必修四 三角恒等变换
高中数学 必修四 课件：第三章 三角恒等变换
或asinα＋bcosα＝
a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝ab.
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称．
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
第三章 章末归纳总结
[分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝ cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
第三章 章末归纳总结
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[解析] ∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π. 又cos(α＋β)＝－1114 ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143. 又tanα＝4 3 ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489. ∴sinα＝473，从而cosα＝ 1－sin2α＝17，
第三章 章末归纳总结
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专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
第三章 章末归纳总结
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若cos(
π 4
＋x)＝
3 5
，
17 12
π<x<
7 4
π，求
sin2x＋2sin2x 1－tanx
的
值．
[分析]
注意x＝(
π 4
＋x)－
π 4
，及2x＝2(
人教版高数必修四第10讲：简单的三角恒等变换(学生版)
简单的三角恒等变换1、会利用已有的十一个公式进行简单的包等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.2 2 . 21、公式推导：试以cos a 表布sin — ,cos — ,tan 一.2 2 2二、积化和差、和差化积公式:一.1 .1、公式推导：(1 ) sina cosP =3 sin (« + s ) + sin(a - B )］；日+甲 e(2)sin&+sin 中=2sin --------- cos ----- .2 221 c o 2： cos ：= -----------2 . 2 tan ： 1 - c 。
2二二、本章节公式汇编:2 tan a tan 2a = ------ 2—1 —tan a a=P口tan o(± tanPtan(a ± P)=七------------ -1 + tana tan P相除I相除S oH3cos2 1___ 2 _._2= cos : -sin2= 2cos「.—12=1 -2 sin :sin 2 : - 2sin 二cos ; S:-- C:：移项:■ ■■ 2 :■2 :.1 cos： =2cos 22 ：■1 —cos： - 2sin2变形e 1 r n …sin ot cos P = 3 b in(ot +P) + sin(ot -P)]口1 r . 口口1 cosasin ^ =~ fe in(a+ P)-sin(a - B)]D 1 r口口i cos a cos P = ? cos(a+ P)+ cos°t -P )]1 1 r . - n ，. n ，1 sin，sin - - - cos : - cos ：■ ■ ■,1 -cos ; sin —二---------2 1 21 cos 上cos一2 \ 2相除, 1 1 -cos：tan i ---- -----2 1 cos ; _ sin 工1-cos工1 cos 工sin 工A +B A -Bsin A + sin B = 2sin----- c os------2 2A +B A -Bsin A -sin B =2cos------- sin-----2 2A +B A -B cosA - cosB = 2 cos------ cos2 2A +B A-B cosA -cosB =-2sin sin -----2 24 4 A cos A sin A 例1已知一2一十—2—cos B sin B4 4cos B sin B /:1 求证：-22—=1.cos A sin A1 1中,ABC是它的二个内角，记S= ---------- +-------- ，求证:S<1.1 tan A 1 tan B1 sin x 二例 2 证明-------- =tan（—+ 一）.cosx 4 2练习：已知 a , 8（0,彳）且满足：3sin2”+2sin3 =1,3sin2-2sin2 3 =0, a+2 的值.练习：在锐角三角形 ABC例3求证: sin（a ：）sin（：：■■）sin2 1 cos2 :=1 一些tan ;练习：1 sin4i - cos 41 1 sin 4y cos4i 1.求证：----------------- = ------------2 ----2sin ? 1 - tan i1、m,2.已知 sin 3 =m，sin(2 求证3tan( a + 3 )= tan a .1 - m3.若sin a^~ ,第E第二象限，则tan亘的值为（）13 2 1A.5B.-5C.一54.设5兀< 0 <6兀Rosa则sin —等于( )2 4 D.--.1 a . 1 - a2 . 25.已知 sin 。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
三角恒等变换
– 第二级
4
热身练习 2.计算下列各组式的值：
学习过程
数学必修4—第三章
(1)cos(15 ) ________; (2)sin(75 ) _____;
15 sin , cos( ) 的值. 3.已知 是第二象限角，求 • 第三级 17 3 – 第四级 8 2 解： 为第二象限的角 cos 1 sin ; » 第五级 17
常用的化变方式有：角的加减变换、互余关 系的变换、互补关系的变换、单角与复角间的 转换等.
