2020年高三综合复习检测题数学(理)试题
2020年高三综合复习检测题数学(理)试题
高三数学理科第1页（共2页）2020年高三综合复习检测题高三数学（理科）时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分 .考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U =Z ，集合{|04}A x x =∈<<N ，2{|540}B x x x =-+=， 则()U A B =I ð ( ) （A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,4}（D ）∅（2）已知复数z 满足(2)2z i i -=+，则z 在复平面内对应的点位于 ( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3） 如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为 ( )（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（4） (1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是 ( ) （A ）－4 （B ）－3 （C ）3 （D ）4 （5）设 a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )（A ）a ＜b ＜c （B ）b ＜c ＜a（C ）b ＜a ＜c （D ）c ＜b ＜a（6）sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )（A ）－sin α （B ）－cos α （C ）sin α （D ）cos α（7）已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是 ( )（A ）π6 （B ）5π6 （C ）.π4 （D ）3π4（8）已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题错误．．的是 ( ) （A ）如果α∥β，n α⊂，那么n ∥β （B ）如果m α⊥，n ∥α，那么m n ⊥ （C ）如果m ∥n ，m α⊥，那么n α⊥（D ）如果m n ⊥，m α⊥，n ∥β，那么αβ⊥（9）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是 ( )（A ）1936 （B ） 12 （C ）736 （D ）518（10）若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) （A ）(1,3) （B ）(1,2) （C ）(0,3) （D ）(0,2)（11）函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的值为( )（A ）74 （B ）32 （C ）2 （D ）54（12）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，C 的右支上一点P 满足1260F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF距离是2，则C 的离心率为( ) （A（B（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题(解析版)
2．若复数 满足
,则
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计
算公式求解．
【详解】
由（z+1）i＝1+i，得 z+1
，
∴z＝﹣i，则|z|＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．经统计,某市高三学生期末数学成绩
则
，解得 n
，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C
，
令 f（k）
（k
），则 f′（k）
，
令 f′（k）＝0 可得 k
或 k （舍），
∴当 k
时，f′（k）＞0，当
k
时，f′（k）＜0，
∴当 k
时，f（k）取得最大值 f（ ）
．
故选：D．
【点睛】 本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方 法，属于较难题．
2020 届福建省高三毕业班 3 月质量检测考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
【答案】C
【解析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
= D．
，
；
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 故选：C． 【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．
14．若 【答案】60
展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是______.
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x
【试卷】2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试 理科数学 试卷及答案
知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元．假设 n 充分大，为了
使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量ξ 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则
实用文档 用心整理
②直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是
2 4
,
1 2
；
③α 与平面 CDD1C1 所成锐二面角的正切值为 2 2 ；
④正方体 ABCD − A1B1C1D1 的各个侧面中，与α 所成的锐二面角相等的侧面共四个．
其中正确命题的序号是
．（写出所有正确命题的序号）
r2 a
=
r2 b ，从而
；若不等式 f (n) ≥ 0 恒成立，则 λ 的最大值为
．
16．正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，F 是侧面 CDD1C1 上的动点，且 B1F / / 平面 A1BE ，
3 千里之行 始于足下
记 B1 与 F 的轨迹构成的平面为α ． ① ∃F ，使得 B1F ⊥ CD1 ；
=（
）
A． (0, 2)
B． (1, 2]
C．[0,1]
D． (0,1]
2．复数满足 z + z = 4 + 8i ，则复数 z 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 = −2, a8 = 10 ，则 S9 = （
① g(x) 的值域为 (0,1]
【数学】2020高三总复习数学理科试卷答案
学期 望数 学 期 望 的 应 用考 查 概 率 与 统 计 的 思 想考--
查应用意识!
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2020届高三数学(理)毕业生第二次复习统一检测试卷
高中毕业生第二次复习统一检测理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3,0xM y y x ==>，(){}2lg 3N x y x x==-，则M N I为（ ）A ．∅B ．()1,+∞C ．[)3,+∞D ．()1,32．设i 是虚数单位，如果复数2a ii++的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．33．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊂，//n α，则m ，n 为异面直线； ②若m β⊥，αβ⊥，m γ⊥，则αγ⊥；③若//αγ，//βγ，则//αβ； ④若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥．则上述命题中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④5．若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为(mod )n r m ≡，例如103(mod 7)≡．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ） A ．29 B ．30 C ．31D ．326．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ）A ．210B ．10 C ．10-D ．210±7．已知函数4,0()4,0x x e x f x e x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，2g()x x =，则函数()g()y f x x =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈L L å，1238a a a=，则8S =（ ）A ．510B ．255C ．127D ．65409．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．92πB ．9πC ．12πD ．16π10．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<11．设1F 、2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，1PQ PF =，则椭圆的离心率为（ ）A 32B 63-C ．22D ．962-12．已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，460,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，，n x ，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，则1231222n n x x x x x -+++⋅⋅⋅++=（ ）A ．12763πB ．445πC ．455πD ．14573π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是 ．14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 ． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐进线均与圆22:8120C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则双曲线的方程为 ．16．平行四边形ABCD 中，=3AB ，=2AD ，=120BAD ∠o ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =．若AP x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则32x y +的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2226b c a +-=-， 且sin sin 4sin sin b C c B a B C +=． （1）求cos A ； （2）求ABC ∆的面积．18．（12分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明ABMDP理由．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =．（1）设AC 与BD 相交于点M ，若存在点N 使得()0AN mAP m =>u u u r u u u r，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值；（2）若AB AD DP ==，60BAD ∠=o，PB =，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（12分）设函数()()11xxf x xe a e=+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,+∞有零点，证明：2a >．21．（12分）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设弦AB 的中点为N ，过点A 、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为E ，过点E 作直线l ，交抛物线于P 、Q 两点，连接NP 、NQ ． 证明：2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+=.请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长度．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()1f x x =-．（1）求不等式()()336f x f x ++-≥的解集；（2）若不等式()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，求a b +的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题12、函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令262x k πππ-=+得123x k ππ=+,k Z ∈，即()f x 的对称轴方程为123x k ππ=+,k Z ∈． ()f x Q 的最小正周期为T π=，4603x π≤≤，当30k =时,可得463x π=，()f x ∴在460,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知： 函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与3y =的交点1x ，2x 关于3π对称，2x ,3x 关于56π对称，，故31n =．即12226x x π+=⨯,23526x x π+=⨯，，30318926x x π+=⨯， 将以上各式相加得：123303125892222666x x x x x πππ⎛⎫+++⋯++=++⋯+⎪⎝⎭()258894553ππ=+++⋯+⨯=．故选C ．二、填空题13、0 14、429 15、221124x y -= 16、2三、解答题17、解：（1）因为sin sin 4sin sin ,b C c B a B C +=由正弦定理得：sin sin sin sin 4sin sin sin ,B C C B A B C += …………………………2分又sin sin 0B C ≠，所以4sin 2,A =即1sin 2A =又2226b c a +-=-，由余弦定理得cos 0A < ………………………………………4分所以cos 2A ==-……………………………………………………6分 （2）因为222cos 2b c a A bc+-=…………………………………………………………8分所以62bc-=，即bc =…………………………………………………… 10分所以111sin 222ABC S bc A ∆==⨯=…………………………………………12分 18、解：（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈…………………………………………………………………2分方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N≤∈⎧=⎨->∈⎩ . …5分（2）设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）……8分 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）…………………………………11分所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.…………………………………………………12分 19、解：（1）因为//AB CD ，所以11,23AM AB AM MC CD AC ==∴=．……………………1分因为//MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以//MN PC ．………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………4分（2）因为,60AB AD BAD =∠=︒，可知三角形ABD 为等边三角形，所以BD AD PD ==，又2BP =，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥．由已知,PD AD AD BD D ⊥⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，,DA DP u u u v u u u v的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以()1,0,0A ，()(13,0,1,0,32B P C ⎛- ⎝⎭则(13,,1,32PB PC ⎛=-=-- ⎝⎭u u u v u u uv ，()1,1,0PA =-u u u v …………………………6分设平面PBC 的一个法向量为()1111,,n x y z =u v，则有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v 即111111230,30.x y z x y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令11x =，则112,3y z == 即(11,3n =u v，………………………………………………………………………8分设平面APC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u v，则有2200n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v 即222220,30.x y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令223x y ==22z =， 即)23,3,2n =u u v．…………………………………………………………………10分所以121212·5315cos ,2210n n n n n n ===⨯⋅u v u u vu v u u v u v u u v设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos θ=………………………………12分 20、解：（1）()()11xxf x xe a e=+-+Q()()1xf x x a e ∴=--⎡⎤⎣⎦'，………………………………………………………………2分1x a ∴>-时，()0f x '>，函数()f x 在()1,a -+∞上单调递增；1x a <-时，()0f x '<，函数()f x 在(),1a -∞-上单调递减；………………4分（2）证明：函数()f x 在()0,+∞有零点，可得方程()0f x =有解，()1111111xx x x x x e x xe x a x e e e -++++∴===+---有解， 令()11x x g x x e +=+-， 则()()()222111(1)(1)x xx x x x e e x e x e g x e e ----+=+=--'，…………………………………6分 设函数()2xh x e x =--，()10xh x e ='->，∴函数()h x 在()0,+∞上单调递增,又()130h e =-<，()2240h e =->，………………………………………………8分又函数()h x 在()0,+∞上单调递增，∴存在()01,2x ∈，当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，∴函数()gx 存在唯一最小值点0x ，满足002xe x =+，()()00000112,31x x g x x x e +∴=+=+∈-， ()11x x a g x x e +==+-Q 有解，()02a g x ∴≥>，2a ∴>．……………………………………………………………… 12分21、解：设()()1122,,,,A x y B x y 则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=（1）直线AB 的斜率21122114AB y y x x k x x -+===- …………………………………… 3分 （2）由（1）知，等价于证明2EA EB NP NQ k k k k +=+=，1'12EA x x x k y ===Q ，2'22EB x x x k y === 12122222EA EB x x x x k k +∴+=+==………………………………………………5分 设直线:AB l y x m =+过()11,A x y 点的切线方程为()11112y y x x x -=-，整理得2111124y x x x =- 同理，过()22,B x y 点处切线的方程为2221124y x x x =-， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：2111112,4x y x x x y m ==-=-=- ()2,E m ∴-………………………………………………………………………… 7分 设()()3344,,,,P x y Q x y 易知割线的斜率存在，因为()2,E m -，设割线的方程为()2y m k x +=-，代入抛物线24x y =，整理得24840x kx k m -++=， 则34344,84x x k x x k m +=⋅=+． 