中考整式和因式分解复习教案
《整式的乘法与因式分解复习》导学案
第14章整式的乘法与因式分解复习导学案【学习目标】1、复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系.2、通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用.【重点难点】重点：整式的乘除运算与因式分解难点：灵活进行整式的乘除运算和多项式的因式分解.一、知识梳理1. 有关法则⑴幂的四个运算性质：(2)单项式乘以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相乘后，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.⑸单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．2. 有关公式：⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：(a+b)(a－b)= a2- b2.⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的再加上（或减去）这两数的平方，即：(a±b)2=a2±2 a b+ b2.3. 有关概念 ⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.⑵提公因式法：把多项式各项的公因式提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即am bm cm ++=m (a ＋b ＋c ).提公因式法的实质是逆用乘法分配律.⑶公式法：把乘法公式()()a b a b +-= a 2- b 2、2()a b ±= a 2±2 a b + b 2逆用，就得到分解因式的公式22a b -=(a +b )(a －b )，222a ab b ±+=(a ±b )2，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法.（4）十字相乘法：pq x q p x +++)(2=(x +p )(x +q )。
第14章整式的乘除和因式分解-(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于整式的乘除和因式分解这一章节的内容普遍感到有些吃力。在讲解整式的乘法法则时，我注意到有的学生在进行多项式乘多项式的运算时，容易混淆同类项和如何正确合并它们。这让我意识到，需要通过更多的例题和练习来加强他们的这部分能力。
在因式分解的教学中，我发现十字相乘法对学生来说是一个难点。他们往往在寻找能够相乘得到多项式系数的两个数时遇到困难。我尝试通过一些具体的例题和分解步骤来引导学生，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我需要在课堂上提供更多的时间和机会，让学生自己尝试和探索，而不仅仅是观看我的演示。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除和因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际代数问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用整式的乘除法则，以及因式分解的各种方法；
2.提升学生的数学运算能力，熟练掌握整式乘除和因式分解的运算技巧；
3.增强学生的数学抽象思维，通过解决实际问题，体会数学在现实生活中的应用；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作，共同解决复杂的整式乘除和因式分解问题；
第14章整式的乘除和因式分解-（教案）
一、教学内容
第14章整式的乘除和因式分解：
1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2.乘法公式：平方差公式、完全平方公式；
3.整式的除法：整式除以单项式、整式除以多项式；
整式乘法与因式分解综合复习个性化教案
整式乘法与因式分解综合复习个性化教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解整式乘法的概念和方法，掌握多项式乘多项式的法则；（2）掌握因式分解的概念和方法，能够运用提公因式法和公式法进行因式分解；（3）能够运用整式乘法和因式分解解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过自主学习、合作探讨的方式，提高整式乘法和因式分解的能力；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度；（2）培养学生勇于探索、合作交流的精神。
二、教学内容1. 整式乘法：（1）多项式乘多项式的法则；（2）单项式乘多项式的法则。
2. 因式分解：（1）提公因式法；（2）公式法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）整式乘法的法则；（2）因式分解的方法。
2. 教学难点：（1）整式乘法中的混合运算；（2）因式分解中的公式法的运用。
四、教学方法1. 自主学习：引导学生独立完成相关练习，提高自主学习的能力；2. 合作探讨：分组讨论，共同解决问题，培养合作精神；3. 案例分析：通过具体案例，让学生学会运用整式乘法和因式分解解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：（1）复习整式乘法的基本概念和方法；（2）复习因式分解的基本概念和方法。
2. 新课讲解：（1）讲解整式乘法的法则，举例说明；（2）讲解因式分解的方法，举例说明。
3. 练习与讨论：（1）布置相关练习题，让学生独立完成；（2）分组讨论，共同解决问题。
4. 案例分析：（1）给出具体案例，让学生运用整式乘法和因式分解解决；（2）分析解题过程，总结经验。
5. 课堂小结：（1）总结整式乘法的法则和注意事项；（2）总结因式分解的方法和注意事项。
6. 课后作业：（1）布置适量作业，巩固所学知识；（2）鼓励学生进行自主学习，提高能力。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对整式乘法和因式分解的理解程度；2. 练习批改：对学生的练习作业进行批改，分析学生的掌握情况；3. 课后反馈：收集学生的课后反馈，了解教学效果。
初中整式与因式分解教案
初中整式与因式分解教案教学目标：1. 知识与技能：- 学生能够理解整式的概念，掌握整式的加减乘除运算。
- 学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法和技巧。
2. 过程与方法：- 学生能够通过观察、分析和推理，探索整式运算的规律和性质。
- 学生能够运用因式分解的方法，将多项式分解为几个整式的乘积形式。
3. 情感态度价值观：- 学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，体验到数学的乐趣。
- 学生能够通过解决实际问题，感受到数学与生活的紧密联系。
教学内容：1. 整式的概念和运算：- 学生首先需要了解整式的定义，包括单项式和多项式。
- 学生需要掌握整式的加减乘除运算规则，例如同类项的合并、系数的乘除等。
2. 因式分解的概念和方法：- 学生需要了解因式分解的定义，即将一个多项式分解为几个整式的乘积形式。
- 学生需要学习不同的因式分解方法，如提公因式法、十字相乘法、平方差法等。
教学过程：1. 导入：- 教师可以通过实际生活中的例子，如购物问题，引出整式和因式分解的概念。
- 教师可以提问学生是否曾经遇到过类似的问题，让学生思考和参与进来。
2. 整式的概念和运算：- 教师可以通过示例和练习，引导学生理解和掌握整式的概念和运算规则。
- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对整式的理解。
3. 因式分解的概念和方法：- 教师可以通过讲解和示例，引导学生理解和掌握因式分解的概念和方法。
- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对因式分解的理解。
4. 应用和拓展：- 教师可以提供一些实际问题或综合题目，让学生运用整式和因式分解的知识进行解决。
- 教师可以引导学生思考和探索更高级的因式分解方法，如差平方、完全平方等。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的情况，对整式和因式分解的理解和应用能力。
3. 学生互评和自我评价：鼓励学生进行互评和自我评价，反思自己的学习过程和进步。
《整式的乘除与因式分解》初中数学教案
《整式的乘除与因式分解》初中数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握整式乘除的运算方法，能够熟练进行整式的乘除运算。
2. 让学生理解因式分解的意义，掌握因式分解的方法，能够对简单的多项式进行因式分解。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 整式的乘法：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式。