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一、学习准备
热身练习 1.请运用 C( ) 公式， • 单击此处编辑母版文本样式
学习过程
数学必修4—第三章
3 – 第二级 ) sin , (2) cos( ) cos ; 证明： (1) cos(
2 6 4
15 3 8 cos( ) cos cos sin sin 3 3 3 34
解后反思 在上面的练习中，用到哪些知识？还有方法吗？ 你还能求 sin 75 、 cos 75 、 cos( ) 、 sin( ) 、 3 3
sin( ) 等值吗？这就是本节课要探究的问题？ 3
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【热身反思】 单击此处编辑母版标题样式
单击此处编辑母版文本样式 第1题：证明题，直接运用公式 C ,比前面学习 •
诱导公式时的证明更为简单，可谓是“鸟枪换大 – 第二级 炮”； • 第三级 第2题：计算题，直接运用公式 C 和诱导公式 – 第四级 求解，易错点：公式记错，计算出错； » 第五级 第3题：求值题，选自教材，直接运用公式求解， 易错点：三角函数的符号的确定，计算出错，该 题隐含一个重要的“勾股数”8、15、17。 热身练习的目的：创设情境，复习巩固相关知识 与方法，为本节课作铺垫。
【高中数学必修四】3.2简单的三角恒等变换
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对于（C2）公式的变形用，即升（降）幂公式的运用，已介绍。
复习：
凑角公式
a sin x b cos x a 2 b 2 sin x b a, b所在象限决定 其中tan , 角所在象限由点 a
功能：把形如“asinx+bcosx”的多项式化成“一角一函数” 形式，从而使问题简化，蕴含了化归思想。
三.课堂小结
1.( S2 )公式的变形用 2.(C 2 )公式的变形用
2 tan 3.万能公式： sin 2 1 tan2 1 tan2 cos 2 1 tan2
5.积化和差与和差化积公式
2 tan tan 2 1 tan2
4.三角恒等变换在实际问题中的应用
万 能 公 式
例4.求证（教材140页例2） 1 1sin cos sin sin 2 2sin sin 2 sin cos 2 2
此例中(1)与教材142练习2，称为积化和差公式 此例中(2)与教材142练习3，称为和差化积公式
1 2 4 解法二：原式 cos cos cos 2 9 9 9 8 2 4 8 sin sin sin sin 1 1 9 9 9 9 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 4 16 sin 16 9 9 9 9 1 2 3 4 5 cos cos cos cos cos 32 .
R, k
2 , k
(T2 )
4 (k Z )
二.新课： 题型1：二倍角中的连乘积问题
例1 求值： cos 80o cos 40o cos 20o
3.2.1倍角公式课件—人教B版必修四三角恒等变换
“用-替代S 中的”
思考：如果用替代S 中的，
会得到什么结果呢？
探究一
如果令S ，C + ,T +中的 =，
会得到什么结论呢？
请同学们自己动手推导，时间约为2分钟
探究一
在sin( ) sin cos sin cos 中，令 ，
sin( ) sin cos cos sin
解：
cos
1 , ( , 2 ),
(
, )
2
3
22
sin 1 cos2 1 sin2 1 ( 1)2 2 2
2
2
2
3
3
sin 2 sin cos 2 2 2 ( 1) 4 2
2
2
3
3
9
cos 2 cos2 1 2 ( 1)2 1 2 1 1 7
2
3
3.已知f ( x) sin2 x 2 sin x cos x cos2 x (1)求f ( x)的最小正周期； (2)求f ( x)的最值及相应的x的值
(3)若x [0, ]，求f ( x)的最值及相应x的值.
