二项式定理

二项式定理：

一、框架

二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容，高考在这一部分命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。复习时先要正确的理解二项式定理、二项展开式的项、系数等概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键，同时注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。其中非标准二项式定理求解特殊项的问题，是难点问题。 1．二项式定理：

公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －

1b ＋…＋C k n a n －

k b k ＋…＋C n n

b n (n ∈N *)叫做二项式定理． 2．通项:

T k ＋1＝C k n a

n －

k b k 为展开式的第k ＋1项． 提醒： (1)T k ＋1表示的是第k ＋1项，而非第k 项．

(2)要正确区分二项展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同． 3. 求二项展开式中的项的方法:

求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n a

n －

k b k

的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )． (1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；

(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程;

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 4．二项式系数与项的系数

(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C k

n (k ∈{0,1，…，n })叫做二项式系数．

(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 5．二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m

n ＝C n －m

n . (2)增减性与最大值：二项式系数C k

n ，当k <

n ＋1

2

时，二项式系数逐渐增大；当k >

n ＋1

2

时，二项式系数逐渐

减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大． (3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n

. (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0

n ＋C 2

n ＋…＝C 1

n ＋C 3

n ＋…＝2

n －1

.

6．在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力．归纳起来常见的命题角度有： (1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题； (2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题； (3)三项展开式中的特定项(系数)问题.

7．赋值法研究二项式的系数和问题：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n

、(ax 2

＋bx ＋c )m

(a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．

二、方法诠释

第一方面：二项式的项、二项式的项的系数、二项式的系数 例1：在⎝⎛⎭⎫x －2

x 6的二项展开式中常数项是( ) A ．－120 B ．－60 C ．120

D ．60

解：选D 二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r

＝C r 6(－2)r x 3－32r ，令3－32

r ＝0，得r ＝2，所以常数项为C 26(－2)2＝60.

第二方面：对称性、增减性、最值与二项式系数

例2：已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n ＝________. 解：容易得到n ＝10.

第三方面：几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 例3：⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1

x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36

D ．38

解：选D ⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T m ＋1＝C m 4(x 3)4－m ·⎝⎛⎭⎫－2x m ＝C m 4(－2)m x 12－4m ，令12－4m ＝0，解得m ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为T n ＋1＝C n 8x 8－n ⎝⎛⎭⎫1x n ＝C n 8x 8－2n ，令8－2n ＝0，解得n ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.

问题四：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 例4： ⎝⎛⎭⎫2x ＋x (1－x )4

的展开式中x 的系数是________．

解：(1－x )4展开式的通项公式T r ＋1＝C r 4(－x )r ＝(－1)r C r 4x r 2，⎝⎛⎭

⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中含x 的项为 2x ·(－1)4C 44x 2＋x ·(－1)0C 04x 02＝2x ·x 2

＋x ·1＝3x ，故系数是3. 答案：3 问题五：三项展开式中特定项(系数)问题

例5：(x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是________．

解：由(x 2－4x ＋4)5＝(x －2)10，得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x

10－

r (－2)r ，所以x 的系数为(－2)9C 910＝－5 120. 答案：－5 120 问题六：赋值法

例6.1:若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )

A ．1或－3

B ．－1或3

C ．1

D ．－3

解：选A 令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝m 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，即(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)·(a 0－a 1＋a 2－…－a 9)＝39，即(2＋m )9·m 9＝39，所以(2＋m )m ＝3，解得m ＝1或－3.

例6.2：化简:12

1393n n

n n n C C C +++

+= ．