所以()2222343434341112442444y y x x x x x x k k m ⎡⎤+=+=+-⋅=--⎣⎦， ()22222343434111444416y y x x x x k km m ⋅=⋅==++， ()2223434433443341184444x x x y x y x x x x x x k mk +=⋅+⋅=+=+ …………… 8分 因为()2,2N m +，1212(2,2)22x x y y m ++==+ 所以343422,22NP NQ y m y m k k x x ----==-- 所以()()()()343443343434343422122842224NP NQ y m y m k k x y x y m x x y y m x x x x x x ----+=+=+-++-+++⎡⎤⎣⎦---++()()2218884242442842848444m k km m k k k m m k m k m +⎡⎤=+-+⋅---++==⎣⎦+-++ ……………………………………………………………………………………… 11分综上可得2EA EB NP NQ k k k k +=+=所以2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+= ………………………………………………12分 22、解：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，……………………………………2分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.……………………………………………………5分 （2）设()11,P ρθ，则由=32cos ρθπθ⎧=⎪⎨⎪⎩解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…………7分 设()22,Q ρθ，则由2sin 33πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭⎨=⎪⎪⎪⎩解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…9分 所以212PQ ρρ=-=.……………………………………………………………………10分23、（1）()()2,233224,222,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++-=++-+=-≤≤⎨⎪>⎩………………………3分由()6f x ≥，得(][),33,x ∈-∞-+∞U .……………………………………………………5分（2）()()5,3142321,325,2x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=---≤≤⎨⎪->⎩，()()14y f x f x =--+的图象如图所示：…………………………………………………8分由()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，可得0a =，5b <-，即5a b +<-.………………………………………………………………………………10分。
2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题十七 立体几何
专题十七立体几何一、填空题考向一立体几何中的计算问题1.(2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为.2.(2018·南通、泰州一模)如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为cm.(不计损耗)(第2题)(第3题)3.(2018·苏州期初)如图,正四棱锥P-ABCD的底面一边AB的长为2 cm,侧面积为8 cm2,则它的体积为cm3.4.(2017·江苏大联考)已知正四面体P-ABC的棱长为2,若M,N分别是PA,BC的中点,则三棱锥P-BMN 的体积为.(第5题)5.(2018·苏州一模)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)6.(2018·无锡一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.考向二立体几何中的命题真假的判定问题7.(2017·丹阳高级中学期初)设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不同的直线,给出下列四个命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直;③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中正确的命题是.(填序号)8.(2016·南京三模)已知α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m⊂β.给出下列四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β;④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是.(填序号)9.(2016·镇江期末)已知b,c表示两条不同的直线,α,β表示两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若b⊂α,c∥α,则b∥c;②若b⊂α,b∥c,则c∥α;③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.其中正确的命题是.(填序号)10.(2017·南京、盐城、连云港二模)已知α,β是两个互不重合的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题中正确的是.(填序号)①若α∥β,m⊂α,则m∥β;②若m∥α,n⊂α,则m∥n;③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.11.(2017·广州模拟)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是.(填序号)①若m∥α,α∩β=n,则m∥n;②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;③若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n;④若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β.(第12题)12.(2017·咸阳模拟)如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:①PC∥平面OMN;②平面OMN⊥平面PAB;③OM⊥PA;④平面PCD∥平面OMN.其中正确的结论是.(填序号)考向三立体几何中的综合问题(第13题)13.(2016·无锡期末)如图,在圆锥VO中,O为底面圆的圆心,点A,B在圆O上,且OA⊥OB.若OA=VO=1,则点O到平面VAB的距离为.14.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在体积为的四面体ABCD中,若AB⊥平面BCD,AB=1,BC=2,BD=3,则CD长度的所有值为.二、解答题15.(2017·常州一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,且∠ABB1=60°,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:AB⊥B1C.(第15题)16.(2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.(第16题)17.(2017·扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是棱PC和PD的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.(第17题)18.(2018·苏州一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.(1)求证:EF∥平面ABHG;(2)求证:平面ABHG⊥平面CFED.(第18题)19.(2018·苏州期初)如图,在三棱锥P-ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA;(2)若过点A作直线l⊥平面ABC,求证:l∥平面PBC.(第19题)20.(2018·常州一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,点Q 是棱PC上异于P,C的一点.(1)求证:BD⊥AC;(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QF∥BC.(第20题)专题十七立体几何(第1题)1.【解析】如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=,AB=2,故AO=AB=,所以PO==1,所以V=Sh=×22×1=.2. 2【解析】由题知,铜质六角螺帽毛坯的体积V=6××42×sin60°-9×4=60(cm3).设正三棱柱的底面边长为a cm,则×a2×sin60°×6=60,解得a=2,所以正三棱柱的底面边长为2 cm.3. 4【解析】设正四棱锥P-ABCD的高为H,斜高为h,由题意得×2×4h=8,解得h=2,所以H==1,所以该四棱锥的体积V=S·H=×(2)2×1=4(cm3).4.【解析】如图,连接AN,作MD⊥PN,垂足为D.因为正四面体P-ABC的棱长为2,M,N分别是PA,BC 的中点,所以AN⊥BC,PN⊥BC,由此可得MN⊥AP,且AN=PN=.因为AN∩PN=N,AN⊂平面PAN,PN⊂平面PAN,所以BC⊥平面PAN.因为MD⊂平面PNA,所以MD⊥BC.因为MD⊥PN,BC∩PN=N,BC⊂平面PBN,PN⊂平面PBN,所以MD⊥平面PBN.又由题知MN==,因为PN·MD=PM·MN,所以MD===,所以三棱锥P-BMN 的体积==×S△PBN×MD=××1××=.(第4题)5. 30π【解析】由题图知,该鲁班锁外接球的直径与长、宽、高分别为2,1,5的长方体的外接球直径相同.设该球形容器的半径为R,则2R≥,即R≥,所以S=4πR2≥4π×=30π.6. 50π【解析】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB⊥BC,所以可以将该直三棱柱补形成长、宽、高分别为3,4,5的长方体,该长方体的体对角线长即为该直三棱柱的直径,且2R==5,所以S=4πR2=50π.7.③④【解析】因为m⊥α,m⊥n,所以n∥α或n⊂α,故①错误;对于②,当m平行α与β的交线,n垂直于α与β的交线时,m⊥n,故②错误;由面面垂直的性质定理知③正确;因为n⊥α,α∥β,所以n⊥β,又m∥n,所以m⊥β,故④正确.8.①④【解析】对于①,因为l⊥α且α∥β,所以l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,故①正确;对于②,由l⊥α,α⊥β,可知l∥β或l⊂β,则l与m的位置关系不确定,故②不正确;对于③,由m∥α且m⊂β,可知α与β平行或相交,若α与β相交,则l与β不垂直,故③不正确;对于④,由l⊥α且l⊥β,可知α∥β,又m⊂β,所以m∥α,故④正确.9.④【解析】对于①,b与c的位置关系不确定;对于②,可能c⊂α;对于③,c与β的位置关系不确定;只有④是正确的.10.①④【解析】①是面面平行的性质,故①正确;②m,n可能异面,故②错误;③当m⊄α时,m⊥β不成立,故③错误;④由m⊥α,n⊥α,得m∥n,又n⊥β,所以m⊥β,故④正确.(第11题)11.③【解析】对于①,如图,m∥α,α∩β=n,此时m,n异面,故①错误;对于②,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故②错误;对于③,若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又m⊥α,所以m⊥n,故③正确;对于④,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m也可能与β相交、平行或在β内,故④错误.12.①③④【解析】如图,其中E,F分别为AD,BC的中点,G为OE的中点,平面OMN即平面MNFE.因为PC∥OM,所以PC∥平面OMN,同理PD∥ON,又OM∩ON=O,所以平面PCD∥平面OMN,故①④正确;由于四棱锥的棱长均相等,所以PA2+PC2=AB2+BC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,故③正确;因为OM=PC=PD=ME,所以MG⊥OE,又MN∥OE,所以GM⊥MN,假设平面OMN⊥平面PAB,则GM⊥平面PAB,则MG⊥PA,设四棱锥的棱长为4,则MA=2,AG=,MG=,三边长度不满足勾股定理,所以MG不垂直PA,与假设矛盾,故②不正确.(第12题)13.【解析】方法一:设点O到平面VAB的距离为h.由题意知=,所以××1×1×1=××h,解得h=.方法二:取AB的中点M,连接OM,VM.在Rt△VOM中,点O到VM的距离即为点O到平面VAB的距离.因为VO=1,OM=,VM=,所以点O到VM的距离d==,故点O到平面VAB的距离为.14.,【解析】因为四面体ABCD的体积V=××2×3×sin∠CBD×1=,所以sin∠CBD=,所以∠CBD=60°或120°.当∠CBD=60°时,CD2=22+32-2×2×3×cos 60°=7,所以CD=;当∠CBD=120°时,CD2=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以CD=.综上,CD长度的所有值为,.15.(1)连接AB1交A1B于点E,连接DE.因为D,E分别为AC,AB1的中点,所以DE∥B1C.因为DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)取AB的中点O,连接OC,OB1.因为BA=BB1,且∠ABB1=60°,所以△ABB1为正三角形.而O为AB的中点,所以OB1⊥AB.在正三角形ABC中,O为AB的中点,所以OC⊥AB.因为OB1∩OC=O,且OB1⊂平面OB1C,OC⊂平面OB1C,所以AB⊥平面OB1C.又因为B1C⊂平面OB1C,所以AB⊥B1C.16.(1)如图,连接BC1,因为OE∥平面BCC1B1,OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点.所以==1,即E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C.因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC.因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.(第16题)17.(1)因为点E,F分别是棱PC和PD的中点,所以EF∥CD.又在矩形ABCD中,AB∥CD,所以EF∥AB.又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中,AD⊥CD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF.因为PA=AD且F是PD的中点,所以AF⊥PD.因为PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.18.(1)因为E,F分别是A1D1,B1C1的中点,所以EF∥A1B1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥AB,所以EF∥AB.又EF⊄平面ABHG,AB⊂平面ABHG,所以EF∥平面ABHG.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BB1C1C.又BH⊂平面BB1C1C,所以BH⊥CD.①如图,设BH∩CF=P,△BCH≌△CC1F,所以∠HBC=∠FCC1.因为∠HBC+∠PHC=90°,所以∠FCC1+∠PHC=90°,所以∠HPC=90°,即BH⊥CF.②由①②,又DC∩CF=C,CF,CD⊂平面CFED,所以BH⊥平面CFED.又因为BH⊂平面ABHG,所以平面ABHG⊥平面CFED.(第18题)(第19题)19.(1)因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,AB⊂平面ABC,AB⊥BC,所以AB⊥平面PBC.因为CP⊂平面PBC,所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB,且PB∩AB=B,AB,PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB,因为PA⊂平面PAB,所以CP⊥PA.(2)如图,在平面PBC内过点P作PD⊥BC,垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,PD⊂平面PBC,所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC,所以l∥PD.又l⊄平面PBC,PD⊂平面PBC,所以l∥平面PBC.20.(1)因为PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC.如图,记AC,BD的交点为O,连接OP.平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点,又在△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP.又PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC.又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.又AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF.又AD∥BC,所以QF∥BC.(第20题)。
2020届江苏高考数学(理)总复习课堂检测： 椭圆