2. 整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式。
3. 因式分解：提公因式法，十字相乘法，公式法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：整式的乘除运算，因式分解的方法。
2. 教学难点：因式分解的灵活运用，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解整式乘除的运算规则。
2. 采用案例教学法，让学生通过具体例子掌握因式分解的方法。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习相关知识，引导学生进入整式乘除与因式分解的学习。
2. 讲解：讲解整式乘除的运算规则，让学生进行相应的练习。
3. 案例分析：给出具体的因式分解例子，引导学生掌握因式分解的方法。
4. 练习：让学生进行因式分解的练习，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习：通过课堂上的即时练习，评估学生对整式乘除和因式分解的理解程度。
2. 作业批改：对学生的作业进行详细批改，了解学生对知识的掌握情况，及时发现并纠正错误。
3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们在学习过程中的困惑和问题。
七、教学拓展：1. 利用多媒体教学资源，如数学软件或在线平台，让学生进行互动式的整式乘除和因式分解练习。
2. 组织数学竞赛或小组竞赛，激发学生的学习兴趣和竞争意识。
3. 结合实际问题，让学生运用整式乘除和因式分解的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
八、教学反思：1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈和作业情况，调整教学策略。
初中数学教案整式的乘法与因式分解
初中数学教案整式的乘法与因式分解初中数学教案整式的乘法与因式分解一、知识导入整式是由系数与字母的乘积通过加法与减法相连接而成的代数式。
在此之前，我们先来复习一下整数、变量与字母的概念。
1. 整数：自然数、零和负整数的统称，用符号表示，例如-3，-2，0，1，2等。
2. 变量：用字母表示的数，表示一个未知数或可变化的数。
例如，x，y，a，b等。
3. 字母：用来表示数的符号。
二、整式的乘法整式的乘法是将两个或多个整式通过乘法运算相乘得到的结果。
在乘法运算中，我们需要注意如下几点：1. 乘法法则：同底数幂相乘，底数相同，则幂相加，系数相乘。
例如：(2x^2)(3x^3) = 6x^(2+3) = 6x^52. 使用分配律：整式乘以整数时，可以将整数分别乘以整式的各项，再把乘积相加。
例如：3x(2x+5y) = 6x^2 + 15xy三、因式分解因式分解是将整式表示为若干个因式相乘的形式。
通过因式分解，可以简化整式的计算与运算，并深入理解整式的结构与特点。
1. 提取公因式：将整式中的公因式提取出来，从而简化整式。
例如：2x^2 + 4xy = 2x(x + 2y)2. 利用分配律：将整式中的公因式与剩余部分进行因式分解。
例如：2x(x + 2y) = 2x^2 + 4xy3. 完全平方公式：对于形如(a+b)^2或(a-b)^2的整式，可以利用完全平方公式进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x+2)(x-2)4. 平方差公式：对于形如a^2 - b^2的整式，可以利用平方差公式进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x+2)(x-2)四、练习与拓展请同学们根据以下问题进行练习与拓展，加深对整式的乘法与因式分解的理解：1. 计算以下整式的乘积：(2x+3y)(4x-5y)2. 计算以下整式的乘积：(a+b)^23. 将以下整式进行因式分解：3x^2 + 6xy4. 将以下整式进行因式分解：2x^2 - 185. 利用因式分解计算以下整式：6x(x+2y) - 3(x+2y)6. 将以下整式进行因式分解：x^2 + 10x + 25五、总结与反思通过本节课的学习，我们掌握了整式的乘法与因式分解的基本方法与技巧。
整式乘除与因式分解复习教案
整式乘除与因式分解复习教案第一篇：整式乘除与因式分解复习教案整式的乘除与因式分解复习菱湖五中教学内容复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。
通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。
教学目标通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。
教学分析重点根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法和因式分解的方法与应用是本课重点。
难点整式的除法与因式分解的应用是本课难点。
教学方法与手段采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。
本课教学以练习为主。
教学过程一．回顾知识点（一）整式的乘法1、同底数的幂相乘2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式8、平方差公式9、完全平方公式（二）整式的除法1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式（三）因式分解1、因式分解的概念2、因式分解与整式乘法的关系3、因式分解的方法4、因式分解的应用二．练习巩固（一）单项式乘单项式(1)(5x3)⋅(-2x2y),(2)(-3ab)2⋅(-4b3)(3)(-am)2b⋅(-a3b2n)，231(4)(-a2bc3)⋅(-c5)⋅(ab2c)343（二）单项式与多项式的乘法(1)(-2a)⋅(x+2y-3c),(2)(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)(3)(x+y)(-2x-1y)2（三）乘法公式应用(1)(-6x+y)(-6x-y)(2)(x+4y)(x-9y)(3)(3x+7y)(-3x-7y)（四）整式的除法1(1)(-a6b4c)÷((2a3c)41(2)6(a-b)5÷[(a-b)2]3(3)(5x2y3-4x3y2 +6x)÷(6x)13(4)x3my2n-x2m-1y2+x2m+1y3)÷(-0.5x2m-1y2)3 4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9（七）因式分解的应用1、解方程（1）9x2+4x=0(2)x2=(2x-5)22、计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活动:求满足4x2-9y2=31的正整数解。
初中数学整式乘法与因式分解教案：起点破题,渐入佳境
初中数学整式乘法与因式分解教案：起点破题，渐入佳境一、教学目的通过本节课教学，让学生了解整式的乘法及因式分解的概念，并掌握基本的运算方法。
重点讲解乘法公式及其应用，帮助学生掌握因式分解的方法和应用。
二、教学分析1.整式乘法：整式乘法是整式的一种基本运算，是数学中最为简单的运算之一。
掌握整式的乘法方法对学生的数学学习起着至关重要的作用。
2.因式分解：因式分解是数学中的一种重要的计算方法，是数学后续学科中涉及舍去无关因素，阐明规律特征的重要学科。
因式分解的方法有很多，让学生掌握因式分解的方法和应用也是本节课的重点。
三、教学重点与难点1.整式的乘法运算方法及公式应用2.较复杂的因式分解方法及应用四、教学内容与方法1.整式的乘法：1）讲解整式乘法的基本概念和运算方法。
2）讲解乘法公式的应用：平方公式、差平方公式、和差平方公式和三项平方差公式等。
2.因式分解：1）讲解如何找出因式，使得整式分解求得简便。
2）给出基本的因式分解公式，如二项式公式、差平方公式和完全平方公式等。
3）上课教学加练习结合，根据练习题加强学生对整式与因式分解理解与掌握。
五、教学关注点1.教学重视学生的发现和探究活动，让学生在探索的过程中激发他们的求知兴趣和学习热情。
2.加强教学中学生动手实践，多角呈现乘法公式和因式分解问题。
3.加强教学和复习之间的时间安排，确保学生对整式乘法和因式分解概念的理解和掌握。
六、教学建议1.教师应对学生进行提问测试，增强学生的思考能力和表达能力。
2.教师应加强教学过程中与学生的互动，及时纠正学生的错误并鼓励学生。
3.教师应从实例中精挑细选出适合的练习，让学生获得更广泛的知识和实际应用的经验。
七、教学实施1.教师首先向学生介绍整式的乘法及其公式的应用。
通过练习让学生熟悉各种公式的运用。
2.然后教师着重讲述常见的因式分解方法和应用。
让学生明白如何找到因式使得分解变得简便。
3.在实施中，教师让学生先个别思考学习问题，然后团队讨论解决问题。
中考数学总复习整式及因式分解
向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个
第二,确定字母或因式(取各项的相同字母);第三,确定字母或因式
的指数(取各相同字母的最低次幂).
