第12讲 二次函数焦点与准线(学生版)
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课
课 题课型新授课 执笔人审核人级部审核讲学时间第 周第 讲学稿教师寄语今日事，今日毕。
不要把今天的事拖到明天。
学习目标教学重点 c bx ax y ++=2的顶点坐标公式 教学难点 c bx ax y ++=2的顶点坐标公式教学方法导学训练学生自主活动材料【学习过程】 一、依标独学：1.抛物线()2231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 二次函数解析式2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、围标群学：（一）、问题：（1）你能说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？解：222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②52212++=x x y （5）归纳：二次函数的一般式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是；对称轴是 ， （二）、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ； （2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．） （3）描点，并连线：有最 值（4）观察：①图象有最 点，即x = 时，y 是 ；x… (1221)2-+=x x y…xy-1-2-3-4-5-6-7123-1-2-3-4123456O②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
③该抛物线与y 轴交于点 。
④该抛物线与x 轴有 个交点. 三三、扣标展示 求出12212-+=x x y 顶点的横坐标2-=x 后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
人教版数学九年级上册2.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
4.增强数据观念和空间观念，通过分析二次函数的增减性，让学生在实际情境中感悟数学与生活的联系，发展数据分析和空间想象能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数图像的绘制与识别：熟练掌握通过顶点式y=a(x-h)^2+k绘制二次函数图像，理解顶点、对称轴、开口方向等图像特征。
人教版数学九年级上册2.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质（教案）
一、教学内容
人教版数学九年级上册第二章《二次函数》2.1.4节，本节课主要内容包括：
1.二次函数y=ax^2+bx+c的图像特点，通过图像了解开口方向、顶点位置、对称轴和与y轴的交点。
2.二次函数的顶点式y=a(x-h)^2+k及其与图像的关系，理解顶点坐标(h,k)对图像的影响。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图像的绘制和性质这两个重点。对于难点部分，比如顶点式和平移变换，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用抛物线模型来预测物体落地位置，这个操作将演示二次函数的基本原理。
其次，关于性质的讲解，我感觉到我可能过于理论化，没有将其与学生的生活实际联系起来。我应该多举一些生活中的例子，比如抛物线在建筑设计、运动轨迹中的应用，让学生感受到二次函数的实用性。
再者，小组讨论环节，我发现有的小组在讨论时可能会偏离主题。我需要在今后的教学中更明确地给出讨论的主题和目标，同时加强小组之间的互动，鼓励学生们分享自己的观点，并学会倾听和评价他人的想法。
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教案
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2的图象和性质【学习目标】1．能够利用描点法作出y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解y＝ax2的图象和性质．2．经历画二次函数y＝ax2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．【学习重点】会画y＝ax2的图象，理解其性质．【学习难点】结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质．画函数图象的一般步骤是：1.列表(取几组x、y的对应值)；2．描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x、y))；3．连线(用光滑曲线)．情景导入生成问题旧知回顾：(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是一条经过(0，b)的直线．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是过原点的直线．(2)描点法画出一次函数的步骤，分为列表，描点，连线三个步骤．(3)我们把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．自学互研生成能力知识模块一探究二次函数y＝ax2的图象和性质阅读教材P5～6页的内容，回答以下问题：1．在画二次函数y＝x2的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线．2．二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点(最低点)是(0，0)，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．3．观察y＝12x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标．4．根据函数y＝12x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的性质：最高或最低点，图象何时上升、下降．二次函数y＝ax2(a＞0)的图象及性质为：(表格均让学生口述完成)二次函数y＝ax2(a＞0)图象的形状图象的特点图象的性质1.向x轴左右方向无限延伸自变量x的取值范围是全体实数2.是轴对称图形，对称轴是y轴对于x和－x可得到相同的函数y3.在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上当x＜0时，函数y随x的增大而减小；当x升的＞0时，函数y 随x 的增大而增大 4.顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y≥05.观察y ＝－12x 2、y ＝－2x 2的图象，指出它们与y ＝12x 2、y ＝2x 2图象的不同之处．它们的开口向下，顶点是原点．图象向下无限延伸，当x ＝0，函数取得最大值，y最大值＝0且y 没有最小值即y≤0，在y 轴左侧是上升的，在y 轴右侧是下降的．当x ＜0，y 随x 增大而增大，当x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．6．(1)a ＞0与a ＜0时，函数y ＝ax 2图象有什么不同？(2)|a|大小对开口大小有什么影响？答：一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．比较各函数图象可知|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．知识模块二 二次函数y ＝ax 2的图象和性质的运用范例1：在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝13x 2，y ＝－3x 2，y ＝x 2的共同特点是( D )A ．关于y 轴对称，抛物线开口向上B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点范例2：已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？解：(1)m＝2或m＝－3；(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x＞0时，y随x的增大而增大．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究二次函数y＝ax2的图象和性质知识模块二二次函数y＝ax2的图象和性质的运用检测反馈达成目标1．若(－5，2)在抛物线y＝ax2上，则________一定也在该抛物线上( A) A．(5，2) B．(－2，－5)C．(－5，－2) D．(0，2)2．函数y＝5x2的图象开口向上，顶点是(0，0)，对称轴是y轴，当x＞0时，y 随x的增大而增大．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学下册第二章二次函数3确定二次函数的表达式教学课件(新版)北师大版
所以
4a 2
4a
2
22aa11153,.解得ba22,.