课时跟踪检测（四十七） 椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上， ∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，且a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝6， ∴椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为12，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为2a ＝12，c a ＝12，所以a ＝6，c ＝3，b 2＝27. 所以椭圆的方程为x 236＋y 227＝1.答案：x 236＋y 227＝13．椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意，椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，则PF 1＋PF 2＝22，F 1F 2＝2.由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2， 解得PF 1·PF 2＝43.故△F 1PF 2的面积S ＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝33.答案：334．(2019·南京名校联考)若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n＝1的离心率是________．解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4，当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝ 5. 答案：32或 5 5．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是____________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M ，令MF 1＝m ，MF 2＝n .由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，因为MF 1⊥MF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，因为(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(n 2＋m 2)，当且仅当m ＝n ＝a 时取等号，即4a 2≤2(4c 2)，所以a ≤2c ，所以c a ≥22，即e ≥22，因为e ＜1，所以22≤e＜1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东模拟)设点P 在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则P Q 的最大值是________．解析：已知圆心C (0,2)，P Q ≤PC ＋C Q ＝1＋C Q ，故只需求C Q 的最大值即可．设Q (x ，y )，则 C Q ＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13＝－8⎝⎛⎭⎫y ＋142＋272.∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，C Q max ＝272＝362， ∴ P Q max ＝1＋362. 答案：1＋3622．(2019·常州模拟)若椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为________． 解析：不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .所以a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)．即c 2a 2＝89，所以e ＝c a ＝223.答案：2233．(2018·镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1―→·PF 2―→＝________.解析：法一：PF 1―→·PF 2―→＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→＋OF 2―→)＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→－OF 1―→)＝|PO ―→|2－|OF 1―→|2＝n －(m －n )＝2n －m .法二：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则x 2＋y 2＝n ，PF 1―→·PF 2―→＝(x ＋c )(x －c )＋y 2＝x 2＋y 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .答案：2n －m4．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)， 所以B 2F ―→＝(c ，－b )，B 1A ―→＝(a ，b )．因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0， 故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)． 答案：5－125．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：x 236＋y 216＝16.(2019·启东月考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．解析：∵F 为椭圆的右焦点，OF ＝2，∴c ＝ 2. 设椭圆方程为x 2b 2＋2＋y 2b2＝1(b ＞0)，∵A ，B 是椭圆的两个顶点，∴A ()b 2＋2，0，B (0，b )．又∵C 是AB 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋22，b 2.由OC 的延长线交椭圆于点M ，MF ⊥OA ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b 2b 2＋2.∵k OM ＝k OC ，∴b 2b 2＋22＝b2b 2＋22，∴b ＝2，故所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆C 上，所以△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝AF 1＋AF 2＋BF1＋BF 2＝4a ＝16， 所以a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，所以c ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝18．(2019·句容月考)离心率e ＝13，焦距为4的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e ＝13，焦距为4，∴c ＝2，a ＝6，∴b 2＝32，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝1.答案：x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→，AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.10．(2018·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1―→＝λF 1Q ―→.(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△P Q F 2的周长为8，求椭圆C 的方程；(2)若PF 2⊥x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围． 解：(1)因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以PF 1＋PF 2＝Q F 1＋Q F 2＝2a ， 从而△P Q F 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且在椭圆上， 所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，且y 0＞0，Q (x 1，y 1)． 因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c,0)，所以PF 1―→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q ―→＝(x 1＋c ，y 1)． 由PF 1―→＝λF 1Q ―→，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1， 解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ， 所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b 2λa . 因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1， 从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宿迁调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A .若平行于AF 且在y 轴上截距为3－ 2 的直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A ，可得AF 的斜率为－b c ，则平行于AF 且在y 轴上截距为3－2的直线方程为y ＝－bc x ＋3－ 2.由该直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，可得|－3＋3－2|1＋b 2c2＝1，解得b ＝c ，所以e ＝c a ＝12＝22. 答案：222．(2018·连云港质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知PA ＋PB 的最小值等于A 1B ＝26， 因此椭圆C 的离心率e ＝AB PA ＋PB ＝4PA ＋PB的最大值为22613.答案：226133.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥Q F ，C 为P Q 中点，线段P Q 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段P Q 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线P Q 的方程． 解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以PF ＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线P Q 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0， 联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2(b 2－1)＝0， 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kb2k 2＋1＞0， ①x 1x 2＝2(b 2－1)2k 2＋1＞0， ②Δ＝8(2k 2－b 2＋1)＞0， ③由PF ―→·Q F ―→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 即(k 2＋1)x 1x 2＋(kb －1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝0， 代入化简得3b 2－1＋4kb ＝0.④由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b 2k 2＋1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kb2k 2＋1，b 2k 2＋1，所以线段P Q 的中垂线AB 的方程为y －b 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2kb 2k 2＋1.令y ＝0，x ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 2k 2＋1，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2k 2＋1，则A 为BC 中点， 故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2AF AO ＝2(1－x A )x A＝2⎝⎛⎭⎫1x A －1. 由④式得，k ＝1－3b 24b ，则x A ＝－kb 2k 2＋1＝6b 4－2b 29b 4＋2b 2＋1，所以S △BCF S △ABO ＝2⎝⎛⎭⎫1x A －1＝6b 4＋8b 2＋26b 4－2b 2＝53，解得b 2＝3. 所以b ＝3，k ＝－233或b ＝－3，k ＝233. 经检验，满足条件①②③， 故直线P Q 的方程为y ＝233x －3或y ＝－233x ＋ 3.。
2020届高三联考数学理科试题(含答案)
2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2019-2020学年第一学期高三综合测试理科数学参考答案
理科数学参考答案二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.023=+-y x 14.240 15.6 16.516三、解答题（共70分） 17.【解析】（1）根据题意sinsin()2A Ca b B C +=+，且πA B C ++=， πsinsin22A C B+-∴=，sin()sin(π)sin B C A A +=-=，……………………………2分 由正弦定理得πsin sin sin sin 2BA B A -=，………………………………………………3分因为0πA <<，故sin 0A >，即cos sin 2sin cos 222B B BB ==，0πB <<，π022B <<，1sin 22B ∴=，即π26B =，π3B =.…………………………6分（2）由题意可得：2221cos 2263a cb B ac b c a ⎧+-==⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：333a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.…………………………8分设ABC ∆内切圆半径为r ，119sin ()222ABCS ac B a b c rr ∆， 又19πsin sin 223ABCS ac B ∆，解得2r =，ABC ∆内切圆半径2r =．……12分 （注：也可以直接由等边三角形去求内切圆的半径）18.【解析】（1）证明：设AC 与BD 的交点为O ，连接O A 1, 因为AD AB =，AD A AB A 11∠=∠，11AA AA =， 所以AD A AB A 11∆≅∆， 所以D A B A 11=，又因为O 是BD 的中点，所以BD O A ⊥1， 另由AC BD ⊥且O O A AC =1 ，ABC1C D1A 1B 1D O所以⊥BD 平面AC A 1，而⊂BD 平面BD A 1，所以平面⊥AC A 1平面BD A 1.……………………………………6分（2）(法一）连接1OC ，由（1）知⊥BD 平面AC A 1， 所以O BC 1∠为直线1BC 与平面AC A 1所成的角θ， 因为2111==C B BB ，︒=∠12011C BB ， 所以321=BC ，又因为︒=∠60BAD ，所以1=OB ，所以63sin 1==BC OB θ．……………………………………………………………………12分 （法二）过O 作直线⊥OZ 平面ABCD ， 分别以OB 、OC 、OZ 为x 、y 、z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 依题意，得)0,3,0(-A ，)362,33,0(1-A ，)0,0,1(B ,)0,3,0(C ，)362,335,0(1C , 所以)362,332,0(1-=，)0,32,0(=，)362,335,1(1-=BC ， 设平面AC A 1的法向量为),,(z y x n =，所以⎪⎩⎪⎨⎧==-0320362332y z y ，令1=x ，则0==z y ，即)0,0,1(=， 所以631321sin =⨯==θ， 即直线1BC 与平面AC A 1所成的角θ的正弦值为63．…………………………………12分A1ABC1C D1A 1B 1D O19.【解析】（1）须抛掷两次才能获得大奖的所有可能情况如下：)2,2(,)7,2(,)1,3(,)6,3(,)4,5(,)11,5(,)3,6(,)10,6(,)2,7(,)9,7(,)1,8(,)8,8(, )6,10(,)5,11(,)4,12(，共15种情况.……………………………………………………6分（2）依题意得ξ的取值为48，360，1440,3240,5760, 则121)360(==ξP ,7271442121)1440(=+==ξP ,811446121)3240(=+==ξP , 1447)5760(==ξP ，4831)48(==ξP ， 所以ξ的分布列为：所以311717483601440324057608864812728144E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. ……………………………………………………………………12分20.【解析】（1）（1）因为1e )(+-='x mx f x，0x =是()f x 的极值点， 所以010e )0(0=+-='m f ，解得1=m ,即11e )(+-='x x f x , 又因为x y e =与11+-=x y 在),1(+∞-上单调递增， 所以当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-上单调递减，在),0(+∞上单调递增.……………………………………6分 （2）因为当4=m 时，14e )(+-='x x f x在),1(+∞-上单调递增， 因为034e )0(0<-=-='f ，02e 24e )1(1>-=-='f ， 所以存在)1,0(0∈x ,使得0)(0='x f ,即)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，另由0e )0(0>=f ，016ln lne ln24e )1(e 1<-=-=f ，而03ln 4e )2(2>⋅-=f ， 所存在)1,0(1∈x ,)2,1(2∈x ,使得0)()(21==x f x f ,即)(x f 有且仅有两个不同的零点.…………………………………………………………12分21.【解析】（1）因为212F F PF ⊥，所以设),(0y c P ，代入22221x y a b+=中解得a b y 20±=，即),(2a b c P ±，而)0,(1c F -，所以43)(212222222±=-⨯±=-±=±=±=a c c a ac c a acbc a b k ..………………5分 （2）当||m b ≥时，P Q 、两点在椭圆C 的同侧，易知PNM QNM ∠≠∠，故||m b <， 因为222a b c =+且12c a =，故2a c =，b =， 设椭圆C 为2223412x y c +=，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立方程组2223412x y c y kx m ⎧+=⎨=+⎩，化简得2222(34)8(412)0k x kmx m c +++-=，所以122834kmx x k +=-+，2212241234m c x x k -=+，又1212,PN QN y n y nk k x x --==，根据PNM QNM ∠=∠，易得0PN QN k k +=， 于是12120y n y n x x --+=，故211212()()0x y n x y n x x -+-=，即2112()()0x y n x y n -+-=， 故211212()()()0x kx m x kx m n x x +++-+=，化得12122()()0kx x m n x x +-+=，化简得222241282()03434m c kmk m n k k-⨯--⨯=++， 因为0≠k ，所以上式化简得222(3)()0,3m c m n m mn c ---⨯==，综上，可知满足条件的点N 是存在的，且2mn b =...………………………………………………………12分22.【解析】（1）由θcos a a x =-，θsin a y =，两边平方得222)(a y a x =+-， 故曲线1C 的普通方程为222)(a y a x =+-， 又由22y x +=ρ，x =θρcos ，代入2cos =-θρρ得222+=+x y x ，当2-≥x 时两边平方，并整理得442+=x y ，故曲线2C 的直角坐标方程为442+=x y .…………………………………………………6分 （2）联立1C 与2C 的方程得04)24(2=+-+x a x ， 因为0>a ，要使1C 与2C 有且仅有四个公共点， 则方程04)24(2=+-+x a x 有两个大于0的正根，所以⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆>--16)24(02242a a，解得⎩⎨⎧>>,4,2a a ，即a 的取值范围为),4(+∞.……………10分23.【解析】（1）由⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=5,8253 ,23,28)(x x x x x x f 得)(x f 的最小值2=m .…………………5分（2）由（1）知2422=+b a ，因为abb a b a 441)21(222++=+， 所以)441()4(21441222222ab b a b a ab b a ++⨯+⨯=++)2444(212222++++⨯=a b b a a b b a ， 因为2442222≥+a b b a ，44a bb a+≥（当且仅当a b 2=时取等号）， 所以2121()(242)42a b +≥⨯++=（当且仅当a b 2=时取等号）， 即122a b+≥（当且仅当a b 2=时取等号）， 当a b 2=，2422=+b a 时，解得1=a ，2=b ， 即122a b+≥（当且仅当1=a ，2=b 时取等号）.……………………………………10分。
