傅里叶级数数学

0 所以f(x)的傅里叶级数展开式为
n1, 3, 5, n2, 4, 6,
f
(x)
4
[sin
x
1 3
sin
3x
1 sin(2k 2k 1
1)x
]
.
(<x<;x 0, , 2, ).
例2 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)0x
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的
傅里叶级数收敛. 当x(2k1)时傅里叶级数收敛于
1[ f (x0) f (x0)] 1 (0) .
2
2
2
当x(2k1)时级数收敛于f(x).
和f(x函)的数图图形形
例2 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)0x
x0 0 x
sin
2x ( 322
cos3x
1 sin 3
3x)
1 4
sin
4x
(
2
52
cos5x 1 sin 5x) 5
.
❖周期延拓
设f(x)只在[ ]上有定义我们可以在[ )或( ]外 补充函数f(x)的定义使它拓广成周期为2的周期函数F(x)在 ( )内F(x)f(x).
延拓前
yf(x)
延拓后
yF(x)
❖傅里叶级数
三角级数
a0 2
(an
n1
cosnx
bn
sin
nx)
称为傅里叶级数其中a0a1b1···是傅里叶系数.
❖定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)
设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且
)
(
x)
.
三、正弦级数和余弦级数
❖奇函数与偶函数的傅里叶系数 当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数
故傅里叶系数为
an0 (n012 )
bn
2
0
f
(x)sin nxdx
(n123).
当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 因为傅里叶系数为>>>
a0
2
an
2
n2
0
n1, 3, 5, n2, 4, 6,
bn
(1)n1 n
(n
12)
所以当x(2k1)时f(x)的傅里叶级数展开式为
f
(x)
4
(2
cosxsin
x)
1 2
❖傅里叶系数
设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
coskxbk
sin
kx)
且假定三角级数可逐项积分 则
a0
1
f
(x)dx
an
1
f
(x)cosnxdx
(n
12)
bn
1
f (x)sin nxdx (n
12).
系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数.
§10.7 傅里叶级数
一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
一、三角级数 三角函数系的正交性
❖三角级数
形如
1 2
a0
n1
(an
cosnx
bn
sin
nx)
的级数称为三角级数 其中a0 an bn(n1 2 )都是常数.
❖三角函数系
1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx . ❖三角函数系的正交性
1[ f (x0) f (x0)] 1 (11)0 .
2
2
当xk时级数收敛于f(x).
例1 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)11
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的
傅里叶级数收敛. 因为傅里叶系数为>>>
an 0 (n0,1, 2, ) , bn n4
例3 将函数 f (x)xx
x0 展开成傅里叶级数. 0 x
解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件并且
拓广为周期函数时它在每一点x处都连续因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在[]上收敛于f(x).
例3 将函数 f (x)xx
x0 展开成傅里叶级数. 0 x
解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件并且
三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 [ ]上的 积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在[ ]上的积分
不等于零. >>>
二、函数展开成傅里叶级数
❖傅里叶系数
设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
coskxbk
sin
kx)
且假定三角级数可逐项积分 则
a0
1
f
(x)dx
an
1
f
(x)cosnxdx
(n
12)
提示:
f
f(x()xc)soisnnnxfx(xa2)a020ca0sao020i0nsnnxxk1k(ka1k1[(caok0ksckoxa0sknbxkcs0soinisnnkxx)bk
sin
kxscionsnnxx)] b0n
二、函数展开成傅里叶级数
拓广为周期函数时它在每一点x处都连续因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在[]上收敛于f(x).
因为傅里叶系数为>>>
a0
an
4
n2
0
n1, 3, 5, bn 0 (n 12). n2, 4, 6,
所以f(x)的傅里叶级数展开式为
f
(x)
2
4
(cosx 1 32
cos3x 1 52
cos5x
❖傅里叶级数
三角级数
a0 2
(an
n1
cosnx
bn
sin
nx)
称为傅里叶级数其中a0a1b1···是傅里叶系数.
一个定义在()上周期为2的函数f(x)如果它在一
个周期上可积则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.
然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都 不是肯定的.
当x是f(x)的连续点时级数收敛于f(x);
当x是f(x)的间断点时级数收敛于1 [ f (x0) f (x0)]. 2
例1 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)11
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.来自百度文库
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的
傅里叶级数收敛. 当xk时傅里叶级数收敛于
故傅里叶系数为
an
2
0
f
(x)cosnxdx
(n0123)
bn0 (n1 2 ).
❖正弦级数和余弦级数
如果f(x)为奇函数 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项
的正弦级数
bn sin nx .
n1
如果f(x)为偶函数 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项