(2)运用公式法.
①运用平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
②运用完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.
基础自主导学
考点梳理
自主测试
1.单项式-3πxy2z3的系数和次数分别是(
)
A.-π,5 B.-1,6
第2课时 整式及因式分解
基础自主导学
考点梳理
自主测试
考点一 整式的有关概念
1.整式
单项式与多项式统称为整式.
2.单项式
单项式是指由数字或字母的积组成的式子,单独一个数或一个字
母也是单项式;单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中
所有字母指数的和叫做单项式的次数.
3.多项式
几个单项式的和叫做多项式;多项式中,每一个单项式叫做多项
人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，
可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一
好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，
整式和因式分解复习教案
整式和因式分解复习教案第一章：整式的概念与性质1.1 内容概述本节主要回顾整式的定义、分类及其基本性质。
1.2 教学目标(1) 理解整式的概念，掌握整式的分类；(2) 掌握整式的加减法、乘法运算规则；(3) 理解整式的系数、次数、度等基本性质。
1.3 教学重点与难点重点：整式的概念、分类、基本性质；难点：整式的运算规则及性质的灵活运用。
1.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
1.5 教学过程(1) 复习整式的定义及分类；(2) 复习整式的加减法、乘法运算规则；(3) 复习整式的系数、次数、度等基本性质；(4) 进行典型例题讲解与分析；(5) 学生练习，教师点评。
第二章：因式分解的概念与方法2.1 内容概述本节主要回顾因式分解的定义、方法及其应用。
(1) 理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法；(2) 学会运用因式分解解决实际问题。
2.3 教学重点与难点重点：因式分解的概念、方法；难点：因式分解在实际问题中的应用。
2.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
2.5 教学过程(1) 复习因式分解的定义及方法；(2) 复习因式分解在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第三章：提公因式法与公式法3.1 内容概述本节主要回顾提公因式法与公式法在因式分解中的应用。
3.2 教学目标(1) 掌握提公因式法与公式法的运用；(2) 学会运用提公因式法与公式法解决实际问题。
3.3 教学重点与难点重点：提公因式法与公式法的运用；难点：提公因式法与公式法在实际问题中的应用。
采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
3.5 教学过程(1) 复习提公因式法与公式法的定义及运用；(2) 复习提公因式法与公式法在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第四章：因式分解的应用4.1 内容概述本节主要回顾因式分解在实际问题中的应用。
4.2 教学目标(1) 学会运用因式分解解决实际问题；(2) 培养学生的数学应用能力。
中考一轮复习 数学专题02 整式与因式分解(老师版) 教案
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·福建）化简()223a 的结果是（ ） A ．29aB ．26aC ．49aD ．43a【答案】C 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】()()222224339a a a ==，故选：C ． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·湖南永州）下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+【答案】B【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．【详解】解：A 、ax +ay =a (x +y )，故选项计算错误；B 、3a +3b =3(a +b )，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．3．（2022·四川内江）下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 5B ．（a 3）2＝a 6C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．x 6÷x 3＝x 2【答案】B【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．【详解】A.a 2和a 3不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；B.（a 3）2＝a 6，故B 符合题意；C.（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，故C 不符合题意；D.63633x x x x ÷==﹣，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，是解题的关键．4．（2022·山东临沂）计算()1a a a +-的结果是（ ）A ．1B ．2aC ．22a a +D ．21a a -+【答案】B【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()1a a a +- 22a a a a ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键．5．（2022·内蒙古赤峰）已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（ ）A ．13B ．8C ．－3D ．5【答案】A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．【详解】∵()()2221x x x +--=∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+=故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．6．（2022·江苏泰州）下列计算正确的是( )A ．325ab ab ab +=B ．22523y y -=C ．277a a a +=D ．2222m n mn mn -=-【答案】A【分析】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．【详解】解：A 、325ab ab ab +=，故选项正确，符合题意；B 、222523y y y -=，故选项错误，不符合题意；C 、78a a a +=，故选项错误，不符合题意；D 、222m n mn 和不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．7．（2022·湖北鄂州）下列计算正确的是（ ）A ．b +b 2＝b 3B ．b 6÷b 3＝b 2C ．（2b ）3＝6b 3D ．3b ﹣2b ＝b 【答案】D【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行计算即可得．【详解】解：A 、22b b b b +=+，选项说法错误，不符合题意；B 、63633b b b b -÷==，选项说法错误，不符合题意；C 、33(2)8b b =，选项说法错误，不符合题意；D 、32b b b -=，选项说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点． 8．（2022·辽宁锦州）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22(2)4x x -=C ．22m mn n -= D ．2ab ab b -=【答案】B【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：235a a a ⋅=，故A 错误；22(2)4x x -=，故B 正确；22m mn n -=，故C 错误； 2ab ab -不能合并，不D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．9．（2022·广西贵港）下例计算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．2222a b a b +=C ．33(2)8a a -=D ．()236a a -= 【答案】D【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．【详解】解：A. 2a −a =a ，故原选项计算错误，不符合题意；B. 2222a b a b +≠，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. 33(2)-8a a -=，故原选项计算错误，不符合题意；D. (-a 3)2=a 6，故原选项计算正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则是解题关键．10．（2022·湖北恩施）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．321a a ÷=C ．32a a a -=D ．()236a a = 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，则此项错误，不符题意；B 、32a a a ÷=，则此项错误，不符题意；C 、3a 与2a 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；D 、()236a a =，则此项正确，符合题意；故选：D ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．（2022·黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）A ．