动力气象学 大气中的准地转运动(4.4)--习题答案

在 y c0 的量级的距离内迅速衰减
7. 取 Bossinesq 近似，且设基本状态密度 为常值 ，绝热、废静力平衡的三 0
维扰动方程组
' f'
( p ') 0
t
x0
' f'
( p ') 0
t
y0
w'
(p ') ' g 0
t
z0
'
' w' 0
xy p
( ') N 2 w ' 0
t
g
考虑 f 随纬度的变化（即 效应）的作用，显然这组方程包括有罗斯贝波、重力

k m cx
cgx

(k (k 2
2 l l2
2 f N

f2 N2
2
2 m2)
m2 )2
,
cgy

(k 2
2 kl
l2

f2 N2
m2 )2
, cgz

(k 2
2
km
f2 N2
l2

f2 N2
源自文库
m2 )
4）证明它们都是横波。并且能量传播方向垂直于波动传播方向。
解：将 v ' V exp[i(kx ly mz t)] 代入下式：
', p p(z ) p ', (z ) '
线性化方程组为
'1 '0
t
x
'
'0
t
x
p ' RT '
t
t
将线性化的方程组合并为: 1 2P ' RT t 2
2P ' 0 x2
用标准波形法可求出频率方程： 2 RT k 2
运用线性化的方程组可以得出速度扰动、密度 扰动以及气压扰动三者之间的关系式，从而得 出：
N 2K 2 m2 ( f 2 N 2 )
c
K3
K
cg
(N 2 f 2 )m
(kmi lmj (k 2 l2 )k)
N 2K 2 m2( f 2 N 2 )K 3
斜压罗斯贝波相速和群速为
c px

(k 2
l2)
f2 N2
m2
, cpy

k l
cx , cpx
2=
f 2m2 K2
2=
N
2K 2

m2 ( K2
f
2

N
2)
=
k2

k
l2

f2 N2
m2
由所得频率方程，令 0,f 0 ，可得纯重力波频率方程；令 N 2 0, 0 得
纯惯性内波频率方程；罗斯贝波是低频波，可令含 3、2 项等于零，可得斜压 罗斯贝波频率方程； 0 可得重力惯性内波频率方程。
内波、惯性内波。请证明 ' 与 '、 p ' 与 '、w ' 与 p ' 、 ' 与 p ' 、w ' 与 ' 、 ' 与 '，以及 '所满足的方程可分别写为
2
(
f
)' ( 2
f
)'
ty x
tx y
2
(
f
)p'
ty
x0
2
(
f 2) '
t2
2
(
N 2)w '
t2
2 ( p ') tz 0
2
(
N 2) ' N 2
令 K 2 k 2 l2 m2 ，
1）证明频率方程为
3K 2 k2 [N 2K 2 m2 ( f 2 N 2 )] N 2k 0
2）证明纯重力内波、纯惯性内波、重力惯性内波及斜压（含层结）罗斯贝的频 率方程分别为
解：
2=
(k 2
l2 )N K2
2
说明这些波的能量传播方向垂直于波动传播方向。
( p ')
t2
gz0
2
2
2
(
f )(
N 2)w '
(
ty
x t2
t t2
f 2) ' z
2
(
f
2
)(
N 2)( ')
ty
x t2
N 2 ( 2 f 2) '
g t2
z
2
( ty
f
)( xt
2 2
2
2
)(
f 2)
'0
x
t t2
z2
8. 设上题 v '方程的解为 v ' V exp[i(kx ly mz t)]
t
))
tan
A2 sin(x k t )
A2 A2 cos(x k t )
并证明，若振幅 A1 A2 ，则群速度级波包迹传播的速度为cg d / dk 。
解：由
2 A2 cos[(k k )x (
A2 cos[(kx t ) ( kx
A 2
{cos(kx
t )cos( kx
A2 cos(kx t ) cos( kx
2 (
f