所以这个二次函数的表达式为 y=2x2-2x+1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可 以确定它的表达式？ 二次函数 y=ax2+bx+c 可化为 y=a（x-h）2+k，顶点是 （h，k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另 一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 中一项系数，再知道图象上 两点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
例 1 已知二次函数 y=ax2+c 的图象经过点（2，3） 和（-1，-3），求这个二次函数的表达式.
做一做
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标 为 1，且经过点（2，5）和（-2，13）， 求这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y=ax2+bx+1.
因为经过点（2，5）和（-2，13），
练习
1.抛物线 y=x2+4x+3 的开口向 上 ，对称轴是直 线 x=-2 ，顶点坐标为（-2，-1），图象与 x 轴 的交点为 （-3,0），（-1,0） ，与 y 轴的交点 为 （0，3）. 2.二次函数 y=3（x+1）2+4 的顶点坐标为（-1，4）.
一名学生推铅球，铅球行进高度 y（m）与水 平距离 x（m）之间的关系如图，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗？
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？ 与同伴交流.
二次函数有如下三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）； （3）两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
二次函数焦点准线公式
二次函数焦点准线公式一、焦点的概念与计算焦点是指平面上的一个点，它和平面上的一条直线之间有着特定的几何关系。
对于二次函数来说，它的图像是一个抛物线，焦点就是抛物线的一个重要特征点。
具体地说，对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），它的焦点坐标可以通过以下公式计算得到：焦点坐标（x0，y0）的x坐标等于抛物线的顶点的x坐标：x0=-b/2a焦点坐标（x0，y0）的y坐标等于抛物线的顶点坐标的y坐标加上a 的倒数：y0=c-(b^2-1)/(4a)需要注意的是，计算焦点坐标时要求a≠0，因为当a=0时，抛物线变成了直线，不存在焦点的概念。
二、准线的概念与计算准线是指与抛物线平行且离开抛物线a的距离相等的一条直线。
准线是抛物线的对称轴，它将抛物线分为两个对称的部分。
对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），准线的方程可以通过以下公式计算得到：准线方程的x坐标等于抛物线的顶点的x坐标：x=-b/2a至于准线的y坐标，则可以通过直接代入准线的x坐标进入二次函数得到：y = ax^2 + bx + c可以看出，准线的y坐标就是抛物线的顶点的y坐标。
三、焦点与准线的几何关系焦点和准线是抛物线的重要特征点，有着特定的几何关系。
对于二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），焦点和准线满足以下关系：焦点到准线的距离等于焦距的两倍：PF=PD=，1/(4a)其中PF表示焦点到焦点直线的距离，PD表示焦点到准线的距离，焦距的倒数，1/(4a)，表示焦点到准线的距离。
这个关系是抛物线的一个重要性质，可以通过几何、代数和物理的方法进行证明。
四、焦点和准线的直观理解为了更好地理解焦点和准线的概念和计算方法，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
假设有一个二次函数y=x^2-4x+3，我们要计算它的焦点和准线。
首先，根据一般公式，可以计算出顶点的坐标为(2,-1)。
焦点的x坐标等于顶点的x坐标，所以x0=2焦点的y坐标等于顶点的y坐标加上a的倒数，即y0=-1+(1/(4*1))=-1+1/4=-3/4所以焦点的坐标为(2,-3/4)。
数学人教版九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质
y=-x2
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小 ;
y
a>0
o
x
a<0
跑的越快，遇到风的阻力越大。阻 力与成就相伴随。
没有斗狼的胆量，就不要牧羊。
望远镜---可以望见远的目标，却不 能代替你走半步。
只有脚踏实地的人，才能够说：路 ，就在我的脚下。
站在巨人的肩上是为了超过巨人。
成绩和劳动是成正比例的，有一分 劳动就有一分成绩。
你既然认准一条道路，何必去打听 要走多久。
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x
2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
例1.画出函数y=x2、y=2x2、y= 2 x2的图象：
1
探究
顶点坐标
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
(0,0) 最低点 y轴 向上
增 减 增增 大 小 大大
(0,0) 最高点
y轴
向下
增 增 增减 大 大 大小
老师寄语：
• 老师能给你们的唯有这无形的知识，但老 师希望你们用这些无形的知识创造出有形 的世界，实现你们的中国梦，老师就是你 们的筑梦人！
一帆风顺，并不等于行驶的是一条 平坦的航线。
y=2x2
பைடு நூலகம்
备考2025年中考数学技巧专题(全国)二次函数压轴：焦点与准线,动点面积,含参二次函数(原卷版)
专题3-5二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函数【题型1】焦点与准线例题12－1例题12—2湘潭市·中考真题广东深圳·中考真题四川自贡·中考真题宜宾·中考真题山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题2023·辽宁鞍山中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·江苏南通中考真题2023·辽宁锦州中考真题2023·辽宁盘锦中考真题【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题2022·吉林中考真题广东深圳·中考真题2023·辽宁大连中考真题2022·四川绵阳中考真题【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题2023年浙江省丽水市中考真题2023年江苏省南通市中考真题2023年江苏省淮安市中考真题2022•北京中考真题2022•安顺中考真题2022•长沙中考真题2022•广州中考真题2022•贵阳中考真题2022•天津中考真题2022•嘉兴中考真题2022•杭州中考真题2022•连云港中考真题二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =-的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>结论1：对于抛物线2,y ax =焦点坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为直线1.4y a=-焦点一般用字母F 表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是1,4只是为了焦点坐标便于计算．