中山大学2009年数学分析部分考研题解答

中山大学2009年数学分析考研部分试题参考解答
魏春理
摘要本文给出了中山大学2009年数学分析部分考研题的一个参考解答.
关键词中山大学 数学分析 考研试题 参考解答
1．（1）求 ；
解答：
□
（2） ，求 ；
解答：
□
（3）求 ；
解答：令 ，则
（ 为常数）
□
（4）求 ， ；
解答：
□
（5）设 ， ， ，求 ；
□
五、设 在 连续， ， ， .证明
在 有且仅有一个实根.
证明：ⅰ)由 ，知 在 时单调减，所以当 时， ， 在 上严格减.于是方程 在 中至多有一根；
ⅱ)当 时， ，故函数 在 中单调减，从而 即 ，当 时，
，结合 在 上严格减，得到 （ ），这样根据连续函数的零值定理就可以得到： ，满足 ；
综合上面的讨论可知 在 有且仅有一个实根.
（其中 ，方向为顺时针旋转）
(令 ， ， )
□
四、计算 ，其中 为曲面 介于平面 和 （ ）之间的部分取下侧.
解答：根据题意可知曲面 不是封闭曲面，但是添加一片曲面： ： ， （ ）；于是 就是封闭的曲面，这里 方向取上侧，记 所围成的区域为 .则由 公式得：
(令 ，其中 ， ， )
此时， ；
于是，
□
二、将区间 作 等分，分点为 ，求 .
解答：根据 ，以及
，
百度文库得到
□
三、计算 ，其中 是从点 到点 的一条不通过原点的光滑曲线： ， ，且当 时， .
解答：根据 定理，令 ， .此时有
故第二型曲线积分 的值与路径无关，为了计算该积分，构造以下曲线： ： ， ； ： ， ； ： ， ；于是可以得到如下的过程：
参考文献
[1]家里蹲大学数学杂志第三卷第83期-中山大学2011年数学分析考研试题参考解答（张祖锦）
[2]《数学分析精选习题全解》（薛春华 徐森林编）2009（上册）清华大学出版社；
后记
本参考解答是一个不完美的解答，这不仅仅是说最后两道题（第七题太暴力了！第八题还在思考中）没有给出参考解答，也包含了给出的解答，必定会有不当之处。作者才疏学浅，初来乍到，恳请读者指正！
解答：
□
（6）设 ，其中 ， 二阶可微， ， 为自变量，求 ；
解答：ⅰ） ；
ⅱ）就有
( ， 为自变量，故有 )
□
(7)求级数 在收敛域上的和函数；
解答：容易看出，当 （ ），时， 发散，
于是可以得到 的收敛域为 ；
接下来，求 在 上的和函数：
，
□
（8）判别级数 的敛散性；
解答：由 以及级数 发散，可知 发散
感想
1、做数学题要比看数学题快乐的多；
2、本人做的数学题还太少，需要多多地做题。
致谢
衷心感谢张祖锦博士的鼓励！
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
□
六、设函数 在 连续，试证：对一切 满足 的充要条件是 .
证明： ）由 可以得到
令 即可得到： ，必要性得证；
）由 可以得到： ，
可以写成 ；
这样结合 ，就可以得到 ；
进一步就可以得到 ，充分性得证.
□
附最后两道题：
七、求椭球面 在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小体积.
八、讨论 的敛散性.