12-3阿贝尔判别法和狄利克雷判别法总结

三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法. 引理 (分部求和公式, 也称阿贝尔变换)
设 i ,v j (i 1,2,L ,n), 两组实数, 若令 k v1 v2 L vk (k 1, 2,L , n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 L (n1 n ) n1 n n. (18)
，
由于级数 (1)n 1 收敛,而
n1
n
(1)n cos 2n cos(2 )n ,
n1
n
n1
n
根据例3也收敛, 因此级数 (1)n sin2 n 收敛.
n1
n
所以级数 (1)n sin2 n 为条件收敛.
n1
n
前页 后页 返回

n

1 2

x .
2 k1
2sin x
(21)
2
所以级数cos nx 的部分和数列当 x (0,2 )时有
界, 由狄利克雷判别法得级数 an cos nx 收敛.
前页 后页 返回
同理可证级数an sin nx也是收敛的.
作为例3 的特殊情形, 得到级数

sin nx n
和
x 2


sin
3 2
x

sin
x 2

L

sin

n

1 2

x

sin

n

1 2

x
前页 后页 返回

s来自百度文库n

n

1 2

x,
当 x (0, 2 ) 时, sin x 0, 故得到
2
1
n
cos kx

sin

cos nx n
对一切 x (0,2 ) 都收敛.
前页 后页 返回
例4 级数 (1)n sin2 n 收敛但不绝对收敛.
n1
n
解 由于 (1)n sin2 n 的绝对值级数
n1
n

n1
sin2 n n

1 1 2 n1 n

cos 2n n
,
(20)
级数的收敛性的判别法. 定理12.15 (阿贝尔判别法) 若{an } 为单调有界数列,
且级数bn 收敛, 则级数(20)收敛.
前页 后页 返回
定理12.16 (狄利克雷判别法) 若数列{an}单调递减,
且
lim
n
an

0,
又级数
bn 的部分和数列有界, 则级
数(20)收敛.
前页 后页 返回
前页 后页 返回
复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn ) 是绝对收敛还是条件收敛?
2.对于一般项级数
un与
vn ,
从
lim un v n
n

l

0, 能
否得出 un与 vn 同敛散?
3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步
骤.
i 1
前页 后页 返回
推论 (阿贝尔引理) 若
(i)
1, 2 ,L
,n
是单调数组,记

max{ k

k
};
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
n
kvk 3 A.
(19)
k 1
前页 后页 返回
现在讨论形如
anbn a1b1 a2b2 L anbn L
前页 后页 返回
前页 后页 返回
例3 若数列{an}具有性质:
a1 a2
L
an L
,
lim
n
an
0,
则级数 an sin nx 和 an cos nx 对任何 x (0,2 )
都收敛.
解 因为
2sin
x 2

1 2

n k 1
cos kx


sin

其中
1 发散,
cos 2n 收敛(根据例3结论), 故
n1 n
n1 n
sin2 n发散.
n1 n
前页 后页 返回
又因 sin2 n 1 (1 cos 2n), 得 2

(1)n
n1
sin2 n
n

1 2

(1)n
n1

1 n

cos 2n n