()22346a b a b =B ．22434b b b +=C ．()246a a =D ．339a a a ⋅=【答案】A【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．【详解】解：A 、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知()22346a b a b =，该选项符合题意； B 、根据合并同类项运算可知2224344b b b b +=≠，该选项不符合题意；C 、根据幂的乘方运算可知()244286⨯==≠a a a a ，该选项不符合题意； D 、根据同底数幂的乘法运算可知333369a a a a a +⋅==≠，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．12．（2022·内蒙古包头）若42222m ⨯=，则m 的值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．2【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算计算4242622222m +⨯===，即可求解．【详解】4242622222m +⨯===，6m ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即m n m n a a a +⋅=（m 、n 为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为（ ）A ．8x 元B ．10(100)x -元C ．8(100)x -元D ．(1008)x -元 【答案】C【分析】根据题意列求得购买乙种读本()100x -本，根据单价乘以数量即可求解．【详解】解：设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本()100x -本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为8(100)x -元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．14．（2022·山东聊城）下列运算正确的是（ ）A ．()22233xy x y -=B ．2243474x x x +=+C ．()2323131t t t t t -+=-+ D ．()()43341a a -÷-=- 【答案】D【分析】A 选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断；B 选项合并同类型：字母和字母的指数比不变，系数相加；C 选项利用乘方的分配律；D 选项先用幂的乘方化简，在运用整式的除法法则．【详解】解：A 、原式229x y =，不合题意；B 、原式27x =，不合题意；C 、原式323t t t =-+，不合题意；D 、原式=-1，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法，掌握相应的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点．15．（2022·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．55a a a ÷=C ．236a a a ⋅=D ．437()a a =【答案】A【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的除法判断B 选项；根据同底数幂的乘法判断C 选项；根据幂的乘方判断D 选项．【详解】解：A 选项，原式3=a ，故该选项符合题意；B 选项，原式4a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式5a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握()m n mn a a =是解题的关键． 16．（2022·内蒙古包头）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（ ）A ．8-B ．5-C ．1-D ．16 【答案】C【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∴0a b +=，∵c 的倒数是4，∴14c =， ∴334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-，故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 17．（2022·贵州遵义）下列运算结果正确的是（ ）A ．3412a a a ⋅=B ．321ab ab -=C ．()232624ab a b -=D ．()222a b a b -=- 【答案】C 【分析】分别利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式分别判断即可．【详解】A ．347a a a ⋅=，故此选项计算错误，不符合题意；B ．32ab ab ab -=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()232624ab a b -=，此选项计算正确，符合题意；D ．()2222a b a ab b -=-+，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222()2a b a ab b +=++与222()2a b a ab b -=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．18．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．222()ab a b = 【答案】A【分析】根据大正方形的面积=边长为a 的正方形的面积+两个长为a ，宽为b 的长方形的面积+边长为b 的正方形的面积，即可解答．【详解】根据题意得：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 19．（2022·广东深圳）下列运算正确的是（ ）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab +=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．【详解】解：268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．20．（2022·上海）下列运算正确的是……（ ）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2 【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A.a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab ）2 =a2b 2，故此选项不符合题意；C.（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D.（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．二．填空题21．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2002个不同的数据二维码，现有四名网友对2002的理解如下：YYDS （永远的神）：2002就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD （懂的都懂）：2002等于2200；JXND （觉醒年代）：2002的个位数字是6；QGYW （强国有我）：我知道10321024,101000==，所以我估计2002比6010大．其中对2002的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS （永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2002化为1002(2)，再与2200比较，即可判断DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND （觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2001020603202(2),10(10)==，即可判断QGYW （强国有我）的理解是正确的．【详解】2002是200个2相乘，YYDS （永远的神）的理解是正确的；200100222(2)200=≠，DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；1234522,24,28,216,232=====，∴2的乘方的个位数字4个一循环，200450÷=，∴2002的个位数字是6，JXND （觉醒年代）的理解是正确的；2001020603202(2),10(10)==，10321024,101000==，且103210>20060210∴>，故QGYW （强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD ．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．22．（2022·内蒙古包头）若一个多项式加上2328xy y +-，结果得2235xy y +-，则这个多项式为___________．【答案】23y xy -+【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ∴=+--+-=+---+=-+，故答案为：23y xy -+．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．23．（2022·黑龙江大庆）已知代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，则实数t 的值为____________．【答案】52或32- 【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，∴()()()222222(21)4222a t ab b a b a b a b +-+++±=±±⋅⋅=，∴214t -=±， 解得52t =或32t =-， 故答案为：52或32- 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．