2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用题型一 数列求和 【题型要点】(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1+n n a a c(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．(3)错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .(6)归纳猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．【例1】已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2·a 4＝a 23＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4，②由①②得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝2，或q ＝－23(舍)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n －1)＋1]·2n－2＋n ·2n －1＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)，设H n ＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①2H n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ①－②，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴H n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n＋1＋1－4·2n 1－4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-32n ·2n ＋23.当n 为奇数，且n ≥3时，T n ＝T n －1＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-35n ·2n －1＋23＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-322n ·2n －1＋23，经检验，T 1＝2符合上式， ∴T n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--为偶数为奇数n n n n n n ,32232,3223221【反思总结】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．题组训练一 数列求和已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2，求{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵等比数列{a n }满足6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)，n ＝1时，6a 1＝9＋a ；n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝3n ＋1＋a －(3n ＋a )＝2×3n .∴a n ＝3n －1，n ＝1时也成立，∴1×6＝9＋a ，解得a ＝－3，∴a n ＝3n －1.(2)b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)n 2(n ＋1)2＝(－1)n －1()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n当n 为奇数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1＋1(n ＋1)2； 当n 为偶数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1－1(n ＋1)2. 综上，T n ＝1＋(－1)n－11(n ＋1)2. 题型二 数列与函数的综合问题 【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点{b n ，a n }在函数y ＝log 2x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，∴b n ＝2an ＝24n ＝16n ，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列．T n ＝16(1－16n )1－16＝16n ＋1－1615.题组训练二 数列与函数的综合问题已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛na 1，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． 【解】 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n,0)，所以16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12.所以f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *)， 所以1a n ＋1＝1a n ＋2n ，即1a n ＋1－1a n＝2n .所以1a n －1a n －1＝2(n －1), 1a n －1－1a n －2＝2(n －2)，…1a 2－1a 1＝2，以上各式相加得1a n －14＝n 2－n ，所以a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． 题型三 数列与不等式的综合问题 【题型要点】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．【例3】设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32.(1)【解】 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，②由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)[证明] 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32＝32132132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n－1＝1－2×n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32≥1－2×232⎪⎭⎫ ⎝⎛＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内单调递增，因此f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×132+⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32. 题组训练三 数列与不等式的综合问题1.已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2a n .(1)求b n ，S n ；(2)设c n ＝b n ＋12，证明：c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)．【解】 (1)解 由题意知a 2＋a 1＝10，a 2＋a 3＝40，设{a n }的公比为q ，则a 2＋a 3a 1＋a 2＝q (a 1＋a 2)a 1＋a 2＝4，∴q ＝4.则a 1＋a 2＝a 1＋4a 1＝10，解得a 1＝2，∴a n ＝2·4n －1＝22n －1.∴b n ＝log 222n －1＝2n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)证明 法一∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2.要证明c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1，即证1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)<12(n ＋1)2，①当n ＝1时，1×2<12×(1＋1)2＝2成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立， 即1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)<12(k ＋1)2，则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，要证1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2，即证(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2－12(k ＋1)2，即(k ＋1)(k ＋2)<k ＋32，两边平方得k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋94显然成立，∴当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，不等式成立． 综上，不等式成立．法二 ∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，S n ＋1＝(n ＋1)2，由基本不等式可知n (n ＋1)≤n ＋n ＋12＝n ＋12，故1×2<1＋12，2×3<2＋12，…，n (n ＋1)≤n ＋12，∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)<(1＋2＋3＋…＋n )＋n 2＝n 2＋2n 2<n 2＋2n ＋12＝(n ＋1)22，即不等式c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)成立．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n，n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1<a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1<S n <2n .【证明】 (1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n1＋a 2n 知，a n >0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n1＋a 2n <0， ∴a n ＋1<a n ，n ∈N *. (2)由1a n ＋1＝1a n ＋a n ，得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2，从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ，又∵a 1＝1，∴T n ＝1a 2n ＋1－2n －1，n ∈N *. (3)由(2)知，a n ＋1＝1T n ＋2n ＋1，由T n ≥a 21＝1，得a n ＋1≤12n ＋2，∴当n ≥2时，a n ≤12n ＝22n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)，由此S n <a 1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)]＝1＋2(n －1)<2n ，n ≥2，又∵a 1＝1，∴S n <2n .另一方面，由a n ＝1a n ＋1－1a n ，得S n ＝1a n ＋1－1a 1≥2n ＋2－1>2n －1.综上，2n －1<S n <2n .【专题训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8, S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3na n a n ＋1的前n 项和T n .【解】 (1)因为S n ＝a n ＋12－n －1，故当n ＝1时，a 1＝a 22－1－1＝2；当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1－2n －2,2S n －1＝a n －2(n －1)－2，两式相减可得a n ＋1＝3a n ＋2； 经检验，当n ＝1时也满足a n ＋1＝3a n ＋2，故a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，故数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，故a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1.(2)由(1)可知，2×3n a n a n ＋1＝2×3n(3n －1)(3n ＋1－1) ＝13n－1－13n ＋1－1， 故T n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .【解析】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，两式相减得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，则a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，∵a 1＝2，∴a 2＝S 1＋2＝4，满足a 2a 1＝2，∴数列{a n }是以2为公比、首项为2的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n ；(2)由(1)得，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.【解析】 (1)∵4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2，∴a 2＝4.当n ≥2时，4S n －1＝a n －1·a n ，得4a n ＝a n ·a n ＋1－a n －1·a n .由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4. ①当n ＝2k ＋1，k ∈N *时，a 2k ＋2－a 2k ＝4，即a 2，a 4，…，a 2k 是首项为4，公差为4的等差数列， ∴a 2k ＝4＋(k －1)×4＝4k ＝2×2k ； ②当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1－a 2k －1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k －1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a 2k －1＝2＋(k －1)×4＝4k －2＝2(2k －1)． 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：∵1a 2n ＝14n 2>14n (n ＋1)＝14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n>14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝141－1n ＋1＝n 4n ＋4. 又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n <12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-+-12112171515131311n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n <12. 即得n 4n ＋4<T n <12.4．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由． 【解】 (1)因为A n ＝n 2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－(n －1)2，n ≥2， 即a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n ＝n ·2＋12·n ·(n －1)·1＝12n 2＋32n . (2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n －1)， 所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1(2n －1)·(2n ＋1－1)， 因为b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1211211n n 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ，所以1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ＜13恒成立，即b 1＞3⎪⎭⎫ ⎝⎛--+12111n ，所以b 1≥3.(3)由a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )得：a n ＋1－a n ＝2n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋23＋22＋2＝2n ＋1－2， 当n ＝1时，上式也成立，所以A n ＝2n ＋2－4－2n ， 又B n ＝2n ＋1－2，所以A n B n ＝2n ＋2－4－2n 2n ＋1－2＝2－n 2n －1， 假设存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t 成等差数列，等价于121－1，s 2s －1，t 2t －1成等差数列， 即2s 2s－1＝121－1＋t 2t －1，即2s 2s －1＝1＋t 2t －1，因为1＋t 2t －1＞1，所以2s 2s －1＞1，即2s ＜2s ＋1，令h (s )＝2s －2s －1(s ≥2，s ∈N *)，则h (s ＋1)－h (s )＝2s －2＞0所以h (s )递增， 若s ≥3，则h (s )≥h (3)＝1＞0，不满足2s ＜2s ＋1，所以s ＝2，代入2s 2s －1＝121－1＋t 2t －1得2t －3t －1＝0(t ≥3)，当t ＝3时，显然不符合要求； 当t ≥4时，令φ(t )＝2t －3t －1(t ≥4，t ∈N *)，则同理可证φ(t )递增，所以φ(t )≥φ(4)＝3＞0，所以不符合要求．所以，不存在正整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列．。
2020版高考数学总复习 综合试题(三)理(含解析)新人教A版
综合试题(三)理科数学 【p 327】 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某市对大、中、小学生的视力进行抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2∶3∶5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且中学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n 等于( )A ．1 500B ．1 000C ．500D ．150【解析】设抽到的大、中、小学生的人数分别为2x ，3x ，5x ，由3x ＝150，得x ＝50，所以n ＝100＋150＋250＝500.【答案】C2．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d＝( )A .12B ．2C .14D ．4【解析】由等差数列的前n 项和公式可知 S 10＝10a 1＋10×92d ，S 5＝5a 1＋5×42d ，因为S 10＝4S 5，所以10a 1＋10×92d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d ， 化简得a 1d ＝12.【答案】A3．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40【解析】因为二项展开式的各项系数和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n＝32，所以n ＝5，又二项展开式的通项为T r ＋1＝C r n(x 2)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －r＝C r n x 3r －n，令3r －5＝1得r ＝2，所以二项展开式中x 的系数为C 25＝10. 【答案】B4．函数f(x)＝⎩⎨⎧4－x 2－2（－2≤x<0），|x 2－x|（0≤x≤2）的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．5－πB ．1＋πC ．π－3D ．1－π【解析】函数f(x)＝⎩⎨⎧4－x 2－2（－2≤x<0），|x 2－x|（0≤x≤2）的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为－⎠⎛－20(4－x 2－2)d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x)d x ＝4－14π×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝4－π＋16＋83－2＋16＝5－π. 【答案】A5．体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上，且与上表面A 1B 1C 1D 1相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O －ABCD 的外接球的半径为( )A .103B .3310C ．2D .236【解析】∵球O 的体积为43π，球O 的半径为1，四棱锥O －ABCD 的外接球的半径为R ，则R 2＝(4＋1－R)2＋(22)2，解得R ＝3310.【答案】B6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1()a>0，b>0的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且||PF 2＝||F 1F 2，则双曲线C 的离心率为( )A .103B .43C .53D ．2 【解析】设PF 1与圆相切于点M ，则因为||PF 2＝||F 1F 2， 所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以||F 1M ＝14||PF 1，又因为在直角△F 1MO 中，||F 1M 2＝||F 1O 2－a 2＝c 2－a 2， 所以||F 1M ＝b ＝14||PF 1，①又||PF 1＝||PF 2＋2a ＝2c ＋2a ，② c 2＝a 2＋b 2，③故由①②③得，e ＝c a ＝53.