至于形如2y ax bx c =++的抛物线可化为顶点式2(),y a x h k =-+然后通过由2y ax =平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM ⊥FN ．证明：设NPF α∠=，MQF β∠=，则180αβ+=︒，∴1190909022PFN QFM αβ︒︒︒∠+∠=-+-=，∴FM ⊥FN ．结论3：取PQ 中点E ，作EH ⊥x 轴交x 轴于H 点，则PH ⊥QH ．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN 与y 轴交于点G ，11112PN OM PF QF FG+=+=．【题型1】焦点与准线例题12－11．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点()0,2F 的距离与到x 轴的距离相等．如图，点M 的坐标为()3,3，P 是抛物线2114y x =+上的一个动点，求PMF △周长的最小值．例题12—22．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =-的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>(1)已知动点M (x ，y )到定点A (0，4)的距离与到定直线y ＝－4的距离相等，请写出动点M 形成的抛物线的解析式．(2)若点D 的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P ，使得PA ＋PD 最短?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．湘潭市·中考真题3．如图，点P 为抛物线214y x =上一动点(1)若抛物线214y x =是由抛物线21(2)14y x =+-通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l 经过y 轴上一点N ，且平行于x 轴，点N 的坐标为(0，－1)，过点P 作PM l ⊥于M ．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立?若存在，求出点F 的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q 的坐标为(1，5)，求QP +PF 的最小值．广东深圳·中考真题（1）求解抛物线解析式；（2）如图2，过抛物线上任意一点M （m ，n ）向直线l 的对称轴上是否存在一点F ，使得ME -MF =14？若存在，请求四川自贡·中考真题5．如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A (－1，0)和点B (2，3)两点(1)求抛物线C 函数表达式；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线174y =的距离?若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由．宜宾·中考真题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线14y x与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1．(1)求抛物线的解析式；(2)知00(,)F x y 为平面内一定点，M (m ，n )为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________【技能训练】(2)如图2，已知抛物线21y x =上一点()(),0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的2022·湖北鄂州中考真题(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝18x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B 两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论上总存在一点E，使得MEN∠为直角．湖南张家界·中考真题12．如图，已知二次函数21(0,y ax a =+≠a 为实数)的图像过点A (－2，2)，一次函数y ＝kx ＋b (k≠0，k 、b 为实数)的图像1经过点B (0，2)．(1)求a 值并写出二次函数表达式；(2)求b 值；(3)设直线1与二次函数图像交于M ，N 两点，过M 作MC 垂直x 轴于点C ，试证明：MB ＝MC ；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题13．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2023·辽宁鞍山中考真题A ．B ．C ．D ．2023·黑龙江绥化中考真题15．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．2023·江苏南通中考真题16．如图，ABC 中，90C ∠=︒，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（）A ．54B ．52C ．50D ．482023·辽宁锦州中考真题17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，在DEF 中，5DE DF ==，8EF =，BC 与EF 在同一条直线上，点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动，当点B 运动到点F 时，ABC 停止运动．设运动时间为t 秒，ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2023·辽宁盘锦中考真题M 作MN y ∥轴，与菱形的另一边交于点N ，连接PM ，PN ，设点M 的横坐标为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题2022·吉林中考真题广东深圳·中考真题21．