24．（2022·四川广安）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2 +2b +9的值为________．【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +-++，可得9a b ++，即可求解．【详解】解：a 2﹣b 2 +2b +9()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 25．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要__________元．（用含m 的代数式表示）【答案】10m【分析】根据“总费用=购买篮球的数量⨯每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为10m 元，故答案为：10m ．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．26．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n 个数记为n a ，且满足21112n n n a a a +++=．则4a =________，2022a =________． 【答案】15 13032【分析】由已知推出1211111n n n n a a a a +++-=-，得到202220211132a a -=，202120201132a a -=，431132a a -=，211132a a -=，上述式子相加求解即可． 【详解】解：∵21112n n n a a a +++=；∴1211111n n n n a a a a +++-=-， ∵21111113212222a a -=-=-=， ∵43411113227a a a -=-=， ∴a 4=15， ∴202220211132a a -=，202120201132a a -=，211132a a -=，把上述2022-1个式子相加得2022111320212a a ⨯-=， ∴a 2022=13032， 故答案为：15，13032．【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出1211111n n n n a a a a +++-=-，利用裂项相加法求解． 27．（2022·江苏常州）计算：42÷=m m _______． 【答案】2m【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出． 【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 28．（2022·辽宁锦州）分解因式：2232x y xy y -+=____________． 【答案】2()y x y -【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2． 【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 29．（2022·江苏常州）分解因式：22x y xy +=______． 【答案】xy (x +y )【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键． 30．（2022·四川内江）分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____． 【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +- ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）， 故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查． 31．（2022·贵州遵义）已知4a b +=，2a b -=，则22a b -的值为__________．【答案】8【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．【详解】解：∵4a b +=，2a b -=，∴22a b -()()428a b a b =+-=⨯= 故答案为：8 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 32．（2022·北京）分解因式：2xy x -=______． 【答案】()()11x y y +-【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 33．（2022·湖北恩施）因式分解：3269x x x -+＝_______． 【答案】2(3)x x -【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题． 【详解】解：322269(69)(3)x x x x x x x x -+=-+=- 故答案为：2(3)x x -．【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．34．（2022·山东临沂）因式分解2242x x -+=______． 【答案】22(1)x -． 【详解】解：2242x x -+ =22(21)x x -+ =22(1)x -， 故答案为22(1)x -．35．（2022·浙江台州）分解因式：21a -=____． 【答案】()()11a a +-．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 36．（2022·江苏苏州）计算：3a a ⋅= _______． 【答案】a 4【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案． 【详解】解：a 3•a ， =a 3+1， =a 4．故答案为：a 4．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．37．（2022·黑龙江牡丹江）如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线___上．【答案】OC【详解】解∶∵1在射线OA 上，2在射线OB 上，3在射线OC 上，4在射线OD 上，5在射线OE 上，6在射线OF 上，7在射线OA 上，… ∴每六个一循环． ∵2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样． ∴所描的第2013个点在射线OC 上． 故答案为：OC38．（2022·吉林）计算：2a a ⋅=____．【答案】3a【详解】试题分析：根据同底数幂的乘法性质，底数不变，指数相加，可直接结算，2123a a a a +⋅==. 考点：同底数幂的乘法39．（2022·黑龙江牡丹江）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第5个图形中所以等边三角形的个数是__________．【答案】485【详解】解： 由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形， 第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形， 第五个图形中161×3+2=485个正三角形． 故答案为：48540．（2022·湖北十堰）如图，某链条每节长为2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为_________cm ．【答案】91【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是2.8cm ，2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ，3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ，n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ，据此解答即可求解． 【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ， 3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ， n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ， 所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1） =140-1×49=91(cm) 故答案为：91【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n 节链条长度为2.5×n -0.8×（n -1）． 41．（2022·广西贺州）因式分解：2312m -=__________． 【答案】3(2)(2)m m +-【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)； 故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 42．（2022·广西玉林）计算：3a a -=_____________． 【答案】2a【分析】按照合并同类项法则合并即可． 【详解】3a -a =2a ， 故答案为：2a ．【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算． 43．（2022·广东）单项式3xy 的系数为___________． 【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案． 【详解】3xy 的系数是3， 故答案为：3．【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 44．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．【答案】49【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规侓即可得答案．【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个， 第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个， 第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个， ……∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个， 故答案为：49．