习题1.2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.2 命题公式与等价演算
习题1.2
1. 设p 、q 和r 为如下简单命题：p ：532=+。q ：大熊猫产在中国。r ：复旦大学在广州。求下列复合命题的真值。 （1）r q p →↔)(
（2）p q p r ⌝↔∧→))((
（3）)(r q p r ∨⌝∨⌝→⌝
（4）))(()(r q p r q p →⌝∨⌝↔⌝∧∧
解 因为p 、q 和r 分别取1，1，0。所以
（1）00)11()(=→↔=→↔r q p ；
（2）01))11(0())((=⌝↔∧→=⌝↔∧→p q p r ； （3）0)011(0)(=∨⌝∨⌝→⌝=∨⌝∨⌝→⌝r q p r ；
（4）1)0)11(()011())(()(=→⌝∨⌝↔⌝∧∧=→⌝∨⌝↔⌝∧∧r q p r q p 。
2. 构造下列复合命题的真值表，并由此判断它们是否永真式、永假式和可满足式。 （1）q p ⌝→
（2）q p ↔⌝
（3）)()(q p q p →⌝∨→ （4）)()(q p q p ⌝→⌝∧⌝→
（5）)()(q p q p ↔⌝∧↔
（6）)()(q p q p ⌝↔⌝∨⌝↔
解 （1）是可满足式。
（2）是可满足式。
（3
（4）是可满足式。
（5
（6）是永真式。
3. 构造下列复合命题的真值表，并由此判断它们是否永真式、永假式和可满足式。
（1）r q p →↔)(
（2）p q p r ⌝↔∧→))((
（3）)(r q p r ∨⌝∨⌝→⌝
（4）))(()(r q p r q p →⌝∨⌝↔⌝∧∧
解 （1）是可满足式。
（2
（3）是可满足式。
（4）是可满足式。
4. 用真值表证明下面的等价式 （1）B A B A ⌝∨⌝=∧⌝)( （2）A B A A =∨∧)(
（3）B A B A ∨⌝=→
（4）)()(A B B A B A →∧→=↔
（5）)()()(C A B A C B A ∧∨∧=∨∧ 解 （1）
（2）
（3）
（4）
5. 只使用命题变元p和q能构造多少不同的命题公式真值表？解能构造出16（2的4次方）种不同的命题公式真值表。
6. 用等价演算法证明下面的等价式 （1）)()(q p q p p ⌝∧∨∧=
（2）)()()()(q p q p q p q p ∧⌝∧∨=∧⌝∨⌝∧ （3）)()(q p p p q p ⌝→→⌝=→→ （4）)()()(q p q p q p ∧⌝∧∨=↔⌝ （5）)()()(r q p r p q p ∧→=→∧→ （6）r q p r q r p →∨=→∧→)()()( （7）r q p r q p →∧=→→)()( （8）)()(r p q r q p →→=→→
解 （1）右边)()(q p q p ⌝∧∨∧=)(q q p ⌝∨∧=1∧=p p ==左边 （2）
左边)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧＝
)()()()(q q p q q p p p ∨⌝∧⌝∨⌝∧∨∧⌝∨= 1)()(1∧⌝∨⌝∧∨∧=p q q p )()(p q q p ⌝∨⌝∧∨= )()(q p q p ∧⌝∧∨=
=右边
（3）
左边)(p q p →→＝)(p q p ∨⌝∨⌝＝=1 右边)(q p p ⌝→→⌝=)(q p p ⌝∨⌝∨==1
所以 左边＝右边 （4） 左边)(q p ↔⌝＝
))()((p q q p →∧→⌝＝ )()(p q q p ∨⌝⌝∨∨⌝⌝= )()(p q q p ⌝∧∨⌝∧=
)()()()(p q q q p p q p ⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∧∨= )()(q p q p ∧⌝∧∨==右边
（5）
左边)()(r p q p →∧→＝
)()(r p q p ∨⌝∧∨⌝＝ )(r q p ∧∨⌝= )(r q p ∧→==右边
（6）
左边)()(r q r p →∧→＝
)()(r q r p ∨⌝∧∨⌝＝ r q p ∨⌝∧⌝)(＝ r q p ∨∨⌝)(＝
r q p →∨=)(=右边
（7） 左边)(r q p →→＝)(r q p ∨⌝∨⌝＝
右边r q p →∧=)(r q p ∨∧⌝=)(r q p ∨⌝∨⌝=
所以
左边＝右边
（8） 左边)(r q p →→＝)(r q p ∨⌝∨⌝＝
右边)(r p q →→=)(r p q ∨⌝∨⌝=
所以 左边＝右边
下面4道题是智力游戏题，解题时可以先把语句翻译成命题公式，再利用其成真赋值进行
求解。
7. 边远村庄的每个人要么总说真话，要么总说谎话。对旅游者的问题，村民要么回答“是”，
要么回答“不”。假定你在这一地区旅游，走到了一个岔路口，一条岔路通向你想去的遗址，另一岔路通向丛林深处。此时恰有一村民站在岔路口，问村民什么样的一个问题就能决定走那条路？
解 问“如果我问你右边的路是否通向遗址，你会说‘是’，对吗？”，如果回答“是”，则右边的路通向遗址，否则左边的路通向遗址，具体分析如下： （1）被问者总说真话且回答“对”。则右边的路通向遗址。 （2）被问者总说真话且回答“不对”。则左边的路通向遗址。
（3）被问者总说谎话且回答“对”。因为是说谎者，所以实际上他会回答“不是”；又因
为是说谎者，他回答‘不是’，表明右边的路通向遗址。
（4）被问者总说谎话且回答“不对”。因为是说谎者，所以实际上他会回答“是”；又因
为是说谎者，他回答‘是’，表明右边的路不通向遗址。
现在假设用p 表示被问的人总说真话， q 表示被问的人回答“对”，r 表示如果我问右边的路是否通向遗址，回答‘是’，s 表示右边的路通向遗址，则根据以上分析我们有如下表所示的真值表。