2019最新006第六章隧道衬砌结构计算化学
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普氏压力拱理论：(见 P43~44)
普氏公式适用于深埋洞室。 浅埋或明挖洞室上方岩层形 不成压力拱，不能采用普氏 公式。此外，凡不能形成压
力拱的松软地层(fi ＜0.3)，
如流砂、淤泥及饱和松散粘 土层也不能采用普氏公式计 算。
5、结构自重计算
1.将衬砌结构自重简化为垂直均布荷载 当拱圈截面为等截面拱时，结构自重
以几何轴线代替结构形状， 支座简化从两个方面来考虑：
①是半被覆结构拱脚直接座 落在地层上且施工时整体浇灌， 故拱脚与地层问摩擦力很大， 认为不可能沿径向移动，可以 刚性链杆表示；
②是混凝土结构具有较强的抗 剪能力，故忽略拱脚截面的剪 切变位，因面拱脚截面只有轴 向应力引起的线变形和弯短引 起的角变形，以弹性固定支座 来表示，如图9-6。
当 lm ＞15m时，此法仅作为分析比较的参考，应以现场实测为
主。
(二)直接荷载确定法
直接荷载确定法，即为我国铁道部《铁路工程技术规范》 (以下简称《规范》)于1975年推荐的计算隧道围岩压力 的方法。《规范》将围岩分成六类，它是根据一百余座 铁路隧道的400多个坍方调查资料，以工程类比为基础， 提出了直接荷载确定法。 1)围岩垂直压力的计算：P206公式(9-3)
“拱顶单位位移与载变位的计算”和用“辛普 生法计算变位”和“拱铰变位”的详细求解请
参考“徐干成，白洪才等，地下工程支护结构
，中国水利水电出版社，2002”；
6.4 曲墙式衬砌结构结构计算
在衬砌结构承受较大的垂直方向和水平方向的围岩压力时，常 常采用曲墙式衬砌形式。它由拱圈﹑曲边墙和地板组成，有向 上的底部压力时设仰拱。曲墙式衬砌常用于Ι ～ Ⅲ类围岩中。
隧道结构是地下建筑结构的重要组成部分，它的 结构形式可根据地层的类别、使用功能和施工水 平等选择。
按结构形式的不同，隧道结构可分为： 1、半衬砌结构； 2、厚拱薄墙衬砌结构； 3、直墙拱形衬砌结构； 4、曲墙结构； 5、复合衬砌结构； 6、连拱隧道结构。
按断面形状分类
(1)圆形或椭圆形。 (2)直墙拱顶形。 (3)曲墙拱顶形。 (4)据洞室底板情况
简图表示如图：
插入图6-11 6-12 6-13
6.4.2 主动荷载作用下的力法方程和衬砌内力
取基本结构如图（6-13）所示，未知力为 ﹑X1p﹑X2p ， 根据拱顶截面相对变位为零的条件，可以列出立法方
刚性链杆 弹性固定支座
§6.3.3 半被覆结构的内力计算
半被覆结构内力计算可归结为一个弹性固定无铰 拱的力学分析问题（结构力学超静定问题） 一、对称问题的解 二、非对称问题解 三、拱顶单位变位与载变位的计算 四、用辛普生法计算变位 五、拱脚变位的计算 六、计算多余未知力 七、拱圈内力及计算结果校核
a.上零点b（即脱离区与抗力区的分界点）与衬砌垂直
对称中线的夹角假定为 b ≈45 °。
b.下零点a在墙脚。墙脚处摩擦力很大，无水平位移（ 但可旋转），故弹性抗力为零。
c.最大抗力点h假定发生在最大跨度处附近，计算时一 般取ah ≈ ﹙ ⅔ ﹚ ab，假定在分段的接缝上。
d.抗力图形的分布按以下假定计算。º º
这种结构适用于洞库跨度比较大的情况，一般修建在地层岩石比较 稳定、完整性较好的岩层中。
