2.7 一维谐振子问题

d n1 d n1
e
]d
2
(1)
2 n 1 N n

[ H n ( )][
d d
d n1 d n1
]d (1)
2 nn Nn dn d n

[
H n ( )]e d
(1)
n ( x)
2 n n! e
2 x 2 / 2
k n En , n 1,2 ,3, 2 2 2 a 1 E E n ( n ) , n 0, 1, 2 , 2 能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！
② 一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的 能量差是固定的；
2
2
2
2
2
=

1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度


1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.

按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经 典禁区中的概率为：
( x ) ( 2n 1) n ( x ) ( n 1)( n 2) n 2 ( x )

（5）求归一化系数
1

n ndx



N e
2 n
2
H n ( ) H n ( )dx


2 Nn

(1)
(1)
(1)
bk 2 2k 1 bk ( k 1)( k 2)
由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
当ξ→±∞时， H(ξ) 行为与exp[ξ2]相同。
(k 2 )!
所以总波函数有如下发散行为：
2 2 1 2 1 2 ( ) H ( ) exp[ 1 ] exp[ ] exp[ ] exp[ 2 2 2 ]


为了满足波函数有限性要求，幂级数 H ( ) 必须从某一项截 断变成一个多项式。换言之，要求 H ( ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 bn 0, bn2 0
H 2H ( 1) H 0

k
[bk 2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)] k 0
该式对任意ξ都 成立，故ξ同次 幂前的系数均应 为零，
即： bk 2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)=0 从而导出系数 bk 的递推公式：
k

为此考察相邻 两项之比：
exp[ 2 ] 1

2
1!


4
2!


k
(k 2 )!


k2
(k 2 1)!
考察幂级数exp[ 展开式的收敛性
比较二级数可知：
相继两项之比：
k2
(k 2 1)!
k
(k )! 1 2 k 2 2 k 2 2 k k ( 2 1)! ( 2 1)
求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一 此式是一变系数二阶常微分方程 维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。
（2）方程求解
d 2 ( ) 2 [ ] ( ) 0 2 d d 2 2 0 1. 渐近解 2 d
‘先两端，带中间’原则，即当 ξ→±∞ 波函数ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2 时
————一维谐振子的能量本征值方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
x,
d 2 ( ) d
2
,
2E
( 2 ) ( ) 0
则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数的收敛性
bk 2 k 2 2k 1 2 k bk ( k 1)( k 2) 2 2 k
( ) exp( 其解为：
d d 2 / 2 e d d
2
/ 2)
欲验证解的正确性，可将其代回方程，
ξ2 >> ± 1
d d 2 d 2 2 [ 1 ] [ ] 2 d d d
Hn ( )
归一化系数


封闭形式解：
n d H n ( ) (1) n exp[ 2 ] n exp[ 2 ] d
H n ( ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。 由上式可以看出，
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
dH n 2nH n 1 ( ) d H n 1 2H n 2nH n 1 0
一
经典简谐运动 弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
A
x
一维谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题 在经典力学中，简谐振动的定义： 任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2x 2 x0 2 dt
因为
dV F dx
因：k m 2
所以
1 1 2 2 2 m x V0 V kxdx kx V0 2 2
例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2
应 用 实 例
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的 递推关系：
1 x n ( x )

2
x 2 n ( x )
d dx d2 dx 2
1 2 2
n(n 1) n(n 1)
bn 2 2n 1 bn 0 ( n 1)( n 2)
bn 0,
因为 2E
2n 1 0
E1 2
结论
基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值。
于是最后得： E (n ) n 0,1,2,
2 2n Nn

2 n!e d
其中：
2 n n!
2
2 Nn
2n n!
H n (x)


所以
Nn
（6）讨论
dn 2 H n ( ) ( 1) exp[ ] exp[ ] n d
n 2
1。上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。 2. ψn具有n宇称
2 / 2
渐近形式，那么令：
2 / 2
( ) H ( )e
其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准 条件。即： ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。 2. H ( ) 满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
1 2
（5）厄密多项式 附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为 厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为：
2 n N n exp[ 1 ]H n ( ) 2
H 2H ( 1) H 0
H n 2H n 2nH n 0
n 2
n 2
n 1 ( x )
n1 2 n 2
n1 ( x )

( x ) ( 2n 1) n ( x ) ( n 1)( n 2) n 2 ( x )

n ( x)
n 1 ( x )
n1 2 n 2
n1 ( x )
n ( x ) 2
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
1 2 2 V m x 2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动， 分子振动 晶格振动
原子核表面振动
辐射场的振动
1 V V ( x ) V (a ) 1! x
经典力学中，一维谐振子的哈密顿
p p 1 2 2 H V m x 2m 2m 2
上式用相应算符代入，得
2
2
d 1 2 2 ˆ H m x 2 2m dx 2
是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。
2
2
————一维谐振子的定态薛定谔方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
V (a ) V0
1 2V ( x a) 2 2 ! x x a
( x a )2
x a
V (a) V0
V x
V 0 0 x a x x a
1 2V V0 2! x 2
( x a )2
x a
2V 其中：k 2 x
例如双原子分子，两原 子间的势V是二者相对距 离x的函数，如图所示。 在 x = a 处，V 有一极小 值V0 。在 x = a 附近势 可以展开成泰勒级数：
2 n Nn
2 n Nn

n
H n ( ) H n ( )
2 n Nn
dn d n d d
d d
e [
Байду номын сангаас
2
d e
2

d n1 d n1
]d
2
H n ( )[
d n1 d n1
e
2
]

(1)
e
2

n
[ H n ( )][
能级间距 =

③ 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。
1 E 0 2
零点能是微观粒子波粒 二象性的表现！
经典物理学中的一维谐振子：
U ( x)
E
M
经典禁区
N
经典禁区
x A, 经典允许区； x A, 经典禁区.
2 x 2 2
A

14
o
2 x 2 / 2
所以
c1e
2 / 2
c2 e
2 /2
因整个波函数尚未归一化， 所以c1可以令其等于1。最 后渐近波函数为：
波函数有限性条件：
当ξ→±∞ 时，应 有 c2 = 0，
e
2 / 2
d 2 2 为了使方程 [ ] ( x) 0的波函数 2 d 在无穷远处有 e
A x
n ( x) N n e 量子力学中的一维谐振子：
0 ( x)
e ,
H n ( x )
,
1 ( x)
2
2 ( x)
1


14
xe
2 x 2 / 2

14
2 2
2
x 1 e
2

2 x 2 / 2
,
考虑一维谐振子的基态：
1 E 0 2 2 1 x
n ( x)

2 n!
n
e
2 x 2 / 2
H n (x)
上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数， 所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。

3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所 以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}ħω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为 零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静 止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。
1 V0 k ( x a )2 2
xa
V(x) a 0
V0
x
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
a
x
1 2 V ( x ) kx 2
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基 本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。