《2.1.3用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本3

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教师学科教案

[20 -20学年度第—学期]

任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________

xx市实验学校

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《2.1.3用二阶行列式求逆矩阵》教案2

教学目标

1•了解行列式产生的背景；

2•经历引入二阶行列式的过程;

3•掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征.

教学重难点

二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组.

教学过程

典型例题

3 2

例1求矩阵A 的逆矩阵.（2009江苏卷）

2 1

解：设矩阵A的逆矩

阵〕为x y，则

3

2 x y 1 0

z w2 1 z w0 1 ，

即3x 2z3y 2w10,故3x2z 1,3y2w0, 2x z2y w012x z 0,2y w1,

解得：x1,z 2,y2,w 3 ,

从而A的逆

:矩阵为A 1

12

23

d b

或由逆矩阵知

a

订识A

b则1

A ad bc ad bc直接可得答案

c d c a

ad bc ad bc

例2已知曲线C : xy1

将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C'的方程;

cos45°sin45°sin 45°cos450

解：由题设条件，M

2，

2 a

例3已知矩阵M

，其中a R ，若点P(1, 2)在矩阵M 的变换下得到点 P( 4,0)，

2 1

(1)求实数a 的值;

(2)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量

二 2 2a 4 a 3.

(2 )由

(1)知 M

2 3

，则矩阵M 的特征多项式为

2 1

2

3

f()

2 1

(2)( 1) 6

2

3 4

令f() 0 ,得矩阵M 的特征值为 1与4.

当

1时，(

2)x 3y 0

x y 0

2x ( 1)y 0

•矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为

例4自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响， 比如出生率、死亡率、资源的可利用

性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等

•因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的

x T M : y

y'

x 2

匹

x

2

2 ■7y

2

，即有 T y

'血

x' x

2 '-Jx 2

x 解得

-J(x' 2

9'

y')

X')

代入曲线 C 的方程为 y'2 x'2

2。

所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转 45°后,

得到的曲线是

x 2 2。

解：(1 )由

•••矩阵M 的属于特征值 1的一个特征向量为

当 4时,

( 2)x 3y 0 2x (

1)y 0

2x 3y 0

生存关系•但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾 •现假设两个互相影响的种群

X , Y

随时间段变化的数量分别为｛a n ｝，｛b n ｝，并有关系式

an13anbn

，其中31= 1, b i = 1,试分 bn12an2bn

析20个时段后这两个种群的数量变化趋势

•

1

3 1

2 = 是矩阵M= 分别对应特征值 1 = 1 , 2=4的两个特征向量,

1

2 2

20

420

答：20个时段后这两个种群的数量都趋向于

3X 420.

2 3

1 2

1 3

2 1

2

3

解：Q A

,B

2 1

1 2

1 1

3

2 0 1 2

3

X A CB

2 1 1 0 1 2 1 2 2

3 例5已知矩阵A

1

2

,B 2 3 ,C 1 0，求满足AXB C 的矩阵x .

课后练习

1.设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 (1) 求矩阵M ; (2) 求矩阵M 的特征值及相应的特征向量. 2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换.

2.已知矩阵M ,N

1

0 1 、

2 ，试求曲线y cosx 在矩阵M N 变换下的函数解析式 0 1

3.二阶矩阵M 有特征值 8，其对应的一个特征向量

1 e=

1 ，并且矩阵M 对应的变换将

解:

1 =

-2 而 1与 2不共线•又

1 1

1 =3 1 + ( - 2)

1 -2

二 M 20 = M 20(3

2+ (- 2)

1)=3 M

20

2+( — 2) M 20

1

=3

2

20

2+

(— 2) X

1

20

1=3

X 420

X +(-2)

1 -2

20 20