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为__________． 【解析】z ＝(1＋m i )(2－i )＝2－i ＋2m i －m i 2＝2＋m ＋(2m －1)i ，因为z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，m ＝－2.【答案】－28．已知向量b 为单位向量，向量a ＝(1，1)，且|a －2b |＝6，则向量a ，b 的夹角为________．【解析】因为b 为单位向量，向量a ＝(1，1)，所以|a |＝2，|b |＝1，因为|a －2b |＝6⇒a 2－22a ·b ＋2b 2＝6，即2－22a ·b ＋2＝6⇒a ·b ＝－22，所以向量a ，b 的夹角为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3.【答案】2π39．已知函数f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，则f (x )的最小值为________．【解析】f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝12sin 2x ＋3sin 2x ＝12sin 2x ＋3×1－cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34π，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，76π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小值为－32，f (x )的最小值为－32＋32＝0. 【答案】010．在四边形ABCD 中，AB ＝7，AC ＝6，cos ∠BAC ＝1114，CD ＝6sin ∠DAC ，则BD 的最大值为________．【解析】由CD ＝6sin ∠DAC ，可得CD ⊥AD ，所以点D 在以AC 为直径的圆上(去掉A ，B ，C )，所以当BD 经过AC 的中点O 时取最大值，OB 2＝32＋72－2×3×7cos ∠BAC ＝25，解得OB＝5，所以BD 的最大值＝5＋12AC ＝8.【答案】8三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知函数f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g(x)＝1＋12sin 2x.(1)设x ＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x 0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题设知f(x)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π6＝k π，即2x 0＝k π－π6(k∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6.当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1－14＝34，当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32是增函数， 故函数h (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．12．(16分)2018国庆黄金周，国内出游人数达7.26亿，再创历史新高，全国各地景区人满为患，高速公路成为停车场．为解决人们假期出游问题，专家呼吁企业施行带薪休假，错峰出行．为了解企业对带薪休假方案的意见，某调查机构随机抽取了80家企业进行问卷调查，得到如下数据：(1)若用表中数据所得的频率代替概率，估计带薪休假为12天与10天，企业支持该方案的概率？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案带薪休假天数和不低于18天的概率；②如果用ξ表示两种方案带薪休假天数和．求随机变量ξ的分布列及期望． 【解析】(1)由表中信息可知，当带薪休假天数为12时，企业支持该方案的概率为340； 当带薪休假天数为10时，企业支持该方案的概率为18.(2)①设“两种安排方案带薪休假天数和不低于18”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10(种)，其和不低于18天的选法有8种，由古典概型概率公式计算得P (A )＝45.②由题知随机变量ξ的可能取值为26，24，22，20，18，16，14. 因而ξ的分布列为所以E (ξ)＝20.13．(18分)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋2x . (1)求证：对任意的x ≥0，有f (x )≤3x ；(2)若对任意实数x >1，不等式f (x －1)＋4>2x ＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x ，求k 的最大整数值．【解析】(1)由于f (x )≤3x ⇔ln(x ＋1)≤x ， 令g (x )＝x －ln(x ＋1)(x ≥0)． 由于g (0)＝0，g ′(x )＝1－1x ＋1≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，则g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≤3x .(2)当x >1时，f (x －1)＋4>2x ＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x ⇔x ln x ＋(2－k )x ＋4k >0.令h (x )＝x ln x ＋(2－k )x ＋4k (x >1)，h ′(x )＝ln x ＋3－k ，若k ≤3，则对任意x >1，有h ′(x )>0，即h (x )在(1，＋∞)上单调递增，由题设知，只需h (1)＝2＋3k ≥0，即－23≤k ≤3；若k >3，由h ′(x )＝ln x ＋3－k ＝0解得x ＝e k －3，当x ∈(1，e k －3)时，h ′(x )<0，h (x )在(1，ek －3)上单调递减； 当x ∈(ek －3，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(ek －3，＋∞)上单调递增．由题设知，只需h (x )min ＝h (e k －3)＝4k －ek －3>0.令H (k )＝4k －ek －3，由于H ′(k )＝4－e k －3为关于k 的单调减函数，则当k ∈(－∞，3＋ln 4)时，H ′(k )>0，即H (k )在(－∞，3＋ln 4)上单调递增， 当k ∈(3＋ln 4，＋∞)时，H ′(k )<0，即H (k )在(3＋ln 4，＋∞)上单调递减． 而H (3＋ln 4)＝8＋4ln 4>0，H (5)＝20－e 2>0，H (6)＝24－e 3>0，H (7)＝28－e 4<0，故3<k ≤6.综上所述，k 的最大整数取值为6.。
2020届全国高考复习理科数学综合检测二(全国卷)(解析版)
2021届高考复习综合检测二（全国卷）数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3 ．本次考试时间120 分钟，满分150 分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本题共12小题，每小题 5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x|x2－x－2>0｝，B＝｛x|log2x≤2｝，则A∩B等于（）A．（－∞，－1）∪ （0，＋∞ ）B．（2,4]C．（0,2）D．（－1,4]2－i2．复数z＝－对应的点在复平面内位于（）1＋iA．第一象限C．第三象限 3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.32 16 8 164．在△ ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2 3sin B，则 A 等于（）5．（2019 ·河南省郑州市第一中学适应性考试）已知函数 f （x）是定义在R 上的偶函数，且 f （0）B．第二象限D．第四象限A.π 2π 5 πB.3C. 3D. 6＝0，当x<0时， f (x)单调递增．若实数 a 满足 f (3－|a ＋1|)>f9．抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点．＝120°，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 |MN|的最大值为 ( ) |AB |A. 3 B ． 1 C.233 D. 3333，则 a 的取值范围是 ( ) 3A.32，B. －∞， －3∪ －1，＋∞22C.4， 3，D. －∞，4∪ －2，＋∞336．一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为()A.6＋6π 368＋ 2π 3 C.69＋2π 3 D. 67．已知函数 f (x)＝ Acos(ωx ＋ φ) πA>0， ω>0， |φ|<2 的图象如图所示， 若函数h(x)＝f (x)＋1的2 π π 4 πA. 3B.2C. 3 D ． π8． (2019 ·上海市吴淞中学期末 a －x 2)函数 f (x)＝|x ＋a 1－|－x1为奇函数的充要条件是 (A ． 0<a<1B ． a>1C ． 0<a ≤1D ．a ≥1且满足∠ AFB则 两个不同零点分别为 x 1， x ，|lg|x －1|| x ≠1 ，10．(2019 ·上海市曹杨中学期末 )设定义域为 R 的函数 f (x)＝则关于 x 的方0 x ＝ 1 ，程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0有 7个不同实数根的充要条件是 ( )数 t 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2) C ．(－∞， 3)第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上 )13．已知定义在 R 上的奇函数，当 x>0时， f (x)＝log 2x －3x ，则 f (－1)＝ ________ . 14．若 (x －1)5－2x 4＝a 0＋ a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋ a 3(x －2)3＋a 4(x － 2)4＋a 5(x －2)5，则 a 2＝15．设 f ′(x)和g ′(x)分别是 f (x)和g(x)的导函数，若 f ′(x) ·g ′(x)<0在区间 I 上恒成立，则1称 f (x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反．若函数 f (x)＝3x 3－2ax(a ∈R)与 g(x)＝x 2＋2bx(b ∈ R)在3区间 (a ，b)上单调性相反 (a>0) ，则 b － a 的最大值为 ______ ．16．已知圆 O ：x 2＋y 2＝1 与 x 轴负半轴的交点为 A ， P 为直线 3x ＋4y － a ＝0 上一点，过 P作圆 O 的切线，切点为 T ，若|PA|＝2|PT|，则 a 的最大值为 ______ ．三、解答题 (本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(12 分)在锐角△ ABC 中， a ，b ，c 为内角 A ，B ，C 的对边，且满足 (2c －a)cos B － bcos A ＝0.(1)求角 B 的大小；(2)已知 c ＝ 2，AC 边上的高 BD ＝3 721，求△ ABC 的面积 S 的值．A ． b<0 且 c>0C ．b<0 且 c ＝ 0B ． b<0 且 c<0D ． b ≥ 0 且 c 11．(2020 ·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知 O 为△ ABC 的外接圆的圆心， 且 3O →A ＋ 4O →B ＝－ 5OC ，则 C 的值为 ( )πA.4πD.1212．已知函数 f (x)＝ln x ＋ x － t 2t ∈R ，若对任意的 x ∈[1,2] ，f (x)>－x ·f ′(x)恒成立，则实B. －∞， 32D. －∞，18．(12 分)如图，在长方体ABCD －A1B1C1D 1 中，AA1＝1，底面ABCD 的周长4，E 为BA1 为的中点．(2)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1 与平面A1CD 所成的角θ.在椭圆 C 1 上．(1)求椭圆 C 1 的方程；(2)设 P 为椭圆 C 2上一点，过点 P 作直线交椭圆 C 1于 A ，C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点，则当点 P 变化时，试问△ AOC 的面积是否为常数， 若是，求出此常数， 若不是，请说明理由．20．(12 分 )当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部 门正在研制的 《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》 ，以及将出台的加强劳动教育 指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活 动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者 得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 8 局时停止．设甲在每局中获1胜的概率为 p p>12 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为19.(12 分 )已知椭圆 C 1： 22 a x 2＋b y 2＝1(a>b>0)和椭圆C 2：x 2＋y 2＝1 的离心率相同，且点 ( 2，1)5.9.(1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和均值E(X)．1－xx 121.(12分)函数 f (x)＝ln x＋(a∈R且a≠0)，g(x)＝(b－1)x－xe x－(b∈R)．ax x(1)讨论函数 f (x)的单调性；(2)当a＝1时，若关于x的不等式 f (x)＋g(x)≤－2恒成立，求实数b的取值范围．请在第22～23 题中任选一题作答．22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标4cos θx＝2＋tcos α，系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ2，直线l 的参数方程是(t 为参1－cos2θy＝2＋tsin α数，0≤ α<π．)(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线 C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,2)，求α.23．(10分)已知函数 f (x)＝m－|x＋4|(m>0) ，且 f (x－2)≥0的解集为［－3，－1］．(1)求m 的值；1 1 1(2)若a，b，c 都是正实数，且a＋2b＋3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.答案精析1．B [∵集合 A ＝ {x|x 2－x － 2>0} ＝{ x|x<－ 1或 x>2}， B ＝{x|log 2x ≤ 2} ＝ { x|0<x ≤ 4} ，∴A ∩B ＝{x|2<x ≤4}＝（2,4]．]2－i2－ i 1－ i1－ 3i 1 3i2．D [z ＝12－＋i i，即z ＝21＋－ii 11－－ii＝1－23i＝12－32i ，故z 在复平面内对应的点位于第四象限．]3． C [设小正方形的边长为 1，可得阴影平行四边形的底为2，高为 22，阴影等腰直角三角形的直角边为 2，斜边为 2 2，大正方形的边长为 2 2，4． A [∵sin C ＝2 3sin B ，∴由正弦定理得 c ＝2 3b ，则 c 2＝ 12b 2. 又 a 2－ b 2＝ 3bc ，那么 a 2＝ 7b 2， cos A ＝b2＋2c b 2c－a2＝46b 32b 2＝23∵A ∈（0，π，）∴A ＝6π.]5． B [∵f （3－|a ＋1|）＞f － 33 ，∴f （3－|a ＋1|）＞f 33 ＝f （3 2）， 又 f （x ）为偶函数，且在 （－ ∞ ，0）上单调递增，1∴f （x ）在（0，＋ ∞ ）上单调递减， ∴|a ＋1|＞2，31解得 a ∈ －∞，－32 ∪ －21，＋ ∞ .]6． B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为边长为 2 的11π·21正方形；半圆锥高为 3，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为 13× 3×22＋ 13× 3× π2·＝13327．A [由图象可知， A ＝2， 4T ＝23π－6π＝2π，∴T ＝2π，ω＝1，∴f （x ）＝ 2cos （x ＋φ），所以 P ＝2× 22＋ 21×2×2 2 2× 2 2由余弦定理得8＋ π 36 ，故选 B.] 3π π π ∵f 6 ＝2cos 6＋φ＝2，且 |φ|<2π， ππ∴φ＝－ 6，f （x ）＝2cos x －6 ，π令 h （x ）＝ f （x ）＋1＝ 2cos x － ＋ 1＝ 0，6π1可得 cos x －6 ＝－ 2，解得 x －π＝2π＋2k π，k ∈Z 或 x －π＝4π＋2k π，k ∈Z ，6 3 6 3x ＝5π＋2k π，k ∈Z 或 x ＝ 3π＋2k π，k ∈Z ，62则|x 1－x 2|的最小值为 32－56＝23 .]则（a ＋b ）2－ab ≥（a ＋b ）2－ a ＋2 b 2＝ 34（a ＋b ）2，3即|AB|2≥43（a ＋b ）2，8．C [f （x ）＝ a －x 2 |x ＋1|－1 f （－ x ） ＝ a －x 2|－x ＋1|－1f (x) 为奇函数，a － x 2 ＝－ a － x 2|x ＋ 1|－ 1＝－|－x ＋1|－1∴|x ＋1|＋ |x －1|＝2，∴－1≤x ≤1，考虑定义域 a －x 2≥0，即－ a ≤ x ≤ a(a>0)且 x ≠0， 由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形 ABPQ 中， 2|MN |＝ |AQ|＋|BP|＝a ＋b ， 由余弦定理得 |AB|2＝a 2＋b 2－2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab ，整理得 |AB|2＝ (a ＋ b)2－ ab ， 因为 ab ≤ a ＋2 b2，满足 a ≤1， ∴0<a ≤1.]设|AF|＝a ，|BF|＝b ， Q ，P ，当且仅当 a ＝b ，即 |AF|＝|BF|时取等号，故选 D.]10．C [令 t ＝f (x)，考虑方程 t 2＋bt ＋c ＝0的根， 该方程必有两个不同实数解， 设解为 t ＝t 1， t＝t 2，由题设方程 t1＝f ( x)和方程 t 2＝f (x)的解即为方程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0 的解， 因为方程 f 2(x)＋bf (x)＋c＝0 有 7 个不同的解，根据 f (x)的图象 (如图所示 )可得，直线 y ＝t 1与 y ＝f (x)的图象有 3 个不同的公共点， 直线 y ＝t 2与 y ＝f (x)的图象有 4 个不同的公共点，故 t1＝0，t 2>0，所以 c ＝0，t 2＝－ b>0 即 b<0，故选 C.]→ 1 → →且OC ＝－ 5(3OA ＋4OB)，→ → → 1 → → ∴OC ·OC ＝|OC|2＝ 215(3OA ＋4OB)2 ＝295|O →A|2＋2254O →A ·O →B ＋ 2165|O →B|2 ＝|O →C|2＋2254O →A ·O →B ， ∴24O →A ·O →B ＝0，∴∠ AOB ＝90°.25 如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,1) ，B(1,0)，由 3O →A ＋4O →B ＝ (4,3)＝－ 5O →C ，则 C ＝ 4π.]x 2－ln x ＋ 1－t 212．B [∵ f ′(x)＝2，11 22令 g(x)＝x ＋x ，又 g(x)＝x ＋x 在[1,2] 上单调递增，xx33∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴t <2.] 13．3解析 因为 f (1)＝ log 21－ 3＝－ 3， 又 f (x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f (－1)＝－f (1)＝3. 14．－ 38解析 令 x － 2＝t ，则 x ＝ t ＋ 2.由条件可得 (t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋ a 3t 3＋ a 4t 4＋a 5t 5， 故 t 2的系数为 C 53－2C 42×22＝－ 38，即 a 2＝－ 38.115.2解析 由题意知 f ′(x)＝x 2－2a ， g ′(x)＝2x ＋2b ， 函数 f (x)与 g(x) 在区间 (a ， b)上单调性相反， 则(x 2－ 2a)(2x ＋2b)<0 在 x ∈(a ，b)上恒成立， 又 0<a<b ，所以 2x ＋ 2b>0，于是 x 2－2a<0 在 x ∈( a ， b)上恒成立．