2
小结
这节课你学到了哪些知识： 1.倍角公式及其应用：
正用、逆用、变形用； 注意角的相对性。 2.倍角公式的作用： 求值,化简. 3.注意题目中角的范围，合理取舍.
作业
1. 学案:《二倍角公式》 2.《课本》P144-A -2,3,4
课堂反思
倍角公式并不难， 和角公式来转换。 公式变形真奇妙， 探索当中寻诀窍。
谢谢大家
即sin 2 2 sin cos
同理在cos( ) cos cos sin sin 中,令 ， cos( ) cos cos sin sin
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sinsin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒221cos 2cos1cos 2sin22αααα+=-=，⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．⑶22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()22sin cos sin α+=++a x b x a b x ，2222cos sin a b a ba bϕϕϕ==++其中由，决定四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；②2304560304515o ooooo=-=-=；③()ααββ=+-；④()424πππαα+=--； ⑤2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
必修四-第三章-三角恒等变换
必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道2cos 452=，3cos 302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。
思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯-⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解:︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系． （六）作业：《习案》作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想： （一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？ 探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。
高中数学必修四三角恒等变换题型归纳及训练题
三角恒等变换一、知识概括：1．两角和与差的三角函数公式2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2.二、方法归纳总结：1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．三、典例剖析：题型一、【公式顺用、逆用、变用】例1、sin 75= ； cos15= ； 2、sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．设sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈，则tan 2α的值是________．4、若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625专题二：【凑角应用】例3、已知0<β<π4<α<34π，135)43sin(,53)4cos(=+=-βπαπ，求)sin(βα+的值．注：常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－()4πα-变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2，14cos(),cos(),43425ππβα+=-=则cos()2βα+=________.变式2、已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.题型三、【三角恒等变换的综合运用】1.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.2.已知函数()sin(),4f x A x x R π=+∈，且53()122f π=. ①求A 的值； ②若f (θ)＋f (－θ)＝32，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-3.已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．三角恒等变形课后训练题1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A. 0B. 12C.D. 12-2. =+-)12sin 12(cos )12sin12(cosππππ（ ）A. 23-B. 21-C. 21D.23 3.设1tan 2,1tan xx +=-则sin 2x 的值是 ( )A. 35B. 34-C. 34D. 1-4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A. 47-B. 47C. 18D. 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A. 3365B.1665C. 5665D. 63656.)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A. 725-B. 2425-C. 2425D. 7257.cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A. 2521≤≤aB. 21≤aC. 25>aD. 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A.1010 B. 1010- C. 10103 D. 10103-9. 函数sin22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A. x =113π B. x =53π C. 53x π=- D. 3x π=-10.在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则C 等于 ( )A.3π B. 23π C. 6π D. 4π11.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于 ． 12. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ． 13. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为 ．14. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 ．（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：15.在ABC ∆中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．16.已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．17. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．19.已知函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π6（1）求)0(f （2）设56)23(,1310)23(0,2,2,0=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβπαf f ，求)cos(βα+的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
高中数学新人教A版必修4课件：第3章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换6
思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公 式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或 余弦函数)的性质得出结论．
[解] (1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin 2x＋14 ＝12cos x－ 23sin x12cos x＋ 23sin x－12sin 2x＋14
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条 件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．求证：
（sin
x＋cos
2sin xcos x x－1）（sin
x－cos
x＋1）＝1＋sincoxs
x .
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x
1．已知 180°＜α＜360°，则 cosα2的值等于( )
A．－
1－cos α 2
B．
1－cos α 2
C．－
1＋cos α 2
D．
1＋cos α 2
C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，
∴cos α2＜0，故应选 C.]