【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 45．（2022·江苏泰州）已知22222,2,()a m mn b mn n c m n m n =-=-=-≠ 用“＜”表示a b c 、、的大小关系为________. 【答案】b c a <<【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解． 【详解】解：由题意可知：222222222)(2))(()(22m n mn m n a b m mn mn n m n m n ，∵m n ≠， ∴222()0m n m n ，∴b a <；22222223)()2)(4(2n m mn a c m mn n mm n n ，当且仅当002nm n 且时取等号，此时0m n ==与题意m n ≠矛盾，∴223()024n mn ∴c a <；22222223)()()24(2n m c b m n m n n mn n m n ，同理b c <， 故答案为：b c a <<．【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．46．（2022·黑龙江绥化）因式分解：()()269m n m n +-++=________． 【答案】()23m n +-【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：()()269m n m n +-++()()22233m n m n =+-⨯⨯++()23m n =+-．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．47．（2022·广西梧州）若1x =，则32x -=________． 【答案】1【分析】将1x =代入代数式求解即可．【详解】解：∵1x =， ∴323121x -=⨯-=， 故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算． 48．（2022·贵州黔东南）分解因式：2202240442022x x -+=_______． 【答案】()220221x -【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-；故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．49．（2022·黑龙江绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案． 【答案】3##三【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124yx =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可． 【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件， 4348x y +=，解得3124y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数， ∴y 是4的整数倍， ∴4y =时，341294x ⨯=-=，8y =时，381264x ⨯=-=， 12y =时，3121234x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-=，不符合题意， 故有3种购买方案， 故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键． 50．（2022·海南）因式分解：ax ay +=___________． 【答案】()a x y +【分析】原式直接提取a 即可．【详解】解：ax ay +=()a x y +． 故答案为：()a x y +．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确确定公因式是解答本题的关键． 三．解答题51．（2022·广西）先化简，再求值2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+，其中11,2x y ==． 【答案】x 3-2xy +x ，1【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x 、y 值代入计算即可．【详解】解：2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+ =x (x 2-y 2)+xy 2-2xy +x =x 3-xy 2+xy 2-2xy +x =x 3-2xy +x ，当x =1，y =12时，原式=13-2×1×12+1=1．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 52．（2022·湖南岳阳）已知2210a a -+=，求代数式()()()4111a a a a -++-+的值． 【答案】-2【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【详解】解：()()()4111a a a a -++-+ 22411a a a =-+-+224a a =-()222a a =-，∵2210a a -+=， ∴221a a -=-， ∴原式()212=⨯-=-．【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键． 53．（2022·江苏无锡）计算：(1)(21cos 602-⨯-；(2)()()()()23a a a b a b b b +-+---．【答案】(1)1 (2)2a +3b【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可． (1) 解：原式=11322⨯- =3122- =1； (2)解：原式=a 2+2a -a 2+b 2-b 2+3b =2a +3b ．【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．54．（2022·广西梧州）（125(3)(2)+-⨯- （2）化简：232()23a a a a a +--⋅． 【答案】（1）14-；（2）24a a -【分析】（1 （2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）解：原式=235(3)(2)-+-⨯- =35(3)4-+-⨯ =3512-- =14-；（2）原式=223226a a a a +-- =24a a -．【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 55．（2022·北京）已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值． 【答案】５【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：∵2220x x +-=， ∴222x x +=， ∴2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++ 2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．56．（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】(1)43(2)2x +2【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．(1)201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43； (2)2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．57．（2022·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A 是关于m 的多项式．请写出多项式A ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】6A m =+，解答过程补充完整为26m -【分析】利用26m m +除以m 可得A ，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．【详解】解：观察第一步可知，()26A m m m =+÷， 解得6A m =+，将该例题的解答过程补充完整如下：(6)6(1)m m m +-+2666m m m =+--26m =-，故答案为：26m -．【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．58．（2022·吉林长春）先化简，再求值：()()()221a a a a +-++，其中4a =．【答案】4a +【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将4a 代入求值即可求解．【详解】解：原式＝224a a a -++4a =+当4a =时，原式44=【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．。
整式乘法与因式分解复习课教案
《第九章整式乘法与因式分解》复习课（教案）
教学目标
知识与技能
了解本章的知识框架，通过“做一做想一想”、“怎样做最简便”、“灵活运用”等环节，使学生理解本章各知识点并总结归纳各知识点运用过程中的注意点、易错点，在此过程中培养总结归纳、取长补短、查漏补缺的数学学习方法。
过程与方法、情感态度与价值观
本章各环节注重培养学生归纳总结各知识点的学习方法，在全体合作的基础上，对自身进行查漏补缺，取长补短。
在归纳、探索最简方法等活动中，激发学生学习数学的热情，充分调动学生的自主性，培养学生的合作意识和团队精神。
教学重难点
重点
归纳总结本章各知识点
难点
对本章各知识点易错点、注意点的归纳及灵活运用
突破方法：采用教师引导和学生合作的教学方法。
教学手段
多媒体辅助教学
教学过程
板书设计。
第四章-因式分解(复习课)教学设计精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版
第四章因式分解（复习课）教学设计
【教学目标】
1.进一步理解因式分解的概念和意义，了解因式分解和整式乘法的关系——方向相反的恒等变形；
2.复习提公因式法、公式法因式分解的过程，会综合运用提公因式法、公式法分解因式；