可知 C4，－ 3 ，5，－5 ，则CA ＝45，85 ，C →B ＝ 95， 3， 5，CA ·CBcos C ＝|CA|×|CB|24 ＝ 2， 4 5× 3 10 2 5 × 53625 25又对任意的 x ∈ [1,2] ，f ′ (x) ·x ＋ f (x)>0 恒成立， ∴对任意的 x ∈ [1,2] ，2x2－2tx ＋1>0 恒成立，即对任意的 x ∈ [1,2] ， 2x 2－2tx ＋1> 0 恒成立，则 t <2x ＋12x＝ x ＋1 2x12 x ＋ 恒成立，x x 2易知x2－2a<0 的解集为（－2a，2a），所以（a，b）? （－2a，2a），所以b－a≤2a－a＝－a－21 2＋12，11当a＝21，b＝1 时，b－a取得最大值12.2316.3 解析易知A（－1,0），设P（x，y），由|PA|＝2|PT|，可得（x＋1）2＋y2＝4（x2＋y2－1），1 16化简得x－132＋y2＝196，可转化为直线3x＋4y－a＝0 与圆x－31 2＋y2＝196有公共点，所以d＝|1－a|≤4，5317 23 解得－137≤a≤233.23故 a 的最大值为233.317．解(1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0，由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0，∴ (2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A，2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0，1∵A＋B＝π－C 且sin C≠ 0，∴cos B＝2，∵B∈(0，π∴B＝π.311（2）∵ S△ABC＝2acsin B＝2BD ·b，代入c＝2，BD＝3721，sin B＝23，得b＝37a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4－2a，代入b＝37a，得a2－9a＋18＝0，解得a＝3，b＝7a＝6，b＝ 2 7，又∵三角形为锐角三角形，∴a2<c2＋b2，∴a＝3，b＝7.证明如下：如图，连接 AB 1， C 1D ， 则 AB 1C 1D 是平行四边形， ∵E 是 AB 1的中点，1∴AE ∥C 1D ，AE ＝2C 1D ， ∴AEC1D 为梯形， A ，E ， C 1，D 四点共面， 又EC 1与AD 为梯形的两腰，故 EC 1与 AD 相交.(2)设 AB ＝b ，AD ＝2－b ，VABCD －A 1B 1C 1D 1＝b(2－ b)×AA 1＝b （2－b ）≤b ＋22－ b2＝1，当且仅当 b ＝ 2－ b ，即 b ＝1 时取等号， 方法一 连接 BD （图略），设点 B 到平面 A 1CD 的距离为 h ，则根据等体积法 VB －A 1CD ＝VA 1 －BCD ，其中 S △A 1CD ＝21×CD ×A 1D ＝ 22， ∴h ＝22， 则直线 BA 1与平面 A 1CD 所成的角 θ满足 sin方法二 分别以边 AB ，AD ，AA 1所在的直线为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 B(1,0,0)，A 1(0,0,1) ，C(1,1,0)，D(0,1,0)，设平面 A 1CD 的法向量为 n ＝ （x ， y ， z ），11 ∴ S △ABC ＝2ac sin B ＝2×2× 3×3＝3 32＝218．解 （1）EC 1 与 AD 是相交直线VA 1－ BCD ＝13S △ BCD × AA 1＝16，36h1θ＝BA1＝2，π∵ θ∈ 0， 2 ，θ＝6π.BA 1＝(－1,0,1)， CD ＝(－1,0,0)， CA 1＝（－1， 1,1),－ x ＝ 0， 即－ x － y ＋z ＝ 0，取 z ＝ 1，则 n ＝ （0,1,1），n ·CD ＝ 0，则→n ·C →A 1＝∴sin θ＝ |cos 〈B →A 1， n 〉 |＝ 1＝2× 2＝1， 2，π ∵ θ∈ 0，∴θ＝6π.2 1 c 219．解 （1）由题意知， a 2＋b 2＝1，且a ＝ 2 ，即 a 2＝ 4， b 2＝ 2，所以椭圆 C 1的方程为 x 4 ＋y 2＝1.（2）是． ①当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P （ ± 2，0），此时 |AC|＝2，S△AOC＝ 2.② 当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k ，点 P （x 0，y 0），则 AC ：y － y 0＝ k （x － x 0），直线 AC 与椭圆 C 1联立，得 （1＋2k 2）x 2＋4k （y 0－kx 0）x ＋ 2（y 0－ kx 0） 2－ 4＝ 0，设 A 则 x 0＝ x1＋ x2＝－2k y0－k 2x0，即 x 0＝－2ky 0，1＋2k 2 0 02 2 21又 x 02＋ 2y 20＝2， ∴y 02＝1＋ 2k 2，S △AOC ＝21×|y01－＋k kx02|× 1＋k 216k 2 y 0－ kx 0 2－4 1＋2k 2 [2 y 0－ kx 0 2 －4]1＋ 2k 2 ＝2|y 0－ kx 0| 2 1＋ 2k 2 － 2 1＋2k 2 y 0－ kx 0 2＝21＋2k 2 |y 0| 2 1＋2k 2 － 1＋ 2k 2 2y 20 1＋2k 2＝ 2|y 0| 1＋ 2k 2＝ 2.综上， △AOC 的面积为常数 2.20．解 （1）依题意，当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有 p 2＋ （1－p ）2＝95，解得 p ＝ 32或 p ＝13（舍）．（2）依题意知， X 的所有可能值为 2,4,6,8.5 设每两局比赛为一轮， 则该轮结束时比赛停止的概率为 59.若该轮结束时比赛还将继续， 则甲、 乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．4从而有 P(X ＝ 2)＝59，5 5 20 P(X ＝4)＝ 1－9 × 9＝81，所以随机变量 X 的分布列为21．解 (1)∵ f (x)＝ln x ＋a 1x －1a ，1 1 ax － 1 ∴f ′ (x)＝ － 2＝2 (x>0) ， x ax 2 ax 2当 a<0 时， f ′(x)>0，∴f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增，1当 a>0 时，由 f ′ (x)>0 得 x> ； a1由 f ′ (x)<0 得 0<x< ，a11∴f (x)在 0，1a 上单调递减，在 a 1，＋ ∞ 上单调递增． aa11 综上，当a<0时，f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增；当a>0时，f (x)在 0，1 上单调递减，在 1，＋∞aa 上单调递增．(2)由题意，当 a ＝ 1 时，不等式 f (x)＋g(x)≤－2，11即 ln x ＋ －1＋(b － 1)x －xe x － ≤－2，xxln x 1即 b －1≤ e x －ln x x － 1x 在 (0，＋ ∞)上恒成立，xx1 令 u(x)＝ x 2e x ＋ ln x ，则 u ′ (x)＝ (x 2＋ 2x)e x＋ x >0，x∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，P(X ＝6)＝ 1－ 59 × 1－5 ×5＝80，9 9 729 P(X ＝8)＝×5－1×5－1－5 ×1＝ 64. －9 729.则 E(X)＝2× 59＋4×2810＋6×78209＋8×64 729 2 522729 . 令 h(x)＝ e x － ln xxx1， x ，则 h ′(x)＝ e x － 1－ lnx x 2＋x 2＝x 2e x ＋ ln xx 2又 u （1）＝ e>0， u 1 ＝ e －ln 2<0，∴u(x)有唯一零点 x 0 2<x 0<1 ， 所以 u(x 0)＝0，即 x 0ex 0＝－ln x0，(*)x 0当 x ∈(0，x 0)时，u(x)<0，即 h ′ (x)<0 ， h(x)单调递减； x ∈(x 0，＋∞)时，u(x)>0，即 h ′( x)>0 ， h(x)单调递增， ∴h(x 0)为 h(x)在定义域内的最小值．x 1令k(x)＝xe x 2<x<1，则方程 (*)等价于 k(x)＝k(－ln x)，1又易知 k(x)单调递增，所以 x ＝－ln x ，e x ＝ x 1，x∴h(x)的最小值为∴ b － 1≤ 1，即 b ≤2， ∴实数 b 的取值范围是 (－∞，2］．4cos θ22．解 (1)曲线 C ：ρ＝2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为 y 2＝4x.y 2＝4x ，(2)方法一 联立 x ＝2＋tcos α，y ＝2＋tsin α，则(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)， 即 t 2sin 2α＋ (4sin α－ 4cos α)t － 4＝ 0.由 AB 的中点为 M(2,2)，得 t 1＋ t 2＝0，有 4sin α－ 4cos α＝0， 所以 k ＝tan α＝1，π由 0≤α<π 得α＝ .方法二 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则（y 1＋ y 2）（ y 1－ y 2）＝ 4（x 1－ x 2），y 1－y 2 y 1＋y 2＝4，∴k ＝tan α＝＝1，x 1－x 2由 0≤α<π得α＝π.方法三设 A4，y1，B 4，y2 (y 1<y 2)，则由 M(2,2)是 AB 的中点，得4＋4＝4， ? y 1＋y 2＝4，ln x 0 1 1－x0 124y 21＝ 4x 1，y1y2＝0，y1＋y2＝4y1<y2，∴y1＝0，y2＝4，知A(0,0)，B(4,4)，π ∴k＝tan α＝1，由0≤α<π 得α＝.4方法四依题意设直线l：y－2＝k(x－2)，与y2＝4x联立得y－2＝k y4－2 ，即ky2－4y－8k＋8＝0.4由y1＋y2＝＝4，得k＝tan α＝1，k因为0≤α<π ，所以α＝4π.23．(1)解依题意 f (x－2)＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m，则－m－2≤x≤－2＋m，－m－2＝－3，∴m＝1.－2＋m＝－1，1 1 1(2)证明∵a1＋21b＋31c＝1(a，b，c>0)，∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1a＋21b＋31c ＝3＋a＋2b＋a＋3c＋2b＋3c≥9，2b a 3c a 3c 2b3当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝2，c＝1时取等号．4。
高三试卷数学(理)丨黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(三)数学(理)试卷及参考答案
大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学试卷参考答案1．已知集合{|A x y ==，{}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（）A ．{}|1<<3x x B ．{}|1<<6x x C ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A 【详解】解：{|A x y ==={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ，故选A.2．i 是虚数单位，复数z =，则（）A ．1322z -=B ．34z =C ．3322z i =-D ．3344z i =+【答案】D 【详解】3333444z i +===+1122z -=，3||2z =故选：D 3．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ”的充分不必要条件；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解.A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④【答案】A【详解】①1x >，则有21x ≥，但21x ≥，则1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件，所以①正确；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故③错误；④当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确.故选：A.4．二项式261(2x x-的展开式中3x 的系数为（）A ．52-B ．52C ．1516D ．316-【答案】A 【详解】通项为()()6212316611122rrrr r r rr T Cx C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A5．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（）A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线0x y +=，0x -=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）A ．60B ．120C ．180D ．240【答案】C 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能；若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际，故选：C .7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α【答案】D【详解】选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确；选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确；选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确；选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确.故选：D 8．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】1()ln1xf x x x+=-定义域为：(1,1)-11()lnln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C 11()22ln 30f =>，排除D 故选B 9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（）A ．6i >，7S S =B ．6i 7SS =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S=【答案】A 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7SS =，故选：A.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（）A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===，所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--；同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D【详解】因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在面ABCD 内的射影落在正方形ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O ,连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE==,所以971442PE R OE=-=-=或97444PE R OE=+=+=，当12PE=时，32PA==,则PA与底面ABCD所成角的正弦值为112332PEAP==,当4PE=时，PA===则PA与底面ABCD所成角的正弦值为3PEAP==,即PA与底面ABCD所成角的正弦值为13或3，故选D.13．已知平面向量a与b的夹角为3π，1)a=-，1b||=，则|2|a b-=________.【详解】由1)a=-可得||2a==，则||||cos13a b a bπ⋅=⋅=，所以|2|a b-===故答案为:14．已知各项均为正数的等比数列{}n a的前n项积为n T，484a a=，1122log3bT=（0b>且1b≠），则b=__________.【答案】由于0na>，24864a a a⋅==，所以62a=，则11111162T a==，∴1122log11log23b bT=⨯=，2log23b=，233b==故答案为：15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y+的最大值为________.【答案】16【详解】由三视图之间的关系可知2210802x y=--,整理得22128x y+=,故22222()2()2562xx y x y x yy=++=++≤,解得16x y+,当且仅当8x y==时等号成立,故答案为:1616．已知曲线1C ：()2xf x e x =--，曲线2C ：()cosg x ax x =+，（1）若曲线1C 在0x =处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a =________；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为1l ，总存在2C 上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为________.【答案】－21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】(1)()2x f x e '=--,则曲线1C 在0x =处的切线的斜率1(0)3k f '==-,2()sin ,g x a x C '=-在2x π=处的切线的斜率212k g a π⎛⎫'==- ⎪⎝⎭,依题意有13a -=-,即2a =-;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--,则与1l 垂直的直线的斜率为110,22x e ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭,而过2C 上一点处的切线的斜率[]2()sin 1,1k g x a x a a '==-∈-+,依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩,解得112a -≤≤,故答案为:12;,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+，2sin sin cos 2CA B =，（1）求C ；（2）若ABC的面积为c ．解：（1）()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+ ，由正弦定理得:()()()c a c a a b b -+=+，∴222a b c ab +-=-，又由余弦定理得：222cos 2a b c C ab+-=，1cos 22ab C ab -∴==-，即：1cos 2C =-，∵0C π<<，∴23C π=.（2）因为21cos sin sin cos 22C C A B +==，所以()2sin cos 1cos 1cos A B C πA B =-=+-+⎡⎤⎣⎦()1cos 1cos cos sin sin A B A B A B=-+=-+化简得()cos 1A B -=，∵23C π=，则A ，0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴33ππA B -<-<，∴0A B -=，得：A B =，因为ABC的面积为，所以212sin 234πS ab a ===，得216a =，∴4a b ==由余弦定理知：2222212cos 44244482c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ；（2）若PE EC λ=，F 是PB的中点，AD =，22AB AP CD ===，且二面角F AD E --的正弦值为10，求λ的值.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AB AD ⊥,PA AB A = ,所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB ;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P,C,D ,(0,1,1)F ,由(1)知AD ⊥平面PAB ,故AD PB ⊥,又F 是PB 的中点,AB AP =,∴PB AF ⊥,且AF A AD = ,∴PB ⊥平面ADF ,∴平面ADF 的一个法向量为(0,2,2)PB =-,∵PE EC λ=,∴2,,1111PE PC λλλλλλλ⎛⎫-== ⎪ ⎪++++⎝⎭ ,∴2,,111AE AP PE λλλλ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z = ,则0n AD ⋅=且0n AE ⋅=r uu u r ,0=且20111x y zλλλλλ++=+++,∴0x =,令1y =,则2z λ=-,∴平面ADE 的一个法向量0,1,2n λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,∵二面角F AD E --的正弦值为10,∴()cos ,10PB n = ,31010=,∴1λ=或4.19．