2．2sin θ＋2cos θ＝( )
A．sinθ＋π4 C．2 2sinθ＋π4
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
学习目标
核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三 角函数式的化简、求值以及证明，进 而进行简单的应用．(难点、易混点)
必修四第三章 三角恒等变换解题技巧
必修四第三章 三角恒等变换解题技巧1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值. 分析 将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.解 ∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限的角， ∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限， ∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值. 分析 转化为已知角⎝⎛⎭⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值.这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎫π4－x 这个角的三角函数. 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，且0<x <π4， ∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos [(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1 已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________.解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝－3－(－33)1＋(－3)×(－33)＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β、α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. 第二招 复角化单角例2 化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).解 原式＝sin (2α＋β)－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin[α＋(α＋β)]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α.点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可. 第三招 复角化复角例3 已知π4<α<34π，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(34π＋β)＝513，求sin(α＋β)的值.解 因为π4<α<34π，π2<π4＋α<π，所以sin(π4＋α)＝1－cos 2(π4＋α)＝45.又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos(34π＋β)＝ －1－sin 2(34π＋β)＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin[(π4＋α)＋(34π＋β)]＝－[sin(π4＋α)cos(34π＋β)＋cos(π4＋α)sin(34π＋β)]＝－[45×(－1213)＋(－35)×513]＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和34π＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例13－sin 70°2－cos 210°＝________.解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式 例2 化简求值： 12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝ 12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现：前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x 的最值.解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }.点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解 原函数整理得：sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解 原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得： －12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式. 解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a22＋2a ＋1. 当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1， 此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－12a 2－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决.例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2，2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2).四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值.解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数.故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值.解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－xa sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上单调递减，从而，当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现. 四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性.[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1， 从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数.温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数.∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1， ∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .温馨点评 注意公式a sin x ＋b cos x ＝\r(a 2＋b 2)·sin (x ＋φ)的左端是同角x .当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f (x )＝sin (x ＋θ)＋\r(3)cos (x －θ)(x ∈R )的最大值不是2.6 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________.