如图，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD ，CD ，BC ，将△OBC 沿着x 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到O B C '''∆，点O 、B 、C 的对应点分别为点O '，B '，C '，设平移时间为t 秒，当点O'与点A 重合时停止移动．记O B C '''∆与四边形AOCD 的重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与时间t 的函数解析式；2023·辽宁大连中考真题22．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．2022·四川绵阳中考真题(1)如图1，设点E 的速度为1个单位每秒，点F 的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE 与DF 交于点P ，求线段EP 与CP 长度的比值；【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题24．已知二次函数2y x bx c =-++．(1)当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题25．在二次函数223(0)y x tx t =-+>中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t 的值为多少？(2)当03x ≤≤时，y 的最小值为2-，求出t 的值：(3)如果(2,),(4,),(,)A m a B b C m a -都在这个二次函数的图象上，且3a b <<，求m 的取值范围．2023年浙江省丽水市中考真题26．已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围；(3)求证：240b a +=．2023年江苏省南通市中考真题2023年江苏省淮安市中考真题2022•北京中考真题29．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．2022•安顺中考真题30．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．2022•长沙中考真题31．若关于x的函数y，当t−12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=K2，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y=2（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2022•广州中考真题32．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G 上时，求G在45≤x≤45+1的图象的最高点的坐标．2022•贵阳中考真题33．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．2022•天津中考真题34．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．2022•嘉兴中考真题35．已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．2022•杭州中考真题36．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．2022•连云港中考真题37．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．。
九年级数学上册人教版(课件)：22.1.4.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．掌握用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象． 2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向、 对称轴和顶点坐标． 3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴 和 顶 点 坐 标 以 及 配 方 的 过 程 ， 理 解 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的 性 质．
二、教学活动 活动 1：通过配方，确定抛物线 y＝12x2－6x＋21 的开口方向、 对称轴和顶点坐标，再描点画图． (1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)； (2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ (3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物 线从左往右的变化趋势． 活动 2：1.不画出图象，你能直接说出函数 y＝－x2＋2x－3 的 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
三、课堂小结与作业布置 课堂小结 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质． 作业布置 教材第 41 页 第 6 题．
4．抛物线 y＝ax2＋2x＋c 的顶点是(－1，2)，则 a，c 的值分 别是多少？
答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝12；(3)－1；2.(1)开口向上，x
＝－31，(－13，－13)；(2)开口向下，x＝2，(2，0)；3.对称轴 x＝－ 1，当 m＞0 时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝1，c ＝3.
2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些 性质吗？
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； (2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评； (3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么 关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
数学【人教版】九年级上册同步教学课件：22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
17．如图，已知二次函数 y＝ax2 的图象经过点( 2，32)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线上纵坐标等于 3 的点的坐标，并在图象上描出符合 条件的点； (3)通过观察图象回答，当 x 在什么范围内时，y<3?
