第12讲 二次函数焦点与准线(学生版)

第12讲 二次函数焦点与准线

知识导航

抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点。直线l 叫做抛物线的准线(高中选修2-1,P65)

【例1】(1)如图，抛物线221x y =的焦点F(0,21)，准线l 的解析式为2

1

-=y ,求证：抛物线

22

1

x y =上任意一点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，即PF=PH.

(2)已知点M(2,3)，F(0,21)，点P(m ，n)为抛物线22

1

x y =上一动点，则用含m 的式子表示

PF= ；PF+PM 的最小值是 .

练：如图，在平面直角坐标系中，A(0,2)，点P 是抛物线14

12

+=

x y 上一动点。 (1)过点P 作PB⊥x 轴于点B ，求证：PA=PB ；

(2)若点C(2,5)，连PA ，PC ，PA+PC 是否存在最小值?如果存在，求点P 的坐标；若不存在， 说明理由.

【例2】如图。抛物线2

1

212-=

x y 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，点P 是抛物线上一动点(不包括A 、B)，PM⊥x 轴于点M.点P 的横坐标为t.

(1)若,11<<-t 求证：OP+PM 为定值，并求出该值. (2)若1-t 求证：OP-PM 为定值，并求出该值.

练：如图，点P 为抛物线2

1

212-=

x y 上一动点，PH⊥x 轴于点H ，连OP. (1)当点P 在第一象限的抛物线上时，求PO=PH 的值; (2)当点P 在第四象限的抛物线上时，求PO+PH 的值.

【例3】将抛物线C 1：344

12

+-=）（x y 先向左平移4个单位,再向下平移2个单位，得到抛物

线C 2。

(1)直接写出抛物线C 2的解析式；

(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标；

(3)如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，过点P 作PH⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH+PD 的最小值及此时点P 的坐标.

图1 图2

练：如图1，P(m ，n)是抛物线14

12

-=

x y 上任意一点，是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH⊥l 于点H.

(1)填空：当m=0时，OP= ； PH= ；

当m=4时，OP= ；PH= .

(2)对任意点P,猜想OP 与PH 的大小关系,并证明你的猜想;

(3)如图2,若A 、B 是抛物线14

1

2-=x y 上的两个动点且AB=6,求A 、B 两点到直线l 的距离之

和的最小值.

图1 图2

【例4】如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=

2

4

1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(0,-1).连接AC.AO=2CO,直线l .过点G(0,t)且平行于x 轴,t<-1. (1)求抛物线方程； (2)①若D(4,-m)为抛物线c bx x y ++=2

4

1上一定点，点D 到直线l 的距离记为d,当d=DO 时, 求t 的值;

○2若D 为抛物线上c bx x y ++=2

4

1

一动点，

点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等, 说明理由；

(3)如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.

图1 图2

练：如图,过点F(0,1)的直线b kx y +=与抛物线2

4

1x y =交于M(11,y x )和N(22,y x )两点 (其中0,021>

(2)分别过M ，N 作直线l ：1-=y 的垂线，垂足分别是M 1,N 1，连接FM 1，FN 1，判断△M 1FN 1的形 状，并证明你的结论.

练：如图,在平面直角坐标系中,A(0,2),点P 为抛物线14

12

+=

x y 上的一点.直线）（0>=k kx y 交抛物线于点D ，P ，连接AP ，AD ，若AP=2AD ，求k 的值.