解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.解析 由条件得 |m |＝sin 2θ＋(1－cos θ)2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n|m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2 θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去).因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos (θ＋π6)≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A.－32 B.－16 C.16 D.32解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.7 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例1 已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22)解 设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，用题设所给的中点坐标公式，得AB的中点C ⎝⎛⎭⎫16，18，如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ⎝⎛⎭⎫16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1816＝34.点评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始 终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交会例2 已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解 如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，不妨设α、β∈[0,2π]， 则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB ＝12(β－α)，又∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2，所以tanα＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12，故tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝－43.点评 若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例3 如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C .(1)若α＝π6，β＝π3，求点M 的坐标；(2)设α＝θ(θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.解 (1)由三角函数定义可知，A ⎝⎛⎭⎫32，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32， 由中点坐标公式可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14，3＋14.(2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π3)，即C ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，故m ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，n ＝sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6， 所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋5π12，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12， 当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋12.点评 借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.8 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值例1 求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解 y ＝2sin x (sin x －cos x ) ＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·12＋cos 2x ·12＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·cos π4＋cos 2x ·sin π4 ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间例2 求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间.解 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＋1 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z ).所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ).三、求周期例3 函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是( ) A.2π B.π C.π2 D.π4答案 C解析 y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ＝1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期T ＝2π4＝π2.故选C.四、求参数的值例4 如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A. 2B.－ 2C.1D.－1答案 D 解析 y ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ). 因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π8过函数图象的最高点或最低点.即x ＝－π8时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2.所以sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝±1＋a 2. 即22(a －1)＝±1＋a 2. 所以a ＝－1.故选D.9 二倍角公式用法揭秘从两角和的三角公式推出二倍角的正弦、余弦和正切公式，是化归思想的体现，倍角公式的内涵是：揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.下面对此公式的应用作以梳理，供同学们参考. 一、二倍角公式的正用例1 已知sin α＋cos α＝13，且0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.分析 可先将已知式平方，再利用二倍角公式求sin 2α、cos 2α，进而利用商数关系求出tan 2α的值.