解：(1)y＝34x2 (2)(2，3)，(－2，3)，描点略 (3)－2<x<2
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。 12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。失败。11、学会学习的人，是非常幸福的人。——米南德
9．(例题1变式)某同学在画二次函数y＝ax2的图象时，列出了
如下表格：
x
－3
－ 2
－1
0
1
23
y
－92
－ 2
－12
0
－12
－ 2
－92
(1)这个二次函数的关系式是___y_＝__－__12_x_2 ___；
(2)将表格中的空格补全；
(3)请你在如图的坐标系中画出该二次函数的图象；
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第4课时)》示范教学课件
－3
－2
－1
0
1
2
···
x
···
－2
－1
0
1
2
3
4
···
－2
2
－2
－4
4
－4
O
x
y
－6
x＝－1
x＝1
－2
2
－2
－4
4
－4
O
x
y
－6
函数
开口方向
对称轴
顶点
向下
(－1，0)
(1，0)
x＝－1
x＝1
x＝－1
x＝1
与抛物线 有什么关系？
－2
2
－2
－4
4
－4
O
x
y
－6
思考
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
例 在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
···
x
···
－2
－1
0
1
2
3
4
···
4
2
二次函数的图象和性质（第4课时）
二次函数
a 的取值
开口
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
y＝ax2＋k (a≠0)
当 x＝0 时，y最小值＝0
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大
二次函数 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象和性质
人教版九年级数学上册22.1.2二次函数yax2的图像和性质教案
实践活动环节，分组讨论和实验操作的部分，学生们表现得相当积极。他们通过讨论和实验，对二次函数在实际生活中的应用有了更深的认识。不过，我也观察到有些小组在分享成果时表达不够清晰，这可能是因为他们在讨论过程中的逻辑思维和语言组织能力有待提高。在未来的教学中，我会更多地关注学生这方面的能力培养，比如提供一些表达框架和指导。
另外，学生小组讨论的环节让我看到了学生们的思维火花。他们围绕二次函数的应用提出了许多有趣的想法，但也有一些小组在问题的深入分析上稍显不足。我意识到，作为教师，我需要在讨论中更好地发挥引导作用，适时提出一些开放性和启发性的问题，帮助学生更深入地思考和探索。
人教版九年级数学上册22.1.2二次函数yax2的图像和性质教案
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax²的图像和性质教案：
1.理解二次函数y=ax²的定义，探究a的取值对图像的影响。
- a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
- |a|越大，抛物线越“瘦”；|a|越小，抛物线越“胖”。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax²的图像和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛射运动的情况？”（如抛篮球）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
九年级数学上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教案 新人教版(2021年整理)
陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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二次函数的图象和性质一、教材分析本节主要内容是在学习了一次函数的概念的基础上，可以根据二次函数的解析式列表、画图象，进而研究二次函数的性质,对二次函数的讨论从最简单的二次函数y=2x开始。
为了描点画出二次函数y=2x的图象，先要列出函数的对应值表.由解析式可以看出x可以取任意实数，不放以0为中心，均匀选取一些便于计算的x的值,看看画出来的图形的大致形状，如果有问题，再加以修正或补充。
在开始画一个函数的未知数时，选值列表带有一定的试探性.二、学情分析学生已经具备有关一元二次方程一般形式的知识，并且学过了一次函数的意义，因此，可以对二次函数的意义有进一步的理解。
要求学生知道二次函数解析式中字母的意义，并且能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数.三、教学目标1、经历用描点法画出y=a2x的图象的过程，使学生学会用描点法画出y=a2x的图象，理解抛物线的有关概念。
2、进一步培养学生观察、思考、归纳的能力以及准确画出二次函数y= a2x的图象的草图能力.四、教学重点难点重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点发画出二次函数 y=a2x的图象。
人教版九年级上册数学22.1.2二次函数二次函数y=ax2的图像与性质 说课课件
说 教 材
学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）的图像与 性质，以及了解二次函数的基本概念，函数图像的画法。并 且在学习一次函数的性质时，学生已经学习了通过将正比例 函数的图像进行上下或左右平移得到一次函数的图像，并通 过观察图像得出函数性质。学生在心理上对于数形结合的思 想已经有了一定的认识，通过知识的迁移转化，有助于本节 课内容的理解。
说 学 情
根据《新课程标准》提倡的“学生是学习的主体，教师
是学习的组织者、引导者和合作者”的教育理念及对教材的
分析，本节课主要让学生自己动手实践、自主探究、合作交
流及教师组织引导的方法实施教学，从而让学生真正参与到
课堂中。
在教学过程中渗透转化、类比、数形结合的数学思想，
形成新的知识结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识
【追求卓越】
6.若正比例函数 y mx(m 0) ,y随x的增大而减小，而 它和二次函数 y mx 2 m 的图像大致是（ ）
环节六 课堂达标 检测收获 （10分钟） 快速做 《随堂10分钟》31-32页
环节七 归纳小结 形成体系 （3分钟）
1.一般地，抛物线y=ax2+k有如下性质： （1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下； （2）对称轴是x=0（或y轴）； （3）顶点坐标是（0，k）；
3.抛物线y=-2x2-3开口向______,对称轴为______,顶点 坐标为______，可由抛物线y=-2x2向_____平移____个 单位得到。
环节五 运用所学 巩固练习
【点拨升华】
4向.二__次__函_平数移y___14_x_2_个6可单由位抛长物度线得到y ，14它x2的沿开__口_向___轴
2.抛物线y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象 上下平移得到，当 k＞0时,向上平移，当 k ＜0时,向下平移，均平移︱k︱个单位.