第一节 作用在被覆结构上的荷载 第二节 半被覆结构的计算简图 第三节 半被覆结构的内力计算
半衬砌拱示意图
§6.3.1 半被覆结构的计算简图
地下结构的实际工作情况极其复杂，它不但与结构形式、 尺寸和材料有关，而且与所处的工程地质和水文地质条件及 施工方法有关，故要完全按照结构的实际情况进行严格计算 是非常困难的。
(2)附加荷载:非经常作用的荷载：灌浆压力；落石荷载，由温度变化或 因混凝土收缩所产生的温差应力与收缩应力和施工荷载。如盾构法施工时 千斤顶的作用力，装配式衬砌在施工过程中吊装机械的作用力等都属于施 工荷载。施工荷载要根据实际情况确定。
(3)特殊荷载:是指偶然可能发生的荷载，如地震力或战时发生的武器动 荷载等。
可分为平底式和仰 拱式。
(5)其他形状，如短 形、方形，虽转角 处应力集中较大下 仍被采用。
隧道衬砌除必须保证有足够的净空间外，还要 求有足够的强度，以保证在使用寿命内结构物 有可靠的安全性。显然，应该对不同形式的结 构用不同的方法进行强度计算。
目前，无论是初期支护材料还是永久支护材料 ，基本都是以混凝土材料为主。初期和二期的 支护系统基本是超静定结构，因此设计和计算 时多以超静定结构进行考虑，其中衬砌拱部结 构以结构力学中无铰拱理论计算，墙部和仰拱 结构以弹性地基梁理论计算。
拱部bh段抗力，按二次抛物线分布，任一点的抗力
与最大抗力 h的关系为：
i
cos2b —cos2i
h
cos2b —cos2h
6 -15
边轴ha段抗力 为：
1
-
yyh′ ′2
h
6 -16
2. 荷载的组合
对于一个特定的地下建筑结构，上述几种荷载不一定都存在， 也不可能同时作用在某衬砌上。设计中应根据实际可能出现的 情况进行荷载组合。
所谓荷载组合，即是将有可能同时作用在衬砌上的荷载进行编 组。并取其最不利者作为设计荷载、求得最危险截面中所产生 的最大内力值，作为选择截面时的依据。
3、围岩压力的简化计算图形
左 2 p
右 2 p
A B f ( A B） 0
（
左 31
3右 1）X1
(
左 32
3右 2） 2 33X3
左 3 p
右 3 p
l 2
(
A
B ) A
B
0
又因反对称力未知力X1产生的变位
13 31 23 32
第六章 隧道衬砌结构计算
6.1 概述 6.2 隧道衬砌上的荷载与分类 6.3 半衬砌结构的设计与计算 6.4 曲墙式衬砌结构的设计与计算 6.5 直墙式衬砌的设计与计算 6.6 复合式衬砌结构的设计与计算 6.7 隧道门洞的简介
[4]徐干成，白洪才等，地下工程支护结构，中国水利水电出版社，2002
6.1 概述
括坚硬的、塑性的及松散的地层)都视为具有“似摩擦系数”fi的松 散体介质，而fi即为地层坚固系数(或普氏系数)，其表达式为
普氏建议：松散土及粘性土 岩石
式中，Rc为岩石抗压强度(MPa)
第二个假定，认为洞室开挖 后，由于围岩应力重分布， 在洞室上方形成抛物形的压 力拱，拱内土石的重量就是 作用在衬砌上的围岩压力， 该围岩压力与压力拱的曲线 几何特征、跨度和拱高有关。
二、荷载简化——只包括垂直围岩压力和自重
作用在半被覆结构上的荷载有：围岩压力、结构自重及弹性抗力。
由于半被覆结构一般都修建在比较坚埂的岩层中，因此可不考虑侧向
围岩压力。又因一般半被覆结构矢跨比较小（约在
），说明拱
圈两侧弹性抗力作用范围很小，故不予考虑。所以结构上的只包括垂直围 岩压力和自重。