解 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，所以sin 2α＝－89.因为0＜α＜π，所以sin α＞0， 又sin αcos α＝－49＜0，所以cos α＜0，从而sin α－cos α＞0， 所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝173. 故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) ＝13×⎝⎛⎭⎫－173＝－179. tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.评注 一般情况下，求sin 2α、cos 2α时需先求出sin α、cos α的值，往往需用到平方关系和方程或方程组，解题过程中需注意角α的范围的判定，即cos α符号的判定.二、二倍角公式的逆用例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4x 的值. 分析 由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需变换之后再用公式求解. 解 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ， 所以12cos 2x ＝16，即cos 2x ＝13. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x ＝－223. 故sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 评注 一般说来，在题目中有单角、倍角时，应将倍角化为单角，同时应注意2α、2α－π2、α－π4等角之间关系的应用. 三、二倍角公式的变形应用例3 求tan 67°30′－tan 22°30′的值.分析 考虑到67°30′×2＝135°，22°30′×2＝45°，且67°30′＋22°30′＝90°，故可用二倍角的正切公式来求解.解 原式＝tan 67°30′－sin22°30′cos 22°30′＝tan 67°30′－cos 67°30′sin 67°30′＝－2×1－tan 267°30′2tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2. 评注 本题是二倍角正切公式的变用，强调的是在具体的运算过程中对公式的灵活变换.二倍角公式灵活多样，应用广泛，如升幂、降幂等，在具体应用中要根据具体的题目要求，合理选用公式进行相关运算.四、二倍角公式的构造例4 求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值.分析 可利用二倍角的正弦公式的变形公式sin α＝sin 2α2cos α进行运算；也可利用诱导公式先将正弦全部化为余弦，再逆用二倍角公式求解；也可以构造对偶式列方程求解.解 方法一 因为sin 2α＝2sin αcos α，所以sin α＝sin 2α2cos α， 故原式＝sin 20°2cos 10°×12×sin 100°2cos 50°×sin 140°2cos 70°＝sin 20°2sin 80°×12×sin 80°2sin 40°×sin 40°2sin 20°＝116. 方法二 原式＝cos 80°×12×cos 40°×cos 20° ＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116. 方法三 令x ＝sin 10°sin 50°sin 70°，y ＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy ＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°＝12sin 20°×12sin 100°×12sin 140° ＝18sin 20°sin 80°sin 40° ＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y ， 因为y ≠0，所以x ＝18，从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.评注本题是二倍角公式应用的经典题型，方法一和方法二通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角正弦公式的形式.方法三利用构造对偶式解题具有一般性，事实上，有些数学问题，可根据本身的特点，相应地构造相“匹配”的另一整体，然后由其相依相伴的关系进行求解，这种思想我们称之为“配对”，本题中是一种积式的对偶，三角函数中的sin α、cos α就是一种常见的对偶关系.。
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第三章 三角恒等变换李海东 王东3.1 和角公式学案：两角和与差的余弦【预习达标】1.cos(α+β)=；cos(α－β)＝。
2.试用向量的方法证明以上两个结论。
证明以坐标原点为中心作单位圆（如图），以Ox 为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，则P 点坐标为，Q 点坐标为 。
=＝。
则βα-＝。
因为OQ OP ⋅＝＝><=⋅OQ OP OQ OP ,＝所以cos(α－β)＝cos αcos β+sin αsin β，于是cos(α+β)＝cos[α―(―β)]＝ ＝。
【课前达标】1. 下列等式中一定成立的是( )A. cos(βα+)=cos α+cos βB. cos(βα-)=cos α－cos βC. cos(απ+2)=cos α D. cos(απ-2)=sin α2. 已知cos(βα+)＝54，cos(βα-)＝－54，则cos αcos β的值为( ) A. 0 B. 54 C. 0或54 D. 0或±543. 在△ABC 中，若sinA ²sinB<cosA ²cosB ，则△ABC 一定为( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形 4.下列式子中正确的是（）①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos α+cos β；③cos(α-β)＝cos αcos β； ④cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；⑤cos(α－β)＝coscos ê+sinsin êA.0个B.1个C.2个D.3个5. sin12π－3cos 12π的值等于 【典例解析】例1：求值：（1）cos80ocos35o＋cos10ocos55o（2）cos24o cos36o －sin24o cos54o（3）sin12π＋cos 12π例2：已知βα、为锐角，cos α＝101，cos β＝51， 求：（1）cos(βα+) （2）βα+例3：已知cos(2βα-)＝－91，sin(βα-2)＝32，且20,2πβπαπ<<<<，求cos 2βα+。
