2020-2021学年浙江省五校联考高考数学二模试卷(理科)及答案解析

浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）
A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）
2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）
A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]
4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）
A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是
5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）
A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）
6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）
A．B．﹣C．﹣D．﹣3
8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）
A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）
9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．
10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．
11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016= ．
12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．
13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．
（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．
17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．
（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；
（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．
18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；
（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．
19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．
20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）
A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，
解得：x≥0，即A=[0，+∞），
由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），
∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，
则A∩∁R B=[0，1]．
故选：B．
2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．
【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，
反之不一定成立，可能是A或B为钝角．
∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．
故选：A．
3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）
A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]
【考点】基本不等式．
【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）
=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．
【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，
∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．
∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，
∴9≥|2x﹣1|，
∴﹣9≤2x﹣1≤9，
解得﹣4≤x≤5，
则实数x的取值范围是[﹣4，5]．
故选：D．
4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）
A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．
B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．
C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．
【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，
∴平面ACB1∥平面A1C1D，
长方体的体对角线BD1=，
设B到平面ACB1的距离为h，
则=×1=h，即h=，
则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，
则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，
D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，
则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，
∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，
∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，
故选：D．
5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）
A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．
【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：
，
若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，
即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，
结合图象，0＜m＜1，
故选：A．
6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①
由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，
可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②
②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，
即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，
由三角形的面积公式可得，|PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，
即有2c2﹣2a2=2ac，
由e=可得，e2﹣e﹣1=0，
解得e=（负的舍去）．
故选：C．
7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）
A．B．﹣C．﹣D．﹣3
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．
【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），
∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，
∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，
∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）===2tanα，
又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，
∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，
故选：A．
8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）
A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．
【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，
垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°
由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，
C1O=，OE=OA=2﹣x，
∴C1E=+2﹣x，
令y=+2﹣x，
则y′=﹣=0，可得x=，
∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．
故选：B．
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）
9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，
球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，
∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，
几何体的体积是V==，
故答案为：．
10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．
【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），
又x=是函数的一条对称轴，
∴，即．
则f（x）=．
T=；
由a=tanθ=tan（）=tan=，
得．
∴函数f（x）的最大值是．
故答案为：．
11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= 3 ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n 项的和为S n，则S2016= ﹣2100 ．
【考点】数列的求和．
【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．
【解答】解：∵a1=2，a n+1=，
∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．
∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．
∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．
∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．
∵b n=（﹣1）n a n，
∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．
∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．
∴S2016=﹣×=﹣2100．
故答案为：3，﹣2100．
12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24 ；x2+y2的最小值是8 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
由可得，A（8，8）
z最大等于2×8+8=24．
x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，
由可得B（2，2）．
可得22+22=8．
故答案为：24；8．
13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是
．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+
﹣=+2，即可得出．
【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，
=，=，=．
∵向量与﹣夹角为，
∴∠AOB=θ∈．
∴∈，∈[﹣1，1]．
在△OAB中，由正弦定理可得：==，
∴=，=sinθ=，
∴=2+﹣
=+2
=+2
=+2∈．
∴的取值范围是．
故答案为：．
14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）
（x∈N*）．
【考点】数列与函数的综合．
【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．
【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，
由f（x+1）=2，可得：
log2f（x+1）=1+log2，
即为log2f（x+1）=1+log2f（x），
可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），
由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，
即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，
即有f（x）=22•2=4•（）．
故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．
15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x ﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．
【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，
所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0
直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0
同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，
故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，
所以y C+y B=，y C y B=，
所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，
所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，
所以△ABC的面积的最小值为8．
故答案为：8．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．
（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．
（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）
解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，
可得A，B，C，D四点共圆，
∴∠DCB=120°，
∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，
∴，
∴，
∴．…
（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，
则：x+y=3，
BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，
∴，当时取到．…
17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．
（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；
（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE 为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．
（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，
∴AE⊥平面CEFB，
过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，
则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角
设，
，，
∴，
∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．
（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，
则根据三垂线定理有GB⊥CF，
∵△BCF为正三角形，∴，则，
∵，∴，
∴cosθ的值为．
18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；
（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．
【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．
【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；
（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．
|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，
∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；
∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤
=．
∴|f（2）|的最大值为．
（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，
∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，
∴﹣1≤a≤1，
若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，
若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，
|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，
∴|g（x）|．
综上，|g（x）|≤1．
19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，
∴，
解得c2=1，a2=4，b2=3
∴椭圆方程为
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
则△＞0，，
若存在定点N（m，0）满足条件，
则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2
=
如果要上式为定值，则必须有
验证当直线l斜率不存在时，也符合．
故存在点满足
20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）通过S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*）与S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*）作差、计算可知S n+S n﹣1=，并与S n﹣1﹣S n﹣2=作差、整理即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），
∴S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*），
两式相减得：﹣=，
∴a n（S n+S n﹣1）=，
∵数列{a n}中每一项均为正数，
∴S n+S n﹣1=，
又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，
两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，
又∵a1=1，
∴a n=n；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∵，
∴，即，
令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：
（）+（）+（）+…+（）＞2+2+…+2
+
=（2n+1）=，
又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）
＜（﹣）=2（﹣），
令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：
++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，
∴．。