三、结构形状及支座简化
在设计衬砌结构时，我们必须将围岩压力进行简化，使得围 岩压力以某几种形式作用到衬砌结构上。
垂直围岩压力：梯形分布 侧向围岩压力：梯形分布 底部围岩压力：均匀分布
垂直围岩压力：梯形分布 侧向围岩压力：梯形分布 底部围岩压力：均匀分布
洞库开挖后，洞顶一部分岩 石要坍落，坍落岩石作用在 结构上的荷载即为垂直围岩 压力，以梯形分布形式作用 在拱圈上。洞库侧面的岩石 有向下滑动的趋势，滑移结 果将挤压侧壁．这就产生了， 也以梯形分布的形式作用在 侧埔和拱因上。当洞库置于 松软地层(如粘土、砂及淤 泥等)，洞库底板会向上 “隆起”，产生“隆起压 力”，即底部围岩压力，按 均布形式作用在底板上。由 于洞库一般都置于较好的地 层中，故一般情况下不需考 虑底部围岩压力。
图9-8 计算简图及基本结构
由拱顶相对截面的转角，相对水平位移和相对垂直位移为 零的条件列出变形协调方程：
211X1 12X 2 (1左 3 1右 3 ） 左 1p 右 1 p A B 0
2 21X1
22X 2
（
左 23
2右 3）
为了便于分析结构内力，根据对结构受力与变形产生影 响的主要因素，得出能反映结构实际工作状态的并便于从事 计算的简化模型(图形)，这种图形称为结构计算简图。
一、结构体系简化 二、荷载简化 三、结构形状及支座简化
一、结构体系简化——平面应变问题
半被覆结构是一个空间问题的拱完结构，严格说来，应 按空间问题来计算，但如果这个空间拱壳结构满足： 1)结构纵长方向大于跨度两倍； 2)结构的形状、承受的荷载大小及分布沿纵长方向不变， 则该空间拱壳结构可简化为平面应变问题。
弹性抗力的确定方法一般都建立在局部变形理 论基础之上，认为荷载与变形之间遵循式(8-1)。
在实际工程中，一般假定弹性抗力按抛物线分布，其零 点在φ0=450截面上，最大值在拱脚截面上(图9—5)
6.3 半衬砌结构的设计与计算
半被覆结构，一般指坑道开挖后，只在拱部构筑拱圈，而侧壁不 构筑侧墙(或只砌筑构造墙)的结构。
6.2 隧道衬砌上的荷载与分类
地下结构所承受的荷载，按其作用特点及其使用中可能出现的情况分为 以下三类，即：主要荷载，附加荷载和特殊荷载。
(1)主要荷载:长期及经常作用的荷载：结构自重；回填土层重量；围岩 压力；弹性抗力；地下水静水压力和使用荷载。围岩压力是衬砌承受的主 要静荷载。弹性抗力是地下结构所特有的一种被动荷载。使用荷载是在使 用过程中，作用在衬砌上的荷载，如吊车荷载、设备重量、地下贮油库的 油压力、车辆、人员等荷重。
6.4.1 计算图式 6.4.2 主动荷载作用下的
力法方程和衬砌内力 6.4.3 最大抗力的计算 6.4.5 衬砌最终内力计算及校核
6.4.1 计算图式
在主动荷载作用下，顶部衬砌向坑道内变形形成脱离区 ，两侧衬砌想围岩方向变形，引起围岩对衬砌的被动弹 性抗力，形成抗力区。抗力分布规律按结构变形特征做 以下假定（图6-11）：
2)围岩水平压力的计算： P207按表9-1经验公式计算， 适用条件同式(9—3)
(三)普氏地压理论
两个基本假定： 第一个假定，认为由于地层中有许多节理、裂隙以及各种夹层等
软弱结构面，破坏了地层的整体性，因此，整个岩体在一定程度上 可视为松散体。在坚硬岩层中，岩层颗粒之间实际上存在着粘结力， 为了考虑这种粘结力的影响，普氏建议加大颗粒问摩擦系数的方法 予以考虑，此系数称为“似摩擦系数”。所以，普氏把所有地层(包
一、对称问题的解
固端无铰拱为三次超静定，有三个多余未知力，即弯矩
X1 、轴向力X2 ：和剪力X3 。由于结构和荷载均对称，故X3
为零，同时可取半供为基本结构。
符号规定：图示未知力方向为正向，转角以拱脚截面向外 转为正，水平位移以向外移动为正。
二、非对称问题解
对非对称问题、需取全拱为基本结构，拱的内力及拱脚 变位的正负号规定与对称问题相同，计算简图与基本结 构如图9-8所示。
荷载为
式中：d0为拱圈截面厚度。
2.将结构自重简化为垂直均布载和三角 形分布载
如图9-3所示，当拱圈为变截面拱时， 结构自重荷载可选用左边三个近似公式：
6、弹性抗力的计算
衬砌结构在地层压力和自重荷载作用下发生变形， 使结构一部分区域脱离岩层，而另一部分外凸挤压 岩层，在挤压面上形成相互作用力．该作用力称之 为弹性抗力。
4、围岩压力的确定方法（三个方法）
(一)应用综合经验公式确定围岩压力
1)围岩垂直压力的计算：P205公式(9-1) 2)围岩水平均布压力的计算： P206公式(9-2) 3)综合经验公式适用条件
本方法原则上适用于稳定性较差或不稳定的Ⅲ~Ⅴ类围岩的压
力计算，其洞室跨度不应超过15m且满足hm/lm＜1.5的条件。其中 hm 是洞室边墙高度，lm是毛洞跨度。
式中： , b , h —分别为 i, b, h点所在截面与垂直对
称 轴的夹角；
y —i点所在截面与衬砌外轮廓线的交点至最大
抗力点h的垂直距离；
yh —墙底外缘至抗力点h的垂直距离
式中（6-15），（6-16）的假定是为了在确定
Βιβλιοθήκη Baidu定任一点的抗力
后能确
h
经过上述分析之后，若不考虑仰拱的作用，可将计算
普氏公式适用于深埋洞室。 浅埋或明挖洞室上方岩层形 不成压力拱，不能采用普氏 公式。此外，凡不能形成压
力拱的松软地层(fi ＜0.3)，
如流砂、淤泥及饱和松散粘 土层也不能采用普氏公式计 算。
5、结构自重计算
1.将衬砌结构自重简化为垂直均布荷载 当拱圈截面为等截面拱时，结构自重
以几何轴线代替结构形状， 支座简化从两个方面来考虑：
①是半被覆结构拱脚直接座 落在地层上且施工时整体浇灌， 故拱脚与地层问摩擦力很大， 认为不可能沿径向移动，可以 刚性链杆表示；
②是混凝土结构具有较强的抗 剪能力，故忽略拱脚截面的剪 切变位，因面拱脚截面只有轴 向应力引起的线变形和弯短引 起的角变形，以弹性固定支座 来表示，如图9-6。
当 lm ＞15m时，此法仅作为分析比较的参考，应以现场实测为
主。
(二)直接荷载确定法
直接荷载确定法，即为我国铁道部《铁路工程技术规范》 (以下简称《规范》)于1975年推荐的计算隧道围岩压力 的方法。《规范》将围岩分成六类，它是根据一百余座 铁路隧道的400多个坍方调查资料，以工程类比为基础， 提出了直接荷载确定法。 1)围岩垂直压力的计算：P206公式(9-3)
“拱顶单位位移与载变位的计算”和用“辛普 生法计算变位”和“拱铰变位”的详细求解请
参考“徐干成，白洪才等，地下工程支护结构
，中国水利水电出版社，2002”；
6.4 曲墙式衬砌结构结构计算
在衬砌结构承受较大的垂直方向和水平方向的围岩压力时，常 常采用曲墙式衬砌形式。它由拱圈﹑曲边墙和地板组成，有向 上的底部压力时设仰拱。曲墙式衬砌常用于Ι ～ Ⅲ类围岩中。
隧道结构是地下建筑结构的重要组成部分，它的 结构形式可根据地层的类别、使用功能和施工水 平等选择。
按结构形式的不同，隧道结构可分为： 1、半衬砌结构； 2、厚拱薄墙衬砌结构； 3、直墙拱形衬砌结构； 4、曲墙结构； 5、复合衬砌结构； 6、连拱隧道结构。
按断面形状分类
(1)圆形或椭圆形。 (2)直墙拱顶形。 (3)曲墙拱顶形。 (4)据洞室底板情况
简图表示如图：
插入图6-11 6-12 6-13
6.4.2 主动荷载作用下的力法方程和衬砌内力
取基本结构如图（6-13）所示，未知力为 ﹑X1p﹑X2p ， 根据拱顶截面相对变位为零的条件，可以列出立法方
刚性链杆 弹性固定支座
§6.3.3 半被覆结构的内力计算
半被覆结构内力计算可归结为一个弹性固定无铰 拱的力学分析问题（结构力学超静定问题） 一、对称问题的解 二、非对称问题解 三、拱顶单位变位与载变位的计算 四、用辛普生法计算变位 五、拱脚变位的计算 六、计算多余未知力 七、拱圈内力及计算结果校核
a.上零点b（即脱离区与抗力区的分界点）与衬砌垂直
对称中线的夹角假定为 b ≈45 °。
b.下零点a在墙脚。墙脚处摩擦力很大，无水平位移（ 但可旋转），故弹性抗力为零。
c.最大抗力点h假定发生在最大跨度处附近，计算时一 般取ah ≈ ﹙ ⅔ ﹚ ab，假定在分段的接缝上。
d.抗力图形的分布按以下假定计算。º º
这种结构适用于洞库跨度比较大的情况，一般修建在地层岩石比较 稳定、完整性较好的岩层中。
第一节 作用在被覆结构上的荷载 第二节 半被覆结构的计算简图 第三节 半被覆结构的内力计算
半衬砌拱示意图
§6.3.1 半被覆结构的计算简图
地下结构的实际工作情况极其复杂，它不但与结构形式、 尺寸和材料有关，而且与所处的工程地质和水文地质条件及 施工方法有关，故要完全按照结构的实际情况进行严格计算 是非常困难的。
(2)附加荷载:非经常作用的荷载：灌浆压力；落石荷载，由温度变化或 因混凝土收缩所产生的温差应力与收缩应力和施工荷载。如盾构法施工时 千斤顶的作用力，装配式衬砌在施工过程中吊装机械的作用力等都属于施 工荷载。施工荷载要根据实际情况确定。
(3)特殊荷载:是指偶然可能发生的荷载，如地震力或战时发生的武器动 荷载等。
可分为平底式和仰 拱式。
(5)其他形状，如短 形、方形，虽转角 处应力集中较大下 仍被采用。
隧道衬砌除必须保证有足够的净空间外，还要 求有足够的强度，以保证在使用寿命内结构物 有可靠的安全性。显然，应该对不同形式的结 构用不同的方法进行强度计算。
目前，无论是初期支护材料还是永久支护材料 ，基本都是以混凝土材料为主。初期和二期的 支护系统基本是超静定结构，因此设计和计算 时多以超静定结构进行考虑，其中衬砌拱部结 构以结构力学中无铰拱理论计算，墙部和仰拱 结构以弹性地基梁理论计算。
拱部bh段抗力，按二次抛物线分布，任一点的抗力
与最大抗力 h的关系为：
i
cos2b —cos2i
h
cos2b —cos2h
6 -15
边轴ha段抗力 为：
1
-
yyh′ ′2
h
6 -16
2. 荷载的组合
对于一个特定的地下建筑结构，上述几种荷载不一定都存在， 也不可能同时作用在某衬砌上。设计中应根据实际可能出现的 情况进行荷载组合。
所谓荷载组合，即是将有可能同时作用在衬砌上的荷载进行编 组。并取其最不利者作为设计荷载、求得最危险截面中所产生 的最大内力值，作为选择截面时的依据。
3、围岩压力的简化计算图形
左 2 p
右 2 p
A B f ( A B） 0
（
左 31
3右 1）X1
(
左 32
3右 2） 2 33X3
左 3 p
右 3 p
l 2
(
A
B ) A
B
0
又因反对称力未知力X1产生的变位
13 31 23 32
第六章 隧道衬砌结构计算
6.1 概述 6.2 隧道衬砌上的荷载与分类 6.3 半衬砌结构的设计与计算 6.4 曲墙式衬砌结构的设计与计算 6.5 直墙式衬砌的设计与计算 6.6 复合式衬砌结构的设计与计算 6.7 隧道门洞的简介
[4]徐干成，白洪才等，地下工程支护结构，中国水利水电出版社，2002
6.1 概述
括坚硬的、塑性的及松散的地层)都视为具有“似摩擦系数”fi的松 散体介质，而fi即为地层坚固系数(或普氏系数)，其表达式为
普氏建议：松散土及粘性土 岩石
式中，Rc为岩石抗压强度(MPa)
第二个假定，认为洞室开挖 后，由于围岩应力重分布， 在洞室上方形成抛物形的压 力拱，拱内土石的重量就是 作用在衬砌上的围岩压力， 该围岩压力与压力拱的曲线 几何特征、跨度和拱高有关。
二、荷载简化——只包括垂直围岩压力和自重
作用在半被覆结构上的荷载有：围岩压力、结构自重及弹性抗力。
由于半被覆结构一般都修建在比较坚埂的岩层中，因此可不考虑侧向
围岩压力。又因一般半被覆结构矢跨比较小（约在
），说明拱
圈两侧弹性抗力作用范围很小，故不予考虑。所以结构上的只包括垂直围 岩压力和自重。
三、结构形状及支座简化
在设计衬砌结构时，我们必须将围岩压力进行简化，使得围 岩压力以某几种形式作用到衬砌结构上。
垂直围岩压力：梯形分布 侧向围岩压力：梯形分布 底部围岩压力：均匀分布
垂直围岩压力：梯形分布 侧向围岩压力：梯形分布 底部围岩压力：均匀分布
洞库开挖后，洞顶一部分岩 石要坍落，坍落岩石作用在 结构上的荷载即为垂直围岩 压力，以梯形分布形式作用 在拱圈上。洞库侧面的岩石 有向下滑动的趋势，滑移结 果将挤压侧壁．这就产生了， 也以梯形分布的形式作用在 侧埔和拱因上。当洞库置于 松软地层(如粘土、砂及淤 泥等)，洞库底板会向上 “隆起”，产生“隆起压 力”，即底部围岩压力，按 均布形式作用在底板上。由 于洞库一般都置于较好的地 层中，故一般情况下不需考 虑底部围岩压力。
图9-8 计算简图及基本结构
由拱顶相对截面的转角，相对水平位移和相对垂直位移为 零的条件列出变形协调方程：
211X1 12X 2 (1左 3 1右 3 ） 左 1p 右 1 p A B 0
2 21X1
22X 2
（
左 23
2右 3）
为了便于分析结构内力，根据对结构受力与变形产生影 响的主要因素，得出能反映结构实际工作状态的并便于从事 计算的简化模型(图形)，这种图形称为结构计算简图。
一、结构体系简化 二、荷载简化 三、结构形状及支座简化
一、结构体系简化——平面应变问题
半被覆结构是一个空间问题的拱完结构，严格说来，应 按空间问题来计算，但如果这个空间拱壳结构满足： 1)结构纵长方向大于跨度两倍； 2)结构的形状、承受的荷载大小及分布沿纵长方向不变， 则该空间拱壳结构可简化为平面应变问题。
弹性抗力的确定方法一般都建立在局部变形理 论基础之上，认为荷载与变形之间遵循式(8-1)。