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-,所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=;(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,2231212(15)3327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,30311(15)327P x C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,故得分为x 的分布列为:x30150-15812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===,故y 的分布列为:x30150P110610310故163015121010Ey =⨯+⨯=,∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲.(2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=,②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥),∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥),又11122P -=,所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列,∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).20．如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB=，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ；（2）求MNF ∆面积的最大值.【详解】（1）∵8AB =,∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c -=-⇒-+=∴12e =∴2c =,22212b a c =-=∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0-直线l 的方程为()184y x =+即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设()()1122,,M x y N x y ，()00,H x y 则124813y y +=，123613y y =所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=-直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---= ⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设()()1122,,M x y N x y ()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+222248144143434m MN m m m ⎛⎫=+⋅-⨯ ⎪++⎝⎭222241434m m m +⋅-=+点F 到直线l 的距离2228611d m m -==++2211223434MNFm m m S MN d m m ∆=⋅=⨯=++7216=≤=当且仅当=m =时（此时适合于△＞0的条件）取等号,所以当114k m ==±时，直线l为()814y x =±+时，MNF ∆面积取得最大值为21．已知函数()()1ln 1f x x x =++，()ln 1x g x e x -=++（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最小值为M ，证明：2211M e e--<<-.【详解】(1)()()1ln 1ln ln 1f x x x x x x =++=++()1ln 1f x x x+'=+，设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x-=++=-='()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增()()min 120m x m ==>，即()0f x ¢>所以()f x 在()0,+¥上单调递增(2)()()()()1ln ln ln x xh x f x g x x x e x x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++'，设()ln 1x F x e x -=++()11x x x e x F x e x xe='-=-+，设()x G x e x =-()10x G x e ='->，所以()G x 在()0,+¥上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在()0,+¥上单调递增()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在()0,+¥上恰有一个零点()210,x e e --∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e ==-=++，()210,x e e --∈由（1）知()0f x 在()0,+¥上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=-所以2211M e e --<<-22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PA PB PB PA+的值．【详解】解：（1）l 的参数方程消去参数，易得l 的普通方程为10x y --=，曲线C：()2cos sin 2πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即()22cos sin ρρθθ=+，∴22220x y x y +--=，所以曲线C 的直角坐标方程为：22220x y x y +--=.（2）l的参数方程22,21,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设A 对应参数为1t ，B 对应参数为2t ，将l 的参数方程与22220x y x y +--=联立得：210t +-=，得：12t t +=，121t t ⋅=-，所以2212122112PA PBt t t t PB PAt t t t ++=+=()()2212121221222411t t t t t t -⨯-+-+====-即4PA PBPB PA +=.23．设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥.【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++，即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=，所以a b c ++得证．。
2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试 理科数学
2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试理科数学参考答案1．答案：D 解析：12(1){|1},{|1}A x y x x y x x A x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-===>∴=⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎩⎭R ≤ð， 2{|20}{|(2)0}{|02}B x x x x x x x x =-<=-<=<<，()(0,1]A B ∴=R I ð．2．答案：B 解析：设i (,)z a b a b =+∈R ，则i 48i z z a b +=++=+，64,68i 88a a zb b ⎧=-⎧⎪+=∴⇒∴=-+⎨⎨==⎩⎪⎩，所以复数z 在复平面内所对应的点在第二象限．3．答案：D 解析：192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====．4．答案：A 解析：设()x x x f x e e -=+，则()()x xxf x f x e e ---==-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ，且当x →+∞时，()0x xxf x e e-=→+，排除D ，选A ． 5．答案：C 解析：由12f T ωπ==，可知若12()f nf n *=∈N ，则必有12()n n ωω*=∈N ，故选C ．6．答案：B 解析：若22a b b a =r r r r 成立，则22a b b a =r r r r ，则向量a r 与b r的方向相同，且22a b b a =r r r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ；若a a b b =r r r r ，则向量a r 与b r的方向相同，且22a b =r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ．所以“22a b b a =r r r r”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件．7．答案：C解析：2121cos 21cos 21112()sin ()cos 222262x x f x x g x x πππ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭==−−−−−−→==--+ ⎪⎝⎭向右平移个单位， cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭Q ，()g x ∴的值域为[0,1]，①错误；当12x π=时，206x π-=，所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴，②正确；当3x π=时，262x ππ-=，所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭，③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭，则121212,,()1,()1,()()1x x g x g x g x g x ''''∃∈=-=⋅=-R ，则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，④正确．8．答案：D 解析：窗花的面积为21241140-⨯=，其中小正方形的面积为5420⨯=， 所以所求概率1402061407P -==．9．答案：A解析：AB =PB h =，则由2PA PB =2h =，解得1h =，可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则22,1R R ===， 所以外接球的体积34433V R ππ==． 10．答案：C解析：所有可能的情况有3464=种，其中最大值不是4的情况 有3327=种，所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种．11．答案：B解析：b a >Q ，所以离心率c e a ==>圆222()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，必有TF =，而焦点(,0)F c 到双曲线渐近线的距离为b，所以TF b =≥，即ba所以c e a ==所以双曲线12．答案：解析：设M 设()ln 3g t t t =+，则22()33g t t t t '=-=，当03t <<时，()0,()g t g t '<单调递减，当3t >时， ()0,()g t g t '>单调递增，所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭，1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2． 13．答案：2解析：设符合条件的点00(,)P x y ，则00015,4,4PF x x y =+=∴==±，所以符合条件的点有2个．14．答案：112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：当1n =时，1111221S a a a +==-⇒=-，由2n n S a +=-，可知当2n ≥时，112n n S a --+=-，两式相减，得120n n a a --=，即11(2)2n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为12的等比数列，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．15．答案：13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，132- 解析：由(2)1628210f λ=---≥，解得132λ-≤． 当n 为奇数时，cos 1n π=-，由32()2710f n n n n λ=+--≥，得2127n n nλ+-≤， 而函数21()27g n n n n=+-为单调递增函数，所以min ()(1)8g n g ==，所以8λ≤． 当n 为偶数时，cos 1n π=，由32()2710f n n n n λ=---≥，得2127n n nλ--≤，设21()27(2)h x x x x x =--≥，则212,()470x h x x x '∴=-+>Q ≥，()h x ∴单调递增，min 13()(2)2h x h ∴==-．所以132λ-≤，综上可知，若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为132-．16．答案：①②③④解析：取CD 中点G ，连接EG ，则1//EG A B ，所以平面1A BE 即为平面1A BGE ，取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得111//,//B M BG B N A E ，从而平面1//B MN 平面1A BGE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ，平面1B MN 即为平面α．①取F 为MN 中点，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故①正确；②设正方体的棱长为2，当点F 为MN 中点时，直线1B F 与直线BC所成角最小，此时12C F =，11111tan C F C B F B C ∠==，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时111tan 2C B F ∠=，所以直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是142⎤⎥⎣⎦，②正确； ③取F 为MN 中点，则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B CB FC C F∠==，所以③正确；④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中， 平面ABCD ，平面1111A B C D ，平面11BCC B ， 平面11ADD A 与平面α所成的角相等，所以④正确．17．解：（1）在ABC △，cos C =，所以2sin 3C ==.…………………………1分 所以 cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223236=-= (5)分 （2）由（1）可知cos 06A =<，所以2A π>．因为sin sin AD DC C DAC =∠，所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DACλ===∠∠．……………………8分 因为0DAC BAC <∠∠≤，所以 sin (0,1]DAC ∠∈．…………11分ABCDD 1A 1B 1C 1EGMNF CAB所以2,3λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭………………………………12分18．解析：（1）证明：取AD 中点为O ，连接PO ． PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥． 因为PAD ABCD ⊥平面平面且相交于AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO DC ⊥．因为//,AB CD AB PA ⊥，所以CD PA ⊥．因为PO PA P =I 在平面PAD 内，所以CD PAD ⊥平面． 所以PCD PAD ⊥平面平面．………… 3分（2）以O 为原点，过O 作AB 的平行线OF ，分别以OA , OF ，OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．设2AB AD ==，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,4,0)C -，P ．………… 5分因为M 在棱PC上，可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈u u u u r u u u r u u u r，所以(1,4))AM t t t =---u u u u r．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r，因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-u u u r u u u r，所以22040x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，可得11x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即n =r ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，所以sin cos ,AM n AM n AM n θ⋅===u u u u r ru u u u r r u u u u r r ． 可知当110t =时， sin θ；…………8分（3）设2,AD DC m ==，则有(1,,0)P C m -，得(1,,PC m =-u u u r ．设AN PMk AM PC==，那么,PM k PC AN k AM ==u u u u r u u u r u u u r u u u u r，所以(,,)PM k mk =-u u u u r．所以(,))M k mk k --．因为(1,0,0),(1,))A AM k mk k =---u u u u r所以．22,(,(1))AN k AM AN k k mk k ==---u u u r u u u u r u u u r因为所以．所以22(1,(1))N k k mk k --+-．又因为(1,0,0),1,,02m D B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22(2,(1))DN k k mk k =--+-u u u r ．(1,0,2,,02m PD DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，有0202x m x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩x =令1x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩,1n m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r …………10分 因为N 在平面PDB 内，所以DN n ⊥u u u r r ．所以0DN n ⋅=u u u r r．所以222)(1)0k k mk k m--++⋅-=．即2210k k +-=， 所以12k =或者1k =-（舍），即12AN AM =………………………………………………………12分19．解（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥，由于X 满足二项分布，故0.0013500.065EX =⨯= …………--5分（2）由题意可知不合格率为250，若不检查，损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-，若检查，成本为10n ，由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-，当n 充分大时，2()102005E Y n n -=->所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件． ………………………………12分 20．