【双基达标】1. 满足cos αcos β＝23＋sin αsin β的一组α、β的值是( ) A. α＝2π，β＝6π B. α＝2π，β＝3πC. α＝3π，β＝6π D. α＝1213π，β＝43π2. 下列说法错误的是( )A. 存在这样的α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB. 不存在无穷多个α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC. 对任意的α和β的值，都有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD. 不存在这样的α和β，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β3. 已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为( ) A. 1 B. －1 C.21 D. －214.cos84°cos24°-cos114°〃cos6°的值为（ ）A.23-B.0C.21D.25.55cos =α，则cos(4πα-)的值为（）A.10103B.1010-C.552 D.10103或1010- 6.下列四个命题中的假命题是（ ）A.存在这样的α和β的值使得cos(α+β)＝cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α和β的值使得cos(α+β)＝cos αcos β+sin αsin βC.对于任意的α和β有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βD.不存在这样的α和β的值使得cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β7.在△ABC 中，若sinA 〃sinB ＜cosA 〃cosB ，则△ABC 一定为（ ）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形8.已知sin α+sin β+sin γ=0，cos α+cos β+cos γ=0，则cos(α-β)的值是（ ）A.1B.-1C.21D.-21 9.已知55sin =α，1010sin =β，且α、β为锐角，则α+β的值是（）A.45°B.135°或45°C.135°D.以上都不对10. 已知2π＜β＜α＜43π，cos(α－β)＝1312，sin(α+β)＝－53，求cos2α与cos2β。
【能力达标】1．已知sinx+siny ＝22，则cosx+cosy 的取值范围是 。
A ．［0，214］ B ．［－214，0］ C ．［－214，214］ D ．［－21，27］2．已知tan α=2，cos （απ-6）的值为（）A ．663+B ．663+±C ．－663+ D ．0 3.已知cos(α+β)＝54，cos(α－β)＝-54，则cos αcos β=.4.cos(α+β)cos(β-γ)+sin(α+β)sin(β-γ)＝。
5．已知0°＜︒<<90βα且sin α、sin β是方程x 2－（︒40cos 2）x+02140cos 2=-︒的两根， 求cos （βα-2）【数学快餐】1．若sin α²sin β＝1，则cos(βα-)的值为（） A ．0B ．1C ．±1D ．－1 2．在△ABC 中，cosA ＝53且cosB=135，则cosC 等于（ ） A ．－6533B ．6533C ．－6563D ．65633．化简sin(x+y)sin(x －y)+cos(x+y)cos(x －y)的结果是（ ）A ．sin2xB ．cos2yC ．-cos2xD ．-cos2y 4．在△ABC 中，若cotA ²cotB ＞1，则△ABC 一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 5．若cos(βα-)＝31，则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2＝ 。
6．函数y ＝cosx+cos （x+3π）的最大值是 。
学案：两角和与差的正弦【预习达标】1. 两角和与差的正弦公式是：sin(βα+)= ； sin(βα－)= 。
2. 对比公式βα±C 、βα±S 四个公式，它们的共同点是：和差角的正、余弦都是用 表 示，不同点是公式 中两边运算符号相同；公式 中两边运算 符号相反， 中右边是两单角异名轮换积； 中右边是两 单角同名积。
3. 一般情况下，sin(βα±) sin α±sin β，cos(βα±) cos α cos β，即和差 角的正、余弦不满足分配律。
【课前达标】1.sin72°cos42°-cos72°sin42°的值为（ ）A.21 B.22 C.23 D.12.1211sinπ的值为（ ）A.462- B.426+ C.426- D.－462+ 3.下列各式中，与sin α-cos α恒等的是（ ）A.)4sin(2πα-B.)4cos(2πα+C.)43sin(2απ+ D.)43sin(2απ- 4. 已知sin(α-60o )=21sin α，且0o <α<180o，则α=5. sin48ocos18o-sin42ocos72o=【典例解析】例1:已知sin α=53，sin(βα+)=31，α∈(0，4π)，β∈(43,2ππ)，求sin β的值。
例2：已知Rt △ACB 中，两垂直边AC=b ，BC=a ，斜边AB=c ，周长为定值l ，求斜边c 的最小值。
例3：已知cos(βα+)=0，求证：sin(βα2+)=sin α。
【双基达标】1. 化简sin(βα-)cos α-cos(βα-)sin α的结果是( ) A. sin(βα-2) B. cos β C. -sin β D. sin β2. 在△ABC 中，cosA=53，sinB=135，则sin(A+B)的值为( ) A. 6563 B. 6533± C. 6563或-6533 D. -6563或65333.等腰三角形一个锐角的正弦和余弦的和为26，那么这个三角形的顶角（ ）A.一定是15°B.一定是30°C.要么是15°，要么是75°D.要么是30°，要么是150°4下列式子正确的个数为（）①cos(α+β)=cos α+cos β ②sin(α+β)=sin α+sin β ③tan(α-β)=tan α-tan β ④sin(α-β)=sin αsin β+cos αcos β ⑤sin(α+β)=sin αsin β+cos αcos βA.0个B.1个C.2个D.3个5.cos24°〃cos36°+sin24°〃sin36°＝（）A.0B.21 C.23-D.22 6.求值(tan10°-3)〃︒︒50sin 10cos ＝。
7.在△ABC 中，如果4sinA+2cosB ＝1，2sinB+4cosA=33，则C 的大小是。
8.在锐角三角形中，53sin =A ，cosB ＝135，cosC ＝ 。
9. 已知6sin 2α+sin αcos α-2cos 2α=0，α∈［ππ,2］，求sin(2α+3π)的值。
10. 设f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)是偶函数，且x ≠k π，k ∈Z,求f(2α-π32)的值。
【能力达标】1．若βα,都是锐角，sin 54=α，cos （βα+）=1312-，则sin β是（ ）A ．6563B ．6533 C ．6563- D ．6533-2．已知)23,(ππα∈，sin 41-=α，)2,23(ππβ∈，cos 54=β，则βα+为。
A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 3．△ABC 中，4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=33，则C 的值是。
4．（tan10°－3）︒︒50sin 10cos =5．已知单位圆上的两点P 1（x 1, y 1），P 2（x 2, y 2）∠P 1OP 2=θ， 求证：（1）x 1x 2+y 1y 2＝cos θ（2）x 1y 2－x 2y 1＝sin θ【数学快餐】1．在△ABC 中，已知sin(A －B)²cosB+cos(A －B)sinB ≥1，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形2．若sin(βα-)cos α－cos(βα-)sin α=m ，且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）A ．21m -B ．－21m -C ．12-mD ．－12-m3．若cos αcos β＝1，则sin(βα+)等于（ ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．±14．cos15°－cos75°的值等于（） A ．26B ．26-C ．22-D ．225．已知),2(ππα∈，sin(απ+6)=261235-，则sin α= 。