分层法例题详解

例:如图1所示一个二层框架,忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移,用分层法计算框架的弯矩图,括号内的数字,表示各梁、柱杆件的线刚度值

(

EI

i

l

)。

图1

解:1、图1所示的二层框架,可简化为两个如图2、图3所示的,只带一层横梁的框架进行分析。

图2 二层计算简图

图3 底层计算简图

2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数

采用分层法计算时,假定上、下柱的远端为固定,则与实际情况有出入。因此,除底层外,其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。底层柱

的弯矩传递系数为1

2

,其余各层柱的弯矩传递系数为

1

3

。各层梁的弯矩传

递系数,均为1

2

。

图4 修正后的梁柱线刚度

图5 各梁柱弯矩传递系数

3、计算各节点处的力矩分配系数

计算各节点处的力矩分配系数时,梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算,如:

G节点处:

7.63

0.668

7.63 3.79

GH GH

GH

GH GD

Gj

G

i i

i i

i

μ====

++

∑

GD

3.79

0.332

7.63 3.79

GD GD

GH GD

Gj

G

i i

i i

i

μ====

++

∑

H节点处:

7.63

0.353

7.63 3.7910.21

HG HG

HG

HG HE HI

Hj

H

i i

i i i

i

μ====

++++

∑

3.79

0.175

7.63 3.7910.21

HI HI

HI

HG HE HI

Hj

H

i i

i i i

i

μ====

++++

∑

10.21

0.472

7.63 3.7910.21

HE HE

HE

HG HE HI

Hj

H

i i

i i i

i

μ====

++++

∑

同理,可计算其余各节点的力矩分配系数,计算结果见图6、图7。

图6 二层节点处力矩分配系数

图7 底层节点处力矩分配系数

4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩

(1)第二层:

①计算各梁杆端弯矩。先在G、H、I节点上加上约束,详见图8

图8 二层计算简图

计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩(顺时针转向为正号),写在各梁杆端下方,见图9:

213.13kN m 12F GH

ql M =-=-⋅

213.13kN m 12

F HG

ql M ==⋅ 27.32kN m 12

F HI ql M

=-=-⋅

27.32kN m 12

F IH

ql M

==⋅ 在节点G 处,各梁杆端弯矩总与为:

13.13kN m F

G GH M M ==-⋅

在节点H 处,各梁杆端弯矩总与为:

13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅

在节点I 处,各梁杆端弯矩总与为:

7.32kN m F I IH M M ==⋅

②各梁端节点进行弯矩分配,各两次,详见图9 第一次弯矩分配过程:

放松节点G,即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅,乘以相应分配系数0、668与0、332,得到梁端+8.76kN m ⋅与柱端+4.37kN m ⋅,+8.76kN m ⋅按1

2

传到GH 梁H 端;

放松节点I,即在节点I处施加力矩7.32kN m

-⋅,乘以相应分配系数0、

935与0、065,得到梁端 6.32kN m

-⋅与柱端+1.00kN m

⋅, 6.32kN m

-⋅按1

2

传到

IH梁H端;

放松节点H,相应的在节点H处新加一个外力偶矩,其中包括GH梁右端弯矩、IH梁左端弯矩、GH梁与IH梁传来的弯矩。其值为

(13.13+4.387.32 3.16)kN m=7.03kN m

---⋅-⋅,乘以分配系数,HI梁分配

3.56kN m

-⋅、HG梁分配 2.73kN m

-⋅、HE柱分配 1.32kN m

-⋅, 3.56kN m

-⋅按1

2

传

到I端, 2.73kN m

-⋅按1

2

传到G端。第一次分配过程完成。

第二次弯矩分配过程:

重复第一次弯矩分配过程,叠加两次结果,得到杆端最终弯矩值。

③计算各柱的杆端弯矩。二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的

1 3(即传递系数为

1

3

),带*号的数值就是各梁的固端弯矩,各杆分配系数写在

图中的长方框内

图9 二层弯矩分配传递过程