解：（1）由题意可知2b =，3c a =，又由222a c b -=，得a c == 所以椭圆M 的方程为22164x y +=；……………4分（2）证明：设直线l 的方程为为：1y kx =+，联立221164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元可得：22(23)690k x kx ++-=，设1122(,),(,)Q x y N x y则有12122269,2323k x x x x k k+=-=-++ (8)因为121222,AQ AN y y k k x x ++==， 所以2222121212Q 1212223()92232A ANy y k x x k x x k k k k k x x x x +++++⋅=⋅==+--=-又因为点B 与点Q 关于原点对称，所以11(,)B x y --，即112AB y k x -+=-， 则有21112111224AQ ABy y y k k x x x +-+-⋅=⋅=--22所以23AQ ABk k ⋅=-，所以AQ AN AN AB AQ AB k k k k k k ⋅==⋅所以存在实数3λ=，使AN AB k k λ=（2）解法二：证明：设直线l 的方程为为：联立221164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元可得：22(23)k x +则有12122269,2323k x x x x k k+=-=-++……………8分 121223x x k x x +∴=，12123()2x x kx x +=，222AN y k x +=，112AB y k x -=， 所以1212121121121221211221223()3(2)(3)393233()(2)(1)32AN ABx x x k y x kx x kx x x x x x x k x y x kx kx x x x x x +-++++======+---+-，所以存在实数3λ=，使AN AB k k λ=成立．………………12分 21．解析：（1）当12x >时，'()(2)kxf x k x e -=-，(())(2)0kx f x k ke -''=+>，所以()f x '在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增．所以21()(1)02kf x f k e -⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭．所以()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以函数()f x 没有极值点；…………………………………4分（2）22()()ln (1)ln kxg x f x x m x k x m x e -=+-=+-+，存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，即存在121,,2x x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭且12x x <，使12()()g x g x =．……… 6分由12()()g x g x =可得：21222121(ln ln )(1)()()kx kx m x x k x x ee ---=+-+-，12x x <，由（1）可知21()()f x f x >，可得：212221()kx kx e e k x x --->--．所以222121(ln ln )m x x x x->-，即22212122ln x x m x x ->．……………………8分 下面证明222112212ln x x x x x x ->,只需证明：221221112ln x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>． 令211x s x =>,则证：212ln s s s ->，即12ln 0s s s -->．……………………………………10分 设1()2ln h s s s s=--，那么22(1)()0s h s s -'=>． 所以()(1)0h s h >=．所以122mx x >，即122m x x >．………12分 22．解析：（1）曲线M 的极坐标方程是12ρ=．………………………………………4分（2）当3π4θ=时，线段OA 取得最小长度为22332sin(2π)4=-⨯．…………………………6分因为曲线M 是以原点为圆心，半径为12的圆，所以 12OA >． 所以点A 与曲线M 的位置关系是点A 在曲线M 外．………10分23．解析：（1）2,1,1,1a b c d ====-．（答案不唯一）………………………………4分（2）证明：由题意可知，0a ≠． 因为a c d ≥≥，所以()()0a c a d --≥． 所以2()0a c d a cd -++≥，即2()a cd c d a ++≥．……-7分 因为0a b >≥，所以cd a c d a ++≥．因为ab cd ≥，所以 cdb a≥． 所以cda b a c d a+++≥≥．………………10分。
2020届高三数学理综合试题石家庄
博达学校2020届高三数学〔理〕综合测试〔4〕总分值：150分时间：120分钟一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
1.集合2{|13},{|log (2)}A x x B x y x =-≤≤==-,那么集合A∩B=( )A.{x|-1≤x<2}B.{x|2<x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|x>2}2.命题P:“(,0),23x x x ∀∈-∞≥〞的否认形式¬p 为( )000.(,0),23x x A x ∃∈-∞<000.(,0),23x x B x ∃∈-∞≤ .(,0),23x x C x ∀∈-∞<.(,0),23x x D x ∀∈-∞≤3.i 是虚数单位,且1,iz i-=那么z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.0.20.30.20.3,5,log 5,a b c ===那么a,b,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a5.要得到函数πsin(2)3y x =-的图象,只需将函数y=sin2x 的图象( ) A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移3π个单位 D.向右平移6π个单位 6.实数x,y 满足约束条件20250,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩那么3y z x =+的最大值为( )3.5A 4.5B 3.4C 3.2D 7.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,假设(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),b+c=4,那么△ABC 的面积的最大值为( )1.2A B.32C.1 .3D8.假设双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22420x y y +-+=所截得的弦长为2,那么双曲线C 的离心率为( ).3A 23.3B C.2 .2D9.如图,在矩形ABCD 中,AB=2BC=2,动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上,那么AM BD ⋅的最大值是( )A.-1B.5.35C -+.35D +10.数列{}n a 满足:111,31,n n a a a n +=+=+那么数列*21211{}()n n n N a a -+∈的前30项的和为( )29.90A 29.88B 10.93C 30.91D 11.函数f(x)对于任意x ∈R,均满足f(x)=f(2-x),当x≤1时,ln ,01(),,0x x x f x e x <≤⎧⎪=⎨≤⎪⎩(其中e 为自然对数的底数),假设函数g(x)=m|x|-2-f(x),以下有关函数g(x)的零点个数问题中正确的为( )A.假设g(x)恰有两个零点,那么m<0B.假设g(x)恰有三个零点,那么32m e << C.假设g(x)恰有四个零点,那么0<m<1D.不存在m,使得g(x)恰有四个零点12.抛物线2:8C y x =的焦点为F,111222333(,),(,),(,)P x y P x y P x y 为抛物线C 上的三个动点,其中123x x x <<且20,y <假设F 为123P P P ∆的重心,记133P P P ∆三边121323,,PP PP P P 的中点到抛物线C 的准线的距离分别为123,,,d d d 且满足1322d d d +=,那么13P P 所在直线的斜率为( )A.13.2B C.2 D.3二､填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13.在平面直角坐标系中,角α的终边经过点P(-1,2),那么sinα=_____. 14.61()x x+的展开式的常数项是_____.(用数字作答)15.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,AB=2AP=4,∠PAB=∠PAD=60°,那么∠PAC=_______;四棱锥P-ABCD 的外接球的外表积为_______(第一个空2分,第二个空3分)16.数列{a n }满足：a 1＝a 2＝a 3＝1，1121n n n n a a a a -+-+=(n ≥3，n ∈N *)，数列{b n }满足：21n n n n a a b a +++=(n ∈N *)。
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高三数学理科第1页（共2页）2020年高三综合复习检测题高三数学（理科）时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分 .考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U =Z ，集合{|04}A x x =∈<<N ，2{|540}B x x x =-+=， 则()U A B =I ð ( ) （A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,4}（D ）∅（2）已知复数z 满足(2)2z i i -=+，则z 在复平面内对应的点位于 ( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3） 如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为 ( )（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（4） (1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是 ( ) （A ）－4 （B ）－3 （C ）3 （D ）4 （5）设 a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )（A ）a ＜b ＜c （B ）b ＜c ＜a（C ）b ＜a ＜c （D ）c ＜b ＜a（6）sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )（A ）－sin α （B ）－cos α （C ）sin α （D ）cos α（7）已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是 ( )（A ）π6 （B ）5π6 （C ）.π4 （D ）3π4（8）已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题错误．．的是 ( ) （A ）如果α∥β，n α⊂，那么n ∥β （B ）如果m α⊥，n ∥α，那么m n ⊥ （C ）如果m ∥n ，m α⊥，那么n α⊥（D ）如果m n ⊥，m α⊥，n ∥β，那么αβ⊥（9）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是 ( )（A ）1936 （B ） 12 （C ）736 （D ）518（10）若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) （A ）(1,3) （B ）(1,2) （C ）(0,3) （D ）(0,2)（11）函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的值为( )（A ）74 （B ）32 （C ）2 （D ）54（12）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，C 的右支上一点P 满足1260F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF距离是2，则C 的离心率为( ) （A（B（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）已知函数 f (x )在 R 上单调递减，且为奇函数，则满足 f (x ＋1)＋f (x －3)＜0 的 x 的取值范围为______．高三数学理科第2页（共2页）（14）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________.（15）直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是________.（16）已知球O 表面上的四点A ，B ，C ，D满足AC BC =90ACB ∠=︒，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则球O 的表面积为________. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分12分）设 S n 是数列{a n }的前n 项和，且 a 1＝－1， a n+1＝S n ·S n+1．（1）证明：数列{1S n}是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式．（18）（本小题满分12分） “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.（19）（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面ABC ，1AA AC =，AC BC ⊥.(1)证明：1A C ⊥1AB ；(2)设2AC CB =，160A AC ∠=o ， 求二面角11C AB B --的余弦值.2020年3月 检测考试高三数学试题（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）(1，＋∞); （14）π3 ; （15）y 2＝－8x ; （16）25π4三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分10分）解：（1）因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1－S n ＝Sn ·S n ＋1．两边同除以S n ·S n ＋1得1S n ＋1－1S n＝－1．因为a 1＝－1，所以1S 1＝－1．因此数列{1S n }是首项为－1，公差为－1的等差数列．……………（6分）（2）由（1）得1S n ＝－1＋(n －1)(－1) ＝－n ，S n ＝－1n ．当n ≥2时，a n ＝S n －1·S n ＝1n (n －1)．1高三数学理科第3页（共2页）于是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， n ＝1，1n (n －1)， n ≥2，∈N *．……………（12分）（18）（本小题满分12分）解： (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………5分(2)X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125∴2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………12分或解：∵随机变量X 服从23 5X B ⎛⎫⎪⎝⎭∼，，∴26355EX np ==⨯=. …………12分（19）（本小题满分12分） 解：(1)连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11AC AC ⊥. ∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C I 平面ABC AC =， BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面11AAC C .又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ∵1111AC B C C =I ，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ，∴1A C ⊥1AB . …………………………5分 (2)取11A C 的中点为M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=o，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥.又∵CM BC ⊥，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=o ，∴C (0，0，0)，1A (1，0，3)，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B (-1，1，3).由(1)知，平面11C AB 的一个法向量为()1103CA =u u u v，，.设平面1ABB 的法向量为()n x y z=v，，，则1 n AB n AB ⊥⊥v u u u v v u u u u v ，，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v u u u vv u u u u v. ∵()2 1 0AB =-u u u v ，，，()13 1 3AB =-u u v，，，∴20330x y x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩.令1x =，得23y z ==，，即 123n ⎛= ⎪⎝⎭v ，，. ∴1113cos 1623CA nCA n CA n⋅<>===⋅⨯u u u v vu u u v v u u u v v ，， ∴二面角11C AB B --的余弦值为3-. ……………………………12分 （20）（本小题满分12分）解：(1)由题可知c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.高三数学理科第4页（共2页）∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.……………………………5分(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2.∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m4＋m 2＋2＝0， 整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.……………………………12分 （21）（本小题满分12分）解： （1）当0a =时，()ln(2)(1)f x x x =+-+，定义域为(2,)-+∞，由1()02x f x x +'=-=+得1x =-．当x 变化时， f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当1x =-时，f (x )取得极大值0，无极小值． ………（5分）（2）1()e [1(1)]2ax f x a x x '=-+++，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以21()e [(1)2]0(2)ax f x a a x x ''=--++<+，()f x '在(1,)-+∞单调递减．因为(1)1e 0a f -'-=->，1(0)02f b '=--<，所以存在1(1,0)x ∈-，使1()0g x '=，当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<，所以()f x 在1(1,)x -单调递增，在1(,)x +∞单调递减．所以0()(1)0f x f >-=，而(0)ln 210f =-<，所以()f x 在(1,)-+∞存在零点．…………（8分）当10a -<<时，由（1）得ln(2)(1)x x +≤+，于是e 1x x ≥+，所以e 1(1)ax ax a x -≥-+>-+． 所以()e [e ln(2)(1)]e (1)[ln(2)1)]ax ax ax f x x x x a x -=+-+>-+++． 于是1111111(e )e (e1)[ln(e2)1)]e (e1)[ln(e )1)]0aaaaaf a a ------->+-+->+--=．因为(0)ln 210f =-<，所以所以()f x 在1(e ,)a-+∞存在零点．综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点．…………（12分） （二）选考题：共10分。