【教学重点】综合运用提公因式法、公式法分解因式.
【教学难点】根据题目的结构特点，选择合理的方法进行因式分解.
【教学思路】情境导入→知识回顾→例题讲解→练习巩固→中考链接→小结→作业布置
【教学过程】
环节一：情境导入
环节三：例题讲解
1.本单元复习题。
整式乘法与因式分解：初中数学教案详解
整式乘法与因式分解：初中数学教案详解一、教学目标1.理解整式乘法的定义和性质，能熟练地进行整式的乘法运算。
2.掌握因式分解的方法，能够分解多项式为一次和二次因式的积。
3.进一步提高学生的代数计算能力，以便更好地完成高中阶段的学习任务。
二、教学重点1.整式乘法的定义和性质。
2.因式分解的方法和几何意义。
三、教学难点1.因式分解中一些特殊的情况。
2.多项式的乘法运算中的常见错误。
四、教学方法1.课堂讲解，带着学生逐步学习和理解整式乘法和因式分解的概念和方法。
2.以例子为中心，让学生逐渐提高自己的计算能力。
3.补充一些相关例题，以帮助学生巩固所学内容。
五、教学过程1.整式乘法的定义和性质整式：是由常数、变量和它们的乘积通过加、减、乘运算符号组成的代数式。
整式乘法的定义：将两个或多个整式相乘，得到的积仍是整式。
整式乘法的性质：(1) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac(2) 结合律：a(bc)=(ab)c(3) 交换律：ab=ba(4) 同底数幂相乘：am×an=am+n(5) 乘积的倒数：a×(1/a)=12.整式乘法的运算步骤以(a+b)(c+d)为例，整式的乘法运算步骤如下：(1) 将(a+b)和(c+d)用加号连接成一个式子，即ac+ad+bc+bd；(2) 化简式子，将同类项合并得到最简积，即ac+(ad+bc)+bd。
3.因式分解的定义和意义因式分解：将一多项式分解为若干个一次或二次因式之积的过程。
因式分解的意义：①检验多项式的正确性；②便于计算和推导；③计算解析式方便。
4.因式分解的方法因式分解的方法有分步进行和直接找规律两种。
①分步进行的方法给定一个二次多项式ax²+bx+c，可以按照以下步骤进行因式分解：(1) 先求出二次项系数a；(2) 把常数项c分解成两个数的积p×q，且p+q=b；(3) 写出分解式为(ax+p)(ax+q)，并检验是否正确。
整式的乘法与因式分解复习教学设计
整式的乘法与因式分解复习教学设计教学设计:整式的乘法与因式分解一、教学目标1.知识与技能：a.熟练掌握整式的乘法法则；b.熟练掌握整式的因式分解方法；c.能够进行整式的乘法运算；d.能够进行整式的因式分解运算。
2.过程与方法：a.通过多种例题和练习，巩固学生对整式的乘法与因式分解的理解；b.鼓励学生进行思考和探究，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：a.培养学生对数学的兴趣，提高数学学习的积极性；b.培养学生解决问题的耐心和毅力。
二、教学内容三、教学过程与方法步骤一：引入引导学生回顾整式的定义和基本运算法则，并进行复习。
步骤二：整式的乘法1.教师通过例题演示整式的乘法运算方法，引导学生注意每一步的操作；2.学生自主练习，扩展到多项式的乘法运算。
步骤三：因式分解1.教师通过例题演示整式的因式分解方法，引导学生注意每一步的操作；2.学生自主练习，逐渐引导学生掌握因式分解的技巧。
步骤四：综合练习1.设计一些综合性的练习题，既包括整式的乘法，也包括因式分解；2.鼓励学生自主解答，并进行讨论和交流。
步骤五：拓展与应用1.提供一些应用题，涉及实际问题与整式的乘法与因式分解；2.引导学生思考如何将实际问题转化为数学模型，并进行相应的计算。
四、教学资源教材、黑板、粉笔、教学PPT等。
五、教学评价1.教师根据学生课堂表现和练习情况，评价其对整式乘法与因式分解的掌握程度；2.学生进行自我评价，思考自己的不足之处，制定提升计划。
六、教学反思本节课通过例题演示和练习，引导学生熟练掌握了整式的乘法与因式分解的方法，培养了他们解决数学问题的能力。
同时，通过拓展和应用题的设计，使学生能将数学知识应用于实际问题，提高了他们的数学思维能力和问题解决能力。
因式分解复习课教案5篇
因式分解复习课教案5篇第一篇：因式分解复习课教案因式分解复习课教学设计大邑外国语学校晏春霞中考目标：因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数等恒等变形中有直接应用。
教学重点及难点：掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法，并能熟练运用。
教学过程：一、中考知识梳理：1、什么叫做因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式（恒等变形）2、分解因式的基本方法：（1）、提（提取公因式法）；（2）、用（运用公式法、十字相乘法）；（3）、分组（分组分解法）二、中考题型例析：1、因式分解的识别下列各式由左边到右边的恒等变形中，是分解因式的是（）①（x+y）(x-y)=(x-y)（x+y）②a（x＋y）＝ax＋ay③x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 ④x2－4＝（x＋2）（x－2）⑤x2－x＋＝x2（1－）2、灵活进行因式分解题型一：直接提公因式(1)-12x3z+18x4y(2)3x(a-b)+2y(b-a)题型二：直接用公式(1)x2-9y2(2)4x2+2x+ 题型三：先提公因式再套公式（1）2x2-8（2）-a3+a2b-ab2（3）a2b+2ab+b（4）x4y2-6x2y2-27y2题型四：先分组再套公式（1）x2-y2-3x-3y（2）16+8xy-16x2-y2 题型五：把代数式作为一个整体（1）（a+b）3-4(a+b)（2）(x+y)2-4(x+y-1)3、因式分解与分式的联系(1)当x2-4x+1=0时，求-（1+）的值（2）当x取何值式，分时有意义。
（3）当x取何值式，分时的值为零。
4、因式分解与方程的联系(1)解下列方程:x2-4x-12=0(2)若2x3-x2-5x+k有一个因式x-2,求k的值三、全国各地中考题型1、（2012呼和浩特，4，3分）下列各因式分解正确的是（）A.–x2+(–2)2=(x–2)(x+2)B.x2+2x–1=(x–1)2C.4x2–4x+1=(2x–1)2D.x2–4x=2(x+2)(x–2)2、（2011江苏省无锡市，3，3′）分解因式的结果是（）A．B.x2+1C．D．3、（2012北京，9，4）分解因式：．4、（2012福州，11，4分，）分解因式：x2-16=.5、（2011山东省潍坊市，题号13，分值3）分解因式：6、若是一个完全平方式，则m的值是7、若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=8、当x取何值式，分时的值为零9、当x取何值式，分时有意义10、化简（1+）÷11若x3+5x2+7x+a有一个因式x+1,求a的值12、已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足：a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状。
初中数学整式复习教案
教案：初中数学整式复习教学目标：1. 理解整式的概念，包括单项式和多项式。
2. 掌握整式的基本运算规则，包括加减、乘除和幂的运算。
3. 能够解决实际问题，运用整式进行表达和计算。
教学重点：1. 整式的概念和分类。
2. 整式的基本运算规则。
3. 整式在实际问题中的应用。
教学难点：1. 整式的乘除运算。
2. 整式在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示整式的定义和运算规则。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生运用整式解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾整式的概念，包括单项式和多项式。
2. 提问学生：整式有哪些基本运算规则？二、整式的概念和分类（10分钟）1. 讲解整式的概念，强调单项式和多项式的区别。
2. 举例说明单项式和多项式的特点，让学生理解并区分它们。
三、整式的基本运算规则（15分钟）1. 讲解整式的加减运算规则，强调同类项的概念。
2. 演示整式的加减运算示例，让学生跟随老师一起完成运算。
3. 讲解整式的乘除运算规则，强调乘法和除法的区别。
4. 演示整式的乘除运算示例，让学生跟随老师一起完成运算。
四、整式在实际问题中的应用（10分钟）1. 给出一些实际问题，让学生运用整式进行表达和计算。
2. 引导学生解决实际问题，提供帮助和指导。
五、总结和复习（5分钟）1. 总结整式的概念和运算规则，让学生再次回顾和巩固。
2. 提醒学生注意整式运算中的易错点，如忘记变号、忘记加减等。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习整式的进阶运算，如因式分解、求解整式方程等。
2. 鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，深入研究整式的应用。
教学反思：本节课通过讲解和练习，帮助学生复习和巩固了整式的概念和运算规则。
在实际问题中的应用环节，学生能够运用整式进行表达和计算，提高了他们的数学思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，要注意提醒学生注意整式运算中的易错点，如忘记变号、忘记加减等。
在今后的教学中，可以适当增加一些挑战性的题目，激发学生的学习兴趣和动力。
《整式的乘法与因式分解》复习课教学设计