在实际工程中，一般假定弹性抗力按抛物线分布，其零 点在φ0=450截面上，最大值在拱脚截面上(图9—5)
6.3 半衬砌结构的设计与计算
半被覆结构，一般指坑道开挖后，只在拱部构筑拱圈，而侧壁不 构筑侧墙(或只砌筑构造墙)的结构。
6.2 隧道衬砌上的荷载与分类
地下结构所承受的荷载，按其作用特点及其使用中可能出现的情况分为 以下三类，即：主要荷载，附加荷载和特殊荷载。
(1)主要荷载:长期及经常作用的荷载：结构自重；回填土层重量；围岩 压力；弹性抗力；地下水静水压力和使用荷载。围岩压力是衬砌承受的主 要静荷载。弹性抗力是地下结构所特有的一种被动荷载。使用荷载是在使 用过程中，作用在衬砌上的荷载，如吊车荷载、设备重量、地下贮油库的 油压力、车辆、人员等荷重。
6.4.1 计算图式 6.4.2 主动荷载作用下的
力法方程和衬砌内力 6.4.3 最大抗力的计算 6.4.5 衬砌最终内力计算及校核
6.4.1 计算图式
在主动荷载作用下，顶部衬砌向坑道内变形形成脱离区 ，两侧衬砌想围岩方向变形，引起围岩对衬砌的被动弹 性抗力，形成抗力区。抗力分布规律按结构变形特征做 以下假定（图6-11）：
2)围岩水平压力的计算： P207按表9-1经验公式计算， 适用条件同式(9—3)
(三)普氏地压理论
两个基本假定： 第一个假定，认为由于地层中有许多节理、裂隙以及各种夹层等
软弱结构面，破坏了地层的整体性，因此，整个岩体在一定程度上 可视为松散体。在坚硬岩层中，岩层颗粒之间实际上存在着粘结力， 为了考虑这种粘结力的影响，普氏建议加大颗粒问摩擦系数的方法 予以考虑，此系数称为“似摩擦系数”。所以，普氏把所有地层(包
一、对称问题的解
固端无铰拱为三次超静定，有三个多余未知力，即弯矩
X1 、轴向力X2 ：和剪力X3 。由于结构和荷载均对称，故X3
为零，同时可取半供为基本结构。
符号规定：图示未知力方向为正向，转角以拱脚截面向外 转为正，水平位移以向外移动为正。
二、非对称问题解
对非对称问题、需取全拱为基本结构，拱的内力及拱脚 变位的正负号规定与对称问题相同，计算简图与基本结 构如图9-8所示。
荷载为
式中：d0为拱圈截面厚度。
2.将结构自重简化为垂直均布载和三角 形分布载
如图9-3所示，当拱圈为变截面拱时， 结构自重荷载可选用左边三个近似公式：
6、弹性抗力的计算
衬砌结构在地层压力和自重荷载作用下发生变形， 使结构一部分区域脱离岩层，而另一部分外凸挤压 岩层，在挤压面上形成相互作用力．该作用力称之 为弹性抗力。
4、围岩压力的确定方法（三个方法）
(一)应用综合经验公式确定围岩压力
1)围岩垂直压力的计算：P205公式(9-1) 2)围岩水平均布压力的计算： P206公式(9-2) 3)综合经验公式适用条件
本方法原则上适用于稳定性较差或不稳定的Ⅲ~Ⅴ类围岩的压
力计算，其洞室跨度不应超过15m且满足hm/lm＜1.5的条件。其中 hm 是洞室边墙高度，lm是毛洞跨度。
式中： , b , h —分别为 i, b, h点所在截面与垂直对
称 轴的夹角；
y —i点所在截面与衬砌外轮廓线的交点至最大
抗力点h的垂直距离；
yh —墙底外缘至抗力点h的垂直距离
式中（6-15），（6-16）的假定是为了在确定
Βιβλιοθήκη Baidu定任一点的抗力
后能确
h
经过上述分析之后，若不考虑仰拱的作用，可将计算