单位载荷法

单位载荷法

当弹性体上仅作用一个广义力，而且所求位移为其相应位移时，才可能直接

利用功能原理计算弹性体的位移。现在介绍计算弹性体位移的一个一般方法－单

位载荷法。为叙述方便，以梁为例进行推证。

一、公式的建立

图1a 所示梁，承受载荷（广义力）F 1, F 2，…，F n 作用，现在拟求梁轴上任

一点A 的挠度f 。为此，首先在图1b 所示同一梁的A 点，并沿所求位移的方向

施加一个数值等于1的力，即所谓单位力，然后，再施加载荷F 1, F 2，…，F n 。

从图中可以看出，当施加实际载荷时，已加之单位力在相应位移f 上作功。这样，

利用加载过程中的功能关系即可确定位移f 。

图1

首先分析在上述加载过程中外力所作之功。

设单位力作用在梁上时，挠曲轴位于图1b 中的位置1，A 点的挠度为δ；

当实际载荷作用后，挠曲轴由位置1变化到位置2，载荷F 1, F 2，…，F n 作用处

的相应位移（广义位移）分别为∆1, ∆2，…，∆n 。由于先加单位力，后加实际载

荷，因此，外力所作之功为 f ∆F δW n i i i ×++×=∑=12211

式中，右边第三项1×f 代表已加之单位力在位移f 上所作之功，因属常力作功，

故不必除2。

现在研究单位力与实际载荷作用时梁的应变能。

设单位力作用时梁内x 截面的弯矩为)(x M （图2a ）

，实际载荷作用时梁内同一截面的弯矩为M (x )（图2b ），因此，当单位力与实际载荷同时作用时，x 截

面的弯矩为 )()()(x M x M x M +=总

由此得梁在位置2时的应变能为

∫∫∫∫++==l l l l x EI x M x

EI x M x M x EI x M x EI x M V 2

2 2εd 2)(d )()(d 2)( d 2)(总 图2

根据功能原理可知，在上述加载过程中，外力所作之功W ，数值上应等于应

变能V ε，即

x EI x M x EI x M x M x EI x M f ∆F δl l l n i i i d 2)(d )()(d 2)( 1221 2 21∫∫∫∑++=×++×= (a) 由图2a 与b 还可以看出，

∫=×l x EI

x M δ 2d 2)(21

∫∑==l n i i i x EI x M ∆F 21d 2)(2 将以上关系代入式(a)，于是有

∫=×l x EI x M x M f d )()(1 (b) 并由此得A 点的挠度为

∫=l x EI

x M x M f d )()( (c) 由式(b)与(c)可知，如果由上式求得的位移f 为正，则说明单位力在位移f

上作正功，即位移f 与所加单位力同向。反之，则所求位移与所加单位力反向。

同理，如果要计算梁上某截面的转角θ，则只需在该截面施加一个矩为1的

力偶，即所谓单位力偶，然后按上述推导方法，即可求得转角为

∫=l x EI

x M x M d )()(θ 式中，)(x M 代表单位力偶在梁内引起的弯矩。

二、单位载荷法的一般公式

综上所述，梁的挠度与转角的计算公式可统一写成为 ∫=l x EI x M x M d )()(∆ （1） 式中，∆或为挠度或为转角，而)x M 则相应地为单位力或单位力偶引起的弯矩。

同样可以证明，杆件组合变形时的位移为 x EI x M x M x GI x T x T x EA x F x F l l l d )()(d )()(d )()( t N N ∫∫∫++=∆ （2） 式中：)(N x F ，)(x T 与)(x M 分别为单位载荷引起的轴力、扭矩与弯矩；而)(N x F ，)(x T 与)(x M 则分别为实际载荷引起的轴力、扭矩与弯矩。

对于桁架与轴，由式（2）分别得 ∑==n i i i i i i A E l F F ∆1N N （3） x GI x T x T l d )()( t ∫=φ （4）

以上所述分析位移的方法称为单位载荷法，在工程中得到广泛应用。

应该指出，以上关于单位载荷法的论证与所得各公式[即式（1）~（4）]，仅适用于线性弹性体。实际上，单位载荷法不仅可用于分析线弹性问题，也可用于非线弹性以及非弹性问题，它是一个应用范围极广的方法。