribution，又叫高斯分布， Gaussian distribution)。的变量很常见 ，象测量误差、商品的重量或尺寸、 某年龄人群的身高和体重等等。 • 在一定条件下，许多不是正态分布的 样本均值在样本量很大时，也可用正 态分布来近似。
这里
为二项式系数，或记为
k n
九个二项分布B(5,p) (p＝0.1到0.9)的概率分布图
0.60
p=0 .1
p=0 .2
p=0 .3
0.40
概 率
0.20
0.00 0.60
p=0 .4
p=0 .5
p=0 .6
0.40
概 率
0.20
0.00 0.60
p=0 .7
p=0 .8
p=0 .9
0.40
概 率
4.4 离散随机变量的分布
• 离散变量只取离散的值，比如骰子的点数 、网站点击数、顾客人数等等。每一种取 值都有某种概率。各种取值点的概率总和 应该是1。 当然离散变量不不仅仅限于取非负整数值 。 一般来说，某离散随机变量的每一个可能 取值xi都相应于取该值的概率p(xi)，这些概 率应该满足关系
f ( x)dx 1
4.5.1均匀分布
• 均匀分布（uniform distribution）是最 简单的连续型分布。它的取值范围是一 个区间，比如(a, b)。 • 均匀分布随机变量X取值在该区间的一个 子区间的概率等于该子区间宽度与区间 (a, b)宽度b-a之比，例如，假设区间(a, b)为（0,1）区间，那么X落入（0.2, 0.5 ）的概率为(0.5-0.2)/(1-0)=0.3。
• 参数为l的Poisson分布变量的概 率分布为（p(k)表示Poisson变量 等于k的概率）
P(k ) e
l
l
k
k!
, k 0,1, 2,...
参数为3、6、10的Poisson分布（只 标出了20之内的部分）
这里点间的连线没有意义，仅仅为容易识别 而画，因为Poisson变量仅取非负整数值
4.5 连续变量的分布
• 想象连续变量观测值的直方图；如果其纵 坐标为相对频数，那么所有这些矩形条的 高度和为1；完全可以重新设置量纲，使得 这些矩形条的面积和为1。 • 不断增加观测值及直方图的矩形条的数目 ，直方图就会越来越像一条光滑曲线，其 下面的面积和为1。 • 该曲线即所谓概率密度函数(probability density function，pdf)，简称密度函数或 密度。下图为这样形成的密度曲线。
4.4.1二项分布
• 和贝努里试验相关的最常见的问题是：如 果进行n次贝努里试验，每次成功的概率为 p，那么成功k次的概率是多少？ • 这个概率的分布就是所谓的二项分布 (binomial distribution)。 • 这个分布有两个参数，一个是试验次数n， 另一个是每次试验成功的概率p。 • 基于此，二项分布用符号B(n,p)或Bin(n,p) 表示。 • 由于n和p可以根据实际情况取各种不同的 值，因此二项分布是一族分布，族内的分 布以这两个参数来区分。
1
2
3
4
4.5.2 正态分布
• 对于连续型随机变量X，a下侧分位 数（又称为a分位数，a-quantile）定 义为数xa，它满足关系
P( X xa ) a
这里的a又称为下（左）侧尾概率 （lower/left tail probability）
4.5.2 正态分布