11第四章弯曲应力(4)分析

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4.梁的弯曲强度计算的若干问题
（1）一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可
只校核正应力强度条件（此时Fra Baidu bibliotek应力强度条件多自
动满足）。
h
F
A
B
C
l
(2)注意脆性材料且截面上下不对称的梁，s s
s
max
s
max
，应正确找出梁的拉应力危险点和压应
力危险点（可能不在同一截面上）并分别校核。
§4-5 梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件
一、 横力弯曲时切应力的计算
y M(x)
FS (x)
s
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x dx 图a
FS (x)
图b dx M(x)+d M(x)
z
1
x
y s1 图c
1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡
切应力的 y 方向分量
y
FS
S
z
Izb
FS 最大切应力也在中性轴处：
z
max
max
2
FS A
2
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y
9
(3)槽钢： FS
e P
y
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腹板上
FS
S
z
; 合力为R，R
F
bI z
S
翼缘上1
FS A 2I z
; 合力为H。
M x A (dA)d力臂 0
z FS x e
s
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z
1
x
s1 图c
y
由剪应力互等
(y)
1
FsS bI z
3
y M(x)
FS (x)
s
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x dx
公式 FsSz 中各量的意义
bI z
图a
FS (x)
图b
Iz为整个截面对z轴之惯性矩； b 为截面宽度,
dx M(x)+d M(x) FS为截面剪力；
z
Sz 为y点所对应的水平线以下的
当截面上下对称时：
s max
M Wz
max
s
当截面上下不对称时：
s s s
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max
t
s
m
ax
s
s
c
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弯曲切应力强度条件
梁弯曲时，横截面上切应力的危险点：
剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零），
F
——纯剪切应力状态
A C
F/2
(FS)
F/2 F/2
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1
x
面积对中性轴的静矩.
s1 图c
y
4
Fs
S
z
yc A
h 2
2
y b( h 2
y)
b (h2 24
y2)
矩
FS 2I z
h2 (
4
y2)
当y 0时，＝3FS
2bh
当y h 时，＝0
2
6FS bh3
h2 (
4
y2)
h
方向：与横截面上剪力方向相同；
yz b
大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
面上的切应力是主要应力。
F
Fl Mmax 4
FS max
F 2
max
s
max
Fl 4
6 bh2
3Fl 2bh2
max
3 4
F 2bh
3F 8bh
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中性轴处： max 上下缘： 0
s max 2 l max h
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三、梁的正应力和剪应力强度条件
1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。
B
切应力强度条件
max max
max
FS
S
z
Izb
max
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3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
、校校核核强强度度：： s max [s ]; max [ ]
设计截面尺寸：
Wz
M max
[s ]
设计载荷： M max Wz[s ]; [P] f (M max)
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（1）工字形截面上的弯曲切应力
主要考虑腹板上的弯曲切应力
翼缘
FS
max
min
FS
S
zm
ax
Izb b(Iz
其中
S z max
FS
/
S
zm
ax)
ydA
h
zH
max
A
腹板
b
min
B y
A*
y
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腹
板
m in
max
Fs A
; Af —腹板的面积。
f
max
X FN2 FN1 1b(dx) 0 2
X FN2 FN1 1b(dx) 0
y M(x)
FS (x)
x dx
FN1
sdA M
A
Iz
ydA MSz
A
Iz
图a
FS (x)
FN 2
(M
dM
)S
z
Iz
图b dx M(x)+d M(x)
1
dM dx
S
z
bI z
FS
S
z
bI z
M
ss
FS
s
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带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Fs和M均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲）FS
M
s
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s
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2、正应力和剪应力强度条件：
s max
M=Fl/4
s max
C
正应力强度条件
s max
s max
结论： 翼缘部分max « 腹板上的max，只计算腹板上的max。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且max≈ min
故工字钢最大剪应力
max
FS A
;
f
翼缘部分主要承担截面的弯矩.
（2）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力
FS
最大切应力在中性轴处：
y
z
max
4 FS 3A
4
3
K
y
max
y 任意水平线上某点处
（3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校
2020/11核/9 剪应力。
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(4)薄壁梁、跨度小的高梁（ l/h 较小）或支座附近 有较大集中力——除校核正应力强度条件外，还 应校核切应力强度条件。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 max
3 2
FS A
1.5
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二、其它截面梁横截面上的剪应力
1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
FS SZ
bIZ
Iz为整个截面对z轴之惯性矩； b 为y点处截面宽度。 FS为截面剪力； Sz 为y点所对应的水平线以下的面积对中性轴的静矩.
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 §4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 §4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 §4-3 平面刚架和曲杆的内力图
§4-4 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
§Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组 合截面的惯性矩和惯性积
§4-5 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件 §4-6 梁的合理设计
h
e Hh R
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注意 （1）横截面上切应力的存在使得梁在弯
曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。
（2）横截面上的正应力与切应力最大值之比
s max l max h
对细长梁( l/h > 5 ) ,主要为弯曲正应力。
（3）某些形状的截面（薄壁梁如T梁、L梁、工字梁）
或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截