2
)u ' (
f
)v '
ty x
tx y
2 ( ty

f
2 x )(t2
N 2)w'
2 t (t2

f
2 ) v ' z
可求出V ' u 'i v ' j w'k 的波动形式。
当V ' K (u 'k v 'l w'm) 0 说明这些波是横波。 当 c cg 0
则
1
2
A cos cos(kx t ) A sin sin(kx t ) A cos(kx t )
A2 (A cos )2 (A sin )2
[A1 A2 cos( kx t )]2 [A2 sin( kx t )]2
A12 A22 2A1A2 cos(x k t )
(A12
A22 )(1
2A1A2 cos(x k A12 A22
(
k 2) (
k 3 k )i 0
k2
( k 2)k c
k2
k
0 ，无耗散： 0 ，无频散： 0 、 0 ，无频散但有耗散： 0 、 0 ，
无耗散但有频散。
5.绝热大气条件下，一维声波方程为
d 1p 0
dt
x
d
0
dt
x
d lnp d ln
dt
dt
其中， cp / cv ，假设大气基本状态是静止大气，试将方程组线性化，求出 频率方程，讨论速度扰动、密度扰动及气压扰动的振幅和位相之间的关系。 解：用小扰动法可将方程线性化：
解：由已知 Ae t cos(kx t kx0) 可得
=Re Ae t ei（kx- t-kx0）
=Re Ae t i (kx t kx0 )
Re
Ae
ikx 0
e ik (x
t k
i t) k
ik x ( i )t
Re Ae ikx0 e
kk
令 B Ae ikx0 ，则可写为
Re Beik (x ct )
即B A coskx -iA sinkx ,c
i
kk
2.设有两列波动
1 A1 cos(kx t )
2 A2 cos (k k )x (
)t
在同一介质中传播，证明合成波为一个振幅被调制的简谐波，即有
其中，
1 2 A cos(kx t )
A2
(A12
A22 )(1
2A1A2 cos(x k A12 A22
振幅关系为U
RT ,P RT
6.取赤道 平面近似的浅水扰动方程组的形式为
' y' t ' y' t
' t
c
2 0
(
' x
'
x '
y ') 0
y
其中， '
gh
'
，
c
2 0
gH ，进一步设 0
'
此种情形下波动的性质。 解：由题意可将方程组改写为：
0， y
' g h '……（1）
t
x
y ' g h '……（2） y
t
))
tan
A2 sin(x k t )
A2 A2 cos(x k t )
A1 A2 时，利用半角的三角函数恒等式，可得
A
2A1
cos
1 2
(x
k
t
),
1 (x k 2
t
) 则群速为cg
d / dk
3.证明群速c g 也可表示成一下形式c g
c2 c dc
d
答：由c g
d dk
1 dk
1
1
d( ) 1
3）求以上四种波动的相速和群速。 重力内波相速、群速为
(k2 l2 )N 2
c
K
K3
m2 N
(k2 l2 )
cg
(ki l j (k 2 l2 )K 3
m
k)
惯性内波相速和群速为
c mf K K3
cg

f K3
(kmi
lm
j
(k 2
l2)k)
重力惯性内波相速和群速为
dc
c2 c dc
d d c c c2 d
d
4．振幅不随时间衰减的波动称为无耗散波动，振幅随时间衰减的波动则称为有 耗散的波动，设波动方程为
'
'
2'
3'
t
x
x2
x3
式中 、 为实参数，试讨论波动无耗散、波动无频散、波动无频散但有耗散及 波动无耗散但有频散的条件。
解：设 ' Ae et i (kx t ) 代入上式，可得：
第四章 大气中的波动 习题 1． 在研究简谐波振幅的增强、减弱的可能性时，可设波动解的形式为
=Aeet cos(kx t kx0 )
式中 A 是振幅，������是振幅的增长因子， x0 是初相位，试证明这一表达式可写成
Re(Beik(x ct ))
这里的 B 和 c 都是复数。试用 A、������、k、������、 x0 确定 B 和 c。
则
)t ] t )] t ) sin(kx t )sin( kx t )] t ) A2 sin(kx t ) sin( kx t )
1
2
[A1 A2 cos( kx t )]cos(kx t ) A2 sin(kx t )sin( kx t )
令 A cos
A1 A2 cos( kx
t)
A sin A2 sin( kx t )
h'
c
2 0
' 0……（3）
t gx
对方程（1）和（3）运用标准波形法
' Ue my e i (kx t ) h ' He my e i (kx t )
时 ' 0 ，试讨论
可得频散关系：
c 0k
cp k c0
hH0
对方程（2）用标准波形法可以求出： m
y
c0
故有： ' h'
Ue e ( y 2 /c0 ) i (kx t ) He e ( y 2 /c0 ) i (kx t )