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第12讲 二次函数焦点与准线
知识导航
抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的焦点。
直线l 叫做抛物线的准线(高中选修2-1,P65)
【例1】(1)如图，抛物线221x y =的焦点F(0,21)，准线l 的解析式为2
1
-=y ,求证：抛物线
22
1
x y =上任意一点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，即PF=PH.
(2)已知点M(2,3)，F(0,21)，点P(m ，n)为抛物线22
1
x y =上一动点，则用含m 的式子表示
PF= ；PF+PM 的最小值是 .
练：如图，在平面直角坐标系中，A(0,2)，点P 是抛物线14
12
+=
x y 上一动点。
(1)过点P 作PB⊥x 轴于点B ，求证：PA=PB ；
(2)若点C(2,5)，连PA ，PC ，PA+PC 是否存在最小值?如果存在，求点P 的坐标；若不存在， 说明理由.
【例2】如图。
抛物线2
1
212-=
x y 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，点P 是抛物线上一动点(不包括A 、B)，PM⊥x 轴于点M.点P 的横坐标为t.
(1)若,11<<-t 求证：OP+PM 为定值，并求出该值. (2)若1-<t 或,1>t 求证：OP-PM 为定值，并求出该值.
练：如图，点P 为抛物线2
1
212-=
x y 上一动点，PH⊥x 轴于点H ，连OP. (1)当点P 在第一象限的抛物线上时，求PO=PH 的值; (2)当点P 在第四象限的抛物线上时，求PO+PH 的值.
【例3】将抛物线C 1：344
12
+-=）（x y 先向左平移4个单位,再向下平移2个单位，得到抛物
线C 2。
(1)直接写出抛物线C 2的解析式；
(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标；
(3)如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，过点P 作PH⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH+PD 的最小值及此时点P 的坐标.
图1 图2
练：如图1，P(m ，n)是抛物线14
12
-=
x y 上任意一点，是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH⊥l 于点H.
(1)填空：当m=0时，OP= ； PH= ；
当m=4时，OP= ；PH= .
(2)对任意点P,猜想OP 与PH 的大小关系,并证明你的猜想;
(3)如图2,若A 、B 是抛物线14
1
2-=x y 上的两个动点且AB=6,求A 、B 两点到直线l 的距离之
和的最小值.
图1 图2
【例4】如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=
2
4
1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(0,-1).连接AC.AO=2CO,直线l .过点G(0,t)且平行于x 轴,t<-1. (1)求抛物线方程； (2)①若D(4,-m)为抛物线c bx x y ++=2
4
1上一定点，点D 到直线l 的距离记为d,当d=DO 时, 求t 的值;
○2若D 为抛物线上c bx x y ++=2
4
1
一动点，
点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等, 说明理由；
(3)如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.
图1 图2
练：如图,过点F(0,1)的直线b kx y +=与抛物线2
4
1x y =交于M(11,y x )和N(22,y x )两点 (其中0,021><x x ). (1)求21x x ⋅的值.
(2)分别过M ，N 作直线l ：1-=y 的垂线，垂足分别是M 1,N 1，连接FM 1，FN 1，判断△M 1FN 1的形 状，并证明你的结论.
练：如图,在平面直角坐标系中,A(0,2),点P 为抛物线14
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+=
x y 上的一点.直线）（0>=k kx y 交抛物线于点D ，P ，连接AP ，AD ，若AP=2AD ，求k 的值.。