整式的乘法与因式分解复习课教学设计【教学目标】知识与技能进一步掌握整式乘法的计算法则、乘法公式，并能运用它们进行计算，会分解因式，能运用所学知识解决简单实际问题.过程与方法通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想、转化思想、类比思想、特殊到一般思想，加深对本章知识的理解和应用.情感态度在运用整式乘法、乘法公式、因式分解的方法等相关知识解决问题的过程中，进一步体会数学与生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识，激发学生学习的兴趣.【教学重点】整式乘法、乘法公式及因式分解.【教学难点】综合运用所学知识解决实际问题.【教学过程】一、情境导入，初步认识二、思考探究，获取新知1、单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.2、乘法公式两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍；两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差.即(a±b)2=a2±2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b26.因式分解把一个多项式化为n个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的常用方法：提公因式法、公式法、分组分解法.三、典例精析，掌握新知例2下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（）A.x2-x-2=x(x-1)-2B.x2+2xy-y2=(x+y)2C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.4x2-4x+1=(2x-1)2【分析】A等号右边不是积的形式，B等号左右两边不相等，C是整式的乘法，D是因式分解且左右两边相等，故选D.例4 因式分解：例5先化简，再求值:［(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2］÷4y.其中x=2,y=-5.【解】原式=［x2-4y2-(x2+8xy+16y2)］÷4y=(x2-4y2-x2-8xy-16y2)÷4y=(-8xy-20y2)÷4y=-2x-5y当x=2,y=-5时，原式=-2×2-5×(-5)=21.例6已知△ABC的边长为a,b,c且(b-c)2+(2a+b)(c-b)=0,试判断三角形的形状。
2023年中考数学备考学案：第2课时+《数与式》之整式与因式分解
第2课时 整式与因式分解学习目标：1．掌握整式的运算法则和幂的运算性质，准确地进行整式的混合运算；2．理解因式分解的概念，准确地对多项式进行因式分解．学习过程：一、问题唤醒1．用代数式表示：一个两位数，个位上的数字为x ，十位上的数字比个位上的数字小2，则这个两位数是__________．2．单项式2372y x -的系数是_________，次数是_________． 3．下列单项式中，与2ab 是同类项的是（ ）A ．b a 22B ．22a bC ．2abD ．ab 34．直接写出结果：32a a ⋅＝______，37a a ÷＝______，53)(a ＝______，2)(ab ＝______．5．化简：a a 53-＝_________，22(1)m m ＝_________．6．因式分解：x x 22-＝_________，942-x ＝_________，1682++a a ＝_________，26x x ＝_________，2232x x ＝_________．二、问题导学【知识点1】：整式的混合运算例1：化简：(1))5)(1()4(+--+m m m m 225)2()2)(2(2a b a b a b a -++-+）（同质训练：先化简再求值：22)()2)((x y x y x y x -----，其中.1202312023+=-=y x ，【知识点2】：因式分解例2：将下列多项式进行因式分解（1）42-x（2）x x x 9623+-（3）)()(22y x y y x x --- （4）256x x同质训练：将下列多项式进行因式分解（1）122++a a （2）29ab a -（3）3522-+x x （4）222224)(b a b a -+（5）1)(2)(2++-+y x y x （6）)1()2)(1--+-x x x x （【知识点3】：代数式求值问题例3：已知122--a a 的值为0，则4632--a a 的值为_________.同质训练：如果22320190x x --=，那么32220222020x x x ---=_________.【知识点4】：规律题例4：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数－2017将与圆周上的哪个数字重合（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3同质训练：设 321,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11=a ，221114）（）（---=+n n n a a a ，则=2022a _________.三、自主小结四、适度作业A 层：1．单项式652y x -的系数是_______，次数是_______． 2．4232a a ⋅＝______，36a a ÷＝______，32)2(a -＝______，222a a +-＝______．3．若6122=-b a ，且31=-b a ，则b a +的值为_______． 4．已知52=m ，则m 32＝_______；m +32＝_______．5．若代数式362++kx x 是一个完全平方式，则k ＝______．6．若222-=-a a ，则a a 4252-+＝_______．7．若084422=+-++b a b a ，则22-⋅b a 的值为______．8．下列运算正确的是（ ） A ．2532a a a =+ B ．224)2(b a b a +=+C ．632a a a =⋅D ．2336()ab a b 9. 把多项式x 2+ax +b 分解因式，得(x +1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a =2，b =3 B ．a =-2，b =-3C ．a =-2，b =3D ．a =2，b =-310．化简：（1）)4)(2)(2(2+-+m m m （2）22)2()2(y x y x +--（3）)1(4)12(2--+a a a （4）)1()2)(2--+-x x x x （．11．因式分解（1）a a 93- （2）ab b a 4)(2-+ （3）181222+-x x（4）32232ab b a b a +- （5）35122+-x x （6）)1()1(2---x x x12．如图，直线l 1与直线l 2所成的角∠B 1OA 1＝30°，过点A 1作A 1B 1⊥l 1交直线l 2于点B 1，OB 1＝2，以A 1B 1为边在△OA 1B 1外侧作等边三角形A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2⊥l 1，分别交直线l 1和l 2于A 2，B 2两点，以A 2B 2为边在△OA 2B 2外侧作等边三角形A 2B 2C 2，…按此规律进行下去，则第2022个等边三角形A 2022B 2022C 2022的周长为． B 层：13．已知12322--+=x ax x A ，12-+-=ax x B ，且B A 63+的值与x 无关，则a 的值为________．14．如果代数式5a +3b 的值为﹣4，则代数式2（a +b ）+4（2a +b +2）的值为 ． 15. 如图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式22(),(),a b a b ab +-之间的等量关系为_______；（2）运用你所得到的公式解答下列问题：①若m ，n 为实数，且2m n +=-，3=-mn ，求m n -的值．①如图3，21,S S ，分别表示边长为p ，q 的正方形的面积，且C B A ，，三点在一条直线上，若62021=+==+q p AB S S ，，求图中阴影部分的面积．图1 图2 图3。
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聚智堂教育学科教师辅导讲义 年 级： 九年级 辅导科目： 数学 学科教师： 曹老师 学员姓名：袁泽凯
课 题 专题二 整式和因式分解
教学目的 1、在识记整式和因式分解知识点的基础上理解并能熟练的应用整式和因式分解知识点。
2、能结合具体情境创造性的综合应用因式分解解决问题。
重难点
1、分解因式及利用因式分解法解决问题。
2、整式的合并及变形计算。
教学内容 一、概念引入
【知识梳理】
1、代数式的有关概念．
(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子．
(2)求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代人
2、整式的有关概念
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式
(3)多项式的降幂排列与升幂排列
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷
3.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a
a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、
n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；
④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a
a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 4.整式的乘除法:
(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.
(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.
(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，
即2
2))((b a b a b a -=-+；
(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）
它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±
5.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
6.分解因式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：
（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